Псевдолес - Pseudoforest

1-лес (максимальный псевдолесь), образованный тремя 1-деревьями

В теория графов, а псевдолес является неориентированный граф^[1] в котором каждый связный компонент имеет не более одного цикл. То есть это система вершины и края соединяющие пары вершин, так что никакие два цикла последовательных ребер не имеют общих вершин друг с другом, и никакие два цикла не могут быть соединены друг с другом путем из последовательных ребер. А псевдодерево это связный псевдолес.

Названия обоснованы по аналогии с более широко изучаемыми деревья и леса. (Дерево - это связный граф без циклов; лес - это несвязное объединение деревьев.) Габов и Тарьян^[2] относят изучение псевдолесов к книге Данцига 1963 г. линейное программирование, в которых псевдолеса возникают при решении некоторых сетевой поток проблемы.^[3] Псевдолеса также образуют теоретико-графические модели функций и встречаются в нескольких алгоритмический проблемы. Псевдолеса разреженные графики - количество их ребер линейно ограничено числом вершин (на самом деле, у них не более того количества ребер, сколько у них вершин) - и их матроид Структура позволяет разложить несколько других семейств разреженных графов на объединения лесов и псевдолесов. Название «псевдолесье» происходит от Пикард и Кейранн (1982).

Определения и структура

Мы определяем неориентированный граф как набор вершины и края такое, что каждое ребро имеет две вершины (которые могут совпадать) в качестве концов. То есть мы допускаем наличие нескольких ребер (ребер с одной парой конечных точек) и петель (ребер, две конечные точки которых являются одной и той же вершиной).^[1] А подграф графа - это граф, образованный любыми подмножествами его вершин и ребер, так что каждое ребро в подмножестве ребер имеет обе конечные точки в подмножестве вершин. связный компонент неориентированного графа - это подграф, состоящий из вершин и ребер, в которые можно попасть, следуя ребрам из одной заданной начальной вершины. Граф является связным, если каждая вершина или ребро достижимы из любой другой вершины или ребра. А цикл в неориентированном графе - это связный подграф, в котором каждая вершина инцидентна ровно двум ребрам, или является петлей.^[4]

21 унициклический граф с не более чем шестью вершинами

Псевдолес - это неориентированный граф, в котором каждый компонент связности содержит не более одного цикла.^[5] Эквивалентно, это неориентированный граф, в котором каждая связная компонента имеет не больше ребер, чем вершин.^[6] Компоненты, у которых нет циклов, просто деревья, а компоненты, имеющие один цикл внутри себя, называются 1-деревья или же унициклические графы. То есть 1-дерево - это связный граф, содержащий ровно один цикл. Псевдолес с одним компонентом связности (обычно называемый псевдодерево(хотя некоторые авторы определяют псевдодерево как 1-дерево) является либо деревом, либо 1-деревом; в общем, у псевдолеса может быть несколько связанных компонентов, если все они являются деревьями или 1-деревьями.

Если удалить из 1-дерева одно из ребер в его цикле, в результате получится дерево. Если обратить этот процесс вспять, если дерево будет увеличиваться путем соединения любых двух его вершин новым ребром, результатом будет 1-дерево; путь в дереве, соединяющий две конечные точки добавленного ребра, вместе с самим добавленным ребром, образуют уникальный цикл 1-дерева. Если увеличить 1-дерево, добавив ребро, которое соединяет одну из его вершин с вновь добавленной вершиной, результатом снова будет 1-дерево с еще одной вершиной; альтернативный метод построения 1-деревьев состоит в том, чтобы начать с одного цикла, а затем повторить эту операцию увеличения любое количество раз. Ребра любого 1-дерева можно уникальным образом разбить на два подграфа, один из которых является циклом, а другой - лесом, так что каждое дерево леса содержит ровно одну вершину цикла.^[7]

Также были изучены некоторые более специфические типы псевдолесов.

А 1-лес, иногда называемый максимальный псевдолес, является псевдолесом, к которому нельзя добавить ребра, не вызывая в каком-либо компоненте графа нескольких циклов. Если псевдолесье содержит дерево в качестве одного из своих компонентов, это не может быть 1-лесом, поскольку можно добавить либо ребро, соединяющее две вершины в этом дереве, образуя единый цикл, либо ребро, соединяющее это дерево с каким-либо другим компонентом. Таким образом, 1-леса - это в точности те псевдолеса, в которых каждый компонент является 1-деревом.

В покрывающие псевдолеса неориентированного графа грамм псевдолесье подграфы из грамм которые имеют все вершины грамм. У такого псевдолеса не должно быть ребер, поскольку, например, подграф, имеющий все вершины грамм а отсутствие ребер является псевдолесом (компоненты которого - деревья, состоящие из одной вершины).

В максимальные псевдолеса грамм псевдолесные подграфы грамм которые не содержатся в более крупных псевдолесах грамм. Максимальный псевдолес грамм всегда покрытый псевдолесом, но не наоборот. Если грамм не имеет компонент связности, являющихся деревьями, то его максимальные псевдолеса являются 1-лесами, но если грамм имеет компонент дерева, его максимальные псевдолеса не являются 1-лесами. Точнее говоря, на любом графике грамм его максимальные псевдолеса состоят из каждого компонента дерева граммвместе с одним или несколькими непересекающимися 1-деревьями, покрывающими оставшиеся вершины грамм.

Направленные псевдолеса

Версии этих определений также используются для ориентированные графы. Подобно неориентированному графу, ориентированный граф состоит из вершин и ребер, но каждое ребро направлено от одной из своих конечных точек к другой конечной точке. А направленный псевдолес ориентированный граф, в котором каждая вершина имеет не более одного исходящего ребра; то есть у него есть превосходить максимум один. А направленный 1-лес - чаще всего называется функциональный график (видеть ниже ), иногда максимально направленный псевдолес - ориентированный граф, в котором каждая вершина имеет ровно одну исходящую степень.^[8] Если D является направленным псевдолесом, неориентированный граф, образованный удалением направления от каждого края D неориентированный псевдолес.

Количество ребер

Каждый псевдолес на множестве п вершин не более п рёбер, и каждый максимальный псевдолес на множестве п вершин ровно п края. И наоборот, если граф грамм обладает тем свойством, что для каждого подмножества S его вершин, количество ребер в индуцированный подграф из S не больше, чем количество вершин в S, тогда грамм это псевдолесье. 1-деревья можно определить как связные графы с одинаковым количеством вершин и ребер.^[2]

Переходя от отдельных графов к семействам графов, если семейство графов обладает тем свойством, что каждый подграф графа в семействе также входит в семейство, и каждый граф в семействе имеет не более чем столько же ребер, сколько вершин, то семейство содержит только псевдолеса. Например, каждый подграф бить (график нарисованный так что каждая пара ребер имеет одну точку пересечения) также является треском, поэтому Гипотеза Конвея что у каждого трека не более чем столько же ребер, сколько вершин, можно переформулировать так, чтобы сказать, что каждый треск является псевдолесом. Более точная характеристика состоит в том, что если гипотеза верна, то треки - это в точности псевдолеса без четырехвершинного цикла и не более одного нечетного цикла.^[9]

Стрейну и Теран^[10] обобщить редкость условия, определяющие псевдолеса: они определяют граф как (k,л) -разреженный, если каждый непустой подграф с п вершин не более кн − л края и (k,л) -плотно, если (k,л)-разреженный и имеет ровно кн − л края. Таким образом, псевдолеса - это (1,0) -разреженные графы, а максимальные псевдолеса - это (1,0) -уплотненные графы. Несколько других важных семейств графиков могут быть определены из других значений k и л,и когда л ≤ k (k,л) -разреженные графы можно охарактеризовать как графы, образованные как рёберно-непересекающееся объединение л леса и k − л псевдолеса.^[11]

Практически каждый достаточно редкий случайный граф это псевдолес.^[12] То есть, если c постоянная с 0 < c <1/2, а P_c(п) - вероятность того, что выбор будет равномерно случайным среди п-вершинные графы с сп рёбер приводит к псевдолесу, тогда P_c(п) стремится к единице при больших п. Однако для c > 1/2, почти каждый случайный граф с сп Ребра имеют большой компонент, который не является одноциклическим.

Перечисление

График просто если у него нет петель и нескольких ребер с одинаковыми конечными точками. Количество простых 1-деревьев с п помеченные вершины^[13]

${displaystyle nsum _{k=1}^{n}{frac {(-1)^{k-1}}{k}}sum _{n_{1}+cdots +n_{k}=n}{frac {n!}{n_{1}!cdots n_{k}!}}{inom {{inom {n_{1}}{2}}+cdots +{inom {n_{k}}{2}}}{n}}.}$

Значения для п можно найти до 300 последовательно OEIS: A057500 из Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.

Количество максимальных направленных псевдолесов на п вершин, допускающих петли, есть п^п, потому что для каждой вершины есть п возможные конечные точки для исходящего края. Андре Жоял использовал этот факт, чтобы предоставить биективное доказательство из Формула Кэли, что количество неориентированных деревьев на п узлы п^п − 2, путем нахождения взаимного соответствия между максимальными направленными псевдолесьями и неориентированными деревьями с двумя выделенными узлами.^[14] Если петли не разрешены, количество максимальных направленных псевдолесов будет (п − 1)^п.

Графики функций

«Функциональный график» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. График функции.

Функция из набора {0,1,2,3,4,5,6,7,8} к себе и соответствующий функциональный граф

Направленные псевдолеса и эндофункции в некотором смысле математически эквивалентны. Любая функция ƒ из множества Икс самому себе (то есть эндоморфизм из Икс) можно интерпретировать как определение направленного псевдолеса, имеющего край от Икс к у всякий раз, когда ƒ (Икс) = у. Получаемый направленный псевдолесь максимален и может включать петли всякий раз, когда какое-то значение Икс имеет ƒ (Икс) = Икс. В качестве альтернативы, исключение петель приводит к получению немаксимального псевдолеса. В обратном направлении любой максимально направленный псевдолес определяет функцию ƒ такую, что (Икс) - цель ребра, выходящего из Икс, а любой немаксимальный направленный псевдолесье можно сделать максимальным, добавив петли, а затем таким же образом преобразовать в функцию. По этой причине максимальные направленные псевдолеса иногда называют функциональные графики.^[2] Просмотр функции как функционального графа обеспечивает удобный язык для описания свойств, которые не так легко описать с теоретико-функциональной точки зрения; этот метод особенно применим к проблемам, связанным с повторяющиеся функции, которые соответствуют пути в функциональных графах.

Обнаружение цикла, задача прохождения по пути в функциональном графе для нахождения в нем цикла имеет приложения в криптография и вычислительная теория чисел, как часть Алгоритм ро Полларда за целочисленная факторизация и как метод поиска коллизий в криптографические хеш-функции. В этих приложениях ожидается, что ƒ будет вести себя случайным образом; Flajolet и Одлызко^[15] изучать теоретико-графические свойства функциональных графов, возникающих из случайно выбранных отображений. В частности, форма парадокс дня рождения следует, что в случайном функциональном графе с п вершин, путь, начинающийся от случайно выбранной вершины, обычно возвращается сам по себе, образуя цикл в пределах O (√п) шаги. Конягин и другие. добились аналитического и вычислительного прогресса по статистике графов.^[16]

Мартин, Одлызко, и Вольфрам^[17] исследовать псевдолеса, моделирующие динамику клеточные автоматы. Эти функциональные графы, которые они называют диаграммы перехода состояний, имеют по одной вершине для каждой возможной конфигурации, в которой может находиться ансамбль ячеек автомата, и ребро, соединяющее каждую конфигурацию с конфигурацией, которая следует за ней в соответствии с правилом автомата. Из структуры этих диаграмм можно вывести свойства автомата, такие как количество компонентов, длина предельных циклов, глубина деревьев, соединяющих неограничивающие состояния с этими циклами, или симметрии диаграммы. Например, любая вершина без входящего ребра соответствует Сад Эдема шаблон а вершина с петлей соответствует натюрморт.

Еще одно раннее применение функциональных графиков находится в поезда раньше учился Тройные системы Штейнера.^[18] Цепочка тройной системы - это функциональный граф, имеющий вершину для каждой возможной тройки символов; каждая тройка pqr отображается в Стю, куда pqs, prt, и qru - тройки, принадлежащие системе троек и содержащие пары pq, пр, и qr соответственно. Было показано, что поезда являются мощным инвариантом тройных систем, хотя их несколько сложно вычислить.

Двукруглый матроид

А матроид математическая структура, в которой определенные наборы элементов определены как независимый, таким образом, что независимые множества удовлетворяют свойствам, смоделированным после свойств линейная независимость в векторное пространство. Одним из стандартных примеров матроида является графический матроид в котором независимые множества - это множества ребер в лесах графа; Матроидная структура лесов важна в алгоритмах вычисления минимальное остовное дерево графа. Аналогичным образом мы можем определить матроидов по псевдолесам.

Для любого графика грамм = (V,E), мы можем определить матроид на краях грамм, в котором набор ребер независим тогда и только тогда, когда он образует псевдолесь; этот матроид известен как двукруглый матроид (или же велосипедный матроид) из грамм.^[19][20] Наименьшие зависимые множества для этого матроида - это минимальные связные подграфы грамм которые имеют более одного цикла, и эти подграфы иногда называют велосипедами. Есть три возможных типа велосипедов: тета-график имеет две вершины, которые соединены тремя внутренне непересекающимися путями, граф в виде восьмерки состоит из двух циклов, имеющих общую вершину, а граф наручников образован двумя непересекающимися циклами, соединенными путем.^[21]Граф является псевдолесом тогда и только тогда, когда он не содержит велосипед в качестве подграфа.^[10]

Запрещенные несовершеннолетние

В график бабочки (слева) и ромбовидный график (справа), запрещено несовершеннолетние для псевдолеса

Формирование незначительный псевдолеса путем сжатия одних его краев и удаления других дает другой псевдолес. Следовательно, семейство псевдолесов закрыто несовершеннолетних, а Теорема Робертсона – Сеймура означает, что псевдолеса можно охарактеризовать в терминах конечного набора запрещенные несовершеннолетние, аналогично Теорема Вагнера характеризуя планарные графы поскольку графики, не имеющие полный график K₅ ни полный двудольный граф K_3,3 как миноры. Как обсуждалось выше, любой граф, не являющийся псевдолесом, содержит в качестве подграфа наручник, фигуру 8 или тета-граф; любой наручник или график с цифрой 8 можно сжать, чтобы сформировать график бабочки (рис. 8 с пятью вершинами), и любой тета-граф может быть сжат, чтобы сформировать ромбовидный график (четырехвершинный тета-граф),^[22] поэтому любой не псевдолесный граф содержит либо бабочку, либо ромб в качестве второстепенного, и это единственные второстепенные минимальные графы без псевдолеса. Таким образом, граф является псевдолесом тогда и только тогда, когда в нем нет бабочки или ромба в качестве второстепенных. Если запретить только ромб, но не бабочку, получившееся большее семейство графов будет состоять из кактус графики и непересекающиеся объединения нескольких графов кактусов.^[23]

Проще говоря, если мультиграфы с петли считаются, есть только один запрещенный минор, вершина с двумя петлями.

Алгоритмы

Раннее алгоритмическое использование псевдолеса включает сетевой симплекс алгоритм и его применение к обобщенным потоковым задачам, моделирующим преобразование между товары разных типов.^[3][24] В этих задачах в качестве входных данных используется проточная сеть в котором вершины моделируют каждый товар, а края моделируют допустимые преобразования между одним товаром и другим. Каждый край отмечен значком емкость (сколько товара можно конвертировать в единицу времени), множитель расхода (коэффициент конверсии между товарами), а Стоимость (сколько убытков или, если они отрицательны, прибыли на единицу конверсии). Задача состоит в том, чтобы определить, какое количество каждого товара необходимо преобразовать через каждую границу потоковой сети, чтобы минимизировать затраты или максимизировать прибыль, соблюдая при этом ограничения мощности и не позволяя товарам любого типа накапливаться неиспользованными. Задачу такого типа можно сформулировать как линейная программа, и решено с помощью симплексный алгоритм. Промежуточные решения, возникающие из этого алгоритма, а также возможное оптимальное решение, имеют особую структуру: каждое ребро входной сети либо не используется, либо используется на полную мощность, за исключением подмножества ребер, образующих покрывающий псевдолес входная сеть, для которой объемы потока могут находиться в пределах от нуля до полной мощности. В этом приложении унициклические графы также иногда называют дополненные деревья а также максимальные псевдолеса иногда называют расширенные леса.^[24]

В проблема минимального охвата псевдолеса включает поиск остовного псевдолеса минимального веса в более крупном графе, взвешенном по ребрам грамм.Из-за матроидной структуры псевдолеса максимальные псевдолеса минимального веса могут быть найдены жадные алгоритмы аналогичные тем для минимальное остовное дерево проблема. Однако в этом случае Габоу и Тарьян нашли более эффективный подход с линейным временем.^[2]

В псевдоарборичность графа грамм определяется по аналогии с родословие как минимальное количество псевдолесов, на которые можно разбить его края; эквивалентно, это минимум k такой, что грамм является (k, 0) -редкое, или минимальное k такие, что края грамм можно сориентировать, чтобы сформировать ориентированный граф с исходящей степенью не более k. Из-за матроидной структуры псевдолеса псевдолесов может быть вычислен за полиномиальное время.^[25]

А случайный двудольный граф с п вершины по обе стороны от его двудольности, и с сп ребра, выбранные независимо, случайным образом из каждого из п² возможных пар вершин, является псевдолесом с высокой вероятностью всякий раз, когда c - константа строго меньше единицы. Этот факт играет ключевую роль при анализе кукушка, структура данных для поиска пар ключ-значение путем просмотра в одной из двух хэш-таблиц в местоположениях, определенных ключом: можно сформировать граф, «граф кукушки», вершины которого соответствуют местоположениям хеш-таблицы и чьи ребра связывают два местоположения, в которых может быть найден один из ключей, и алгоритм хеширования с кукушкой успешно находит местоположения для всех своих ключей тогда и только тогда, когда граф с кукушкой является псевдолесом.^[26]

Псевдолеса также играют ключевую роль в параллельные алгоритмы за раскраска графика и связанные с этим проблемы.^[27]

Примечания

1. Рассматриваемый здесь неориентированный граф часто называют мультиграф или псевдограф, чтобы отличить его от простой график.
2. Габоу и Тарджан (1988).
3. Данциг (1963).
4. См. Связанные статьи и ссылки в них для этих определений.
5. Это определение используется, например, Габоу и Вестерманн (1992).
6. Это определение в Габоу и Тарджан (1988).
7. См., Например, доказательство леммы 4 в Альварес, Блеса и Серна (2002).
8. Краскал, Рудольф и Снир (1990) вместо этого используйте противоположное определение, в котором каждая вершина имеет степень один; полученные графы, которые они называют однотонный, являются переносит рассмотренных здесь графиков.
9. Вудолл (1969); Ловас, Пах и Сегеди (1997).
10. Стрейну и Теран (2009).
11. Уайтли (1988).
12. Боллобаш (1985). См., В частности, следствие 24, стр.120, для оценки числа вершин, принадлежащих унициклическим компонентам в случайном графе, и следствие 19, стр.113, для оценки числа различных помеченных унициклических графов.
13. Ридделл (1951); видеть OEIS: A057500 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
14. Айгнер и Зиглер (1998).
15. Флажолет и Одлыжко (1990).
16. Конягин и др. (2010).
17. Мартин, Одлыжко и Вольфрам (1984).
18. Белый (1913); Колборн, Колборн и Розенбаум (1982); Стинсон (1983).
19. Симоэш-Перейра (1972).
20. Мэтьюз (1977).
21. Глоссарий подписанных графиков, графиков прироста и смежных областей
22. Для этой терминологии см. список небольших графиков от Информационная система по включению классов графов. Тем не мение, график бабочки может также относиться к другому семейству графов, связанных с гиперкубы, а фигуру 8 с пятью вершинами иногда называют граф-бабочка.
23. Эль-Маллах и Колборн (1988).
24. Ахуджа, Маньянти и Орлин (1993).
25. Габоу и Вестерманн (1992). См. Также схемы более быстрой аппроксимации Ковалик (2006).
26. Куцельнигг (2006).
27. Гольдберг, Плоткин и Шеннон (1988); Краскал, Рудольф и Снир (1990).

Рекомендации

• Ахуджа, Равиндра К.; Маньянти, Томас Л.; Орлин, Джеймс Б. (1993), Сетевые потоки: теория, алгоритмы и приложения, Прентис Холл, ISBN  0-13-617549-X.
• Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (1998), Доказательства из КНИГИ, Springer-Verlag, стр. 141–146.
• Альварес, Карме; Блеса, Мария; Серна, Мария (2002), "Универсальная устойчивость неориентированных графов в состязательной модели массового обслуживания", Proc. 14-й симпозиум ACM по параллельным алгоритмам и архитектурам, стр. 183–197, Дои:10.1145/564870.564903, HDL:2117/97553, S2CID  14384161.
• Боллобаш, Бела (1985), Случайные графы, Academic Press.
• Colbourn, Marlene J .; Колборн, Чарльз Дж.; Розенбаум, Вильф Л. (1982), "Поезда: инвариант для систем троек Штейнера", Ars Combinatoria, 13: 149–162, МИСТЕР  0666934.
• Данциг, Г.Б. (1963), Линейное программирование и расширения, Princeton University Press.
• Эль-Маллах, Эхаб; Колборн, Чарльз Дж. (1988), "Сложность некоторых задач удаления ребер", Транзакции IEEE в схемах и системах, 35 (3): 354–362, Дои:10.1109/31.1748.
• Флажолет, П.; Одлызко, А. (1990), "Статистика случайного отображения", Достижения в криптологии - EUROCRYPT '89: Семинар по теории и применению криптографических методов, Конспект лекций по информатике, 434, Springer-Verlag, стр. 329–354..
• Gabow, H.N .; Тарьян, Р.Э. (1988), «Алгоритм линейного времени для поиска псевдолеса с минимальным охватом», Письма об обработке информации, 27 (5): 259–263, Дои:10.1016/0020-0190(88)90089-0.
• Gabow, H.N .; Вестерманн, Х. Х. (1992), "Леса, фреймы и игры: алгоритмы для матроидных сумм и приложений", Алгоритмика, 7 (1): 465–497, Дои:10.1007 / BF01758774, S2CID  40358357.
• Гольдберг, А.В.; Плоткин, С. А .; Шеннон, Г. Э. (1988), «Параллельное нарушение симметрии в разреженных графах», Журнал SIAM по дискретной математике, 1 (4): 434–446, Дои:10.1137/0401044.
• Конягин Сергей; Лука, Флориан; Ман, Бернард; Мэтисон, Люк; Шпарлинский, Игорь Э. (2010), Функциональные графы многочленов над конечными полями
• Ковалик, Ł. (2006), «Схема аппроксимации для наименьшей исходящей степени ориентации и мер плотности графа», в Асано, Тецуо (ред.), Материалы Международного симпозиума по алгоритмам и вычислениям, Конспект лекций по информатике, 4288, Springer-Verlag, стр. 557–566, Дои:10.1007/11940128, ISBN  978-3-540-49694-6.
• Крускал, Клайд П.; Рудольф, Ларри; Снир, Марк (1990), "Эффективные параллельные алгоритмы для задач с графами", Алгоритмика, 5 (1): 43–64, Дои:10.1007 / BF01840376, S2CID  753980.
• Пикард, Жан-Клод; Queyranne, Морис (1982), "Решение сетевого потока для некоторых нелинейных задач программирования 0–1 с приложениями к теории графов", Сети, 12 (2): 141–159, Дои:10.1002 / нетто.3230120206, МИСТЕР  0670021.
• Куцельнигг, Рейнхард (2006), «Двудольные случайные графы и кукушечное хеширование», Четвертый коллоквиум по математике и информатике, Дискретная математика и теоретическая информатика, AG, стр. 403–406.
• Ловас, Л.; Pach, J .; Сегеди, М. (1997), «О догадке Конвея», Дискретная и вычислительная геометрия, 18 (4): 369–376, Дои:10.1007 / PL00009322.
• Martin, O .; Одлызко, А.М.; Вольфрам, С. (1984), «Алгебраические свойства клеточных автоматов», Коммуникации по математической физике, 93 (2): 219–258, Bibcode:1984CMaPh..93..219M, Дои:10.1007 / BF01223745, S2CID  6900060.
• Мэтьюз, Л. Р. (1977), "Бициркулярные матроиды", Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия, 28 (110): 213–227, Дои:10.1093 / qmath / 28.2.213, МИСТЕР  0505702.
• Ридделл, Р. Дж. (1951), Вклад в теорию конденсации, Кандидат наук. дипломная работа, Анн-Арбор: Мичиганский университет, Bibcode:1951ПХДТ ........ 20Р.
• Симуэш-Перейра, Дж. М. С. (1972), "О подграфах как матроидных клетках", Mathematische Zeitschrift, 127 (4): 315–322, Дои:10.1007 / BF01111390.
• Стинсон, Д. Р. (1983), "Сравнение двух инвариантов для систем троек Штейнера: фрагменты и поезда", Ars Combinatoria, 16: 69–76, МИСТЕР  0734047.
• Стрейну, И.; Теран, Л. (2009), "Разбиение графов, подтверждающее разреженность", Графы и комбинаторика, 25 (2): 219, arXiv:0704.0002, Дои:10.1007 / s00373-008-0834-4, S2CID  15877017.
• Уайт, Х.С. (1913), "Тройные системы как преобразования и их пути среди триад", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 14 (1): 6–13, Дои:10.2307/1988765, JSTOR  1988765.
• Уайтли, У. (1988), «Союз матроидов и жесткость каркасов», Журнал SIAM по дискретной математике, 1 (2): 237–255, Дои:10.1137/0401025.
• Woodall, D. R. (1969), "Thrackles and deadlock", на валлийском языке, D. J. A. (ed.), Комбинаторная математика и ее приложения, Academic Press, стр. 335–348..

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В., «Унициклический граф», MathWorld