Кватернионное многообразие - Quaternionic manifold - Wikipedia

В дифференциальная геометрия, а кватернионное многообразие это кватернионный аналог комплексное многообразие. Определение более сложное и техническое, чем определение для сложных многообразий, частично из-за некоммутативность кватернионов и частично из-за отсутствия подходящего исчисления голоморфные функции для кватернионов. В самом кратком определении используется язык грамм-структуры на многообразии. В частности, кватернионный н-многообразие можно определить как гладкое многообразие реальной размерности 4п оснащен без кручения -структура. Более наивные, но простые определения приводят к недостатку примеров и исключают такие места, как кватернионное проективное пространство которые, очевидно, следует рассматривать как кватернионные многообразия.

Определения

Расширенная кватернионная общая линейная группа

Если мы рассмотрим кватернионное векторное пространство как верно -модуль, мы можем идентифицировать алгебру правых -линейные отображения с алгеброй кватернионные матрицы действующий на слева. Обратимое право -линейные карты тогда образуют подгруппу из . Мы можем усилить эту группу с помощью группы ненулевых кватернионов, действующих скалярным умножением на справа. Поскольку это скалярное умножение равно -линейный (но нет -линейный) имеем еще одно вложение в . Группа тогда определяется как произведение этих подгрупп в . Поскольку пересечение подгрупп и в их общий центр (группа скалярных матриц с ненулевыми действительными коэффициентами) имеем изоморфизм

Почти кватернионная структура

An почти кватернионная структура на гладком многообразии это просто -структура на . Эквивалентно его можно определить как подгруппа из пучок эндоморфизмов так что каждое волокно изоморфна (как действительная алгебра ) к кватернионная алгебра . Подгруппа называется пучок почти кватернионной структуры. Многообразие с почти кватернионной структурой называется почти кватернионное многообразие.

Связка кватернионной структуры естественно допускает метрика пакета исходящий из структуры кватернионной алгебры, и с этой метрикой разбивается на ортогональный прямая сумма векторных пучковкуда - тривиальное линейное расслоение через тождественный оператор, а - векторное расслоение ранга 3, соответствующее чисто мнимым кватернионам. Ни связки или же обязательно тривиальны.

В пучок единичных сфервнутри соответствует чистой единице мнимых кватернионов. Это эндоморфизмы касательных пространств, равных −1. Пакет называется твистор пространство коллектора , и его свойства более подробно описаны ниже. Местные разделы из (определены локально) почти сложные конструкции. Существует район каждой точки в почти кватернионном многообразии со всем 2-сфера почти сложных структур, определенных на . Всегда можно найти такой, что

Обратите внимание, однако, что ни один из этих операторов не может быть расширен на все . То есть связка может признать нет Глобальный разделы (например, это случай с кватернионное проективное пространство ). Это резко контрастирует с ситуацией для сложных многообразий, которые всегда имеют глобально определенную почти сложную структуру.

Кватернионная структура

А кватернионная структура на гладком многообразии представляет собой почти кватернионную структуру который допускает без кручения аффинная связь сохранение . Такая связь никогда не бывает уникальной и не считается частью кватернионной структуры. А кватернионное многообразие гладкое многообразие вместе с кватернионной структурой на .

Особые случаи и дополнительные конструкции

Гиперкомплексные многообразия

А гиперкомплексное многообразие является кватернионным многообразием без кручения -структура. Приведение структурной группы к возможно тогда и только тогда, когда расслоение почти кватернионных структур тривиально (т.е. изоморфно ). Почти гиперкомплексная структура соответствует глобальному фрейму , или, что то же самое, тройка почти сложных структур , и такой, что

Гиперкомплексная структура - это почти гиперкомплексная структура, в которой каждая из , и интегрируемы.

Кватернионные кэлеровы многообразия

А кватернионное кэлерово многообразие является кватернионным многообразием без кручения -структура.

Гиперкэлеровы многообразия

А гиперкэлерово многообразие является кватернионным многообразием без кручения -структура. Гиперкэлерово многообразие одновременно является гиперкомплексным многообразием и кватернионным кэлеровым многообразием.

Твистор пространство

Учитывая кватернионный -многообразие , единичное 2-сферное подрасслоение соответствующие чисто единичным мнимым кватернионам (или почти сложным структурам), называется твистор пространство из . Получается, что когда существует естественный сложная структура на такие, что волокна выступа изоморфны . Когда , космос допускает естественный почти сложная структура, но эта структура интегрируема, только если многообразие самодвойственный. Оказывается, кватернионная геометрия на можно полностью восстановить по голоморфным данным о .

Теория твисторного пространства дает метод перевода проблем на кватернионных многообразиях в задачи на комплексных многообразиях, которые гораздо лучше поняты и допускают использование методов из алгебраическая геометрия. К сожалению, твисторное пространство кватернионного многообразия может быть довольно сложным даже для таких простых пространств, как .

Рекомендации

  • Бессе, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-15279-2.
  • Джойс, Доминик (2000). Компактные многообразия со специальной голономией. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850601-5.