Ранг группы - Rank of a group

О ранге без кручения см. Ранг абелевой группы; о размерности подгруппы Картана см. Ранг группы Ли.

в математический предмет чего-либо теория групп, то ранг группы грамм, обозначенный ранг (грамм), может относиться к самым маленьким мощность из создание набор для грамм, то есть

${displaystyle operatorname {rank} (G)=min{|X|:Xsubseteq G,langle Xangle =G}.}$

Если грамм это конечно порожденная группа, то звание грамм является целым неотрицательным числом. Понятие ранга группы является теоретико-групповым аналогом понятия размерность векторного пространства. Действительно, для п-группы, ранг группы п это размерность векторного пространства п/ Φ (п), где Φ (п) это Подгруппа Фраттини.

Ранг группы также часто определяется таким образом, чтобы гарантировать, что ранг подгрупп меньше или равен всей группе, что автоматически имеет место для размерностей векторных пространств, но не для таких групп, как аффинные группы. Чтобы различать эти разные определения, этот ранг иногда называют ранг подгруппы. Явно ранг подгруппы группы грамм - это максимум рангов его подгрупп:

${displaystyle operatorname {sr} (G)=max _{Hleq G}min{|X|:Xsubseteq H,langle Xangle =H}.}$

Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами.

Известные факты и примеры

• Для нетривиальной группы грамм, имеем ранг (грамм) = 1 тогда и только тогда, когда грамм это циклическая группа. Тривиальная группа Т имеет звание (Т) = 0, так как минимальное порождающее множество Т это пустой набор.
• Для свободная абелева группа ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$ у нас есть ${displaystyle {m {rank}}(mathbb {Z} ^{n})=n.}$
• Если Икс это набор и грамм = F(Икс) это свободная группа на бесплатной основе Икс затем ранг (грамм) = |Икс|.
• Если группа ЧАС это гомоморфный образ (или факторгруппа ) группы грамм затем ранг (ЧАС) ≤ ранг (грамм).
• Если грамм является конечным неабелевым простая группа (например. G = А_п, то переменная группа, за п > 4), то ранг (грамм) = 2. Этот факт является следствием Классификация конечных простых групп.
• Если грамм - конечно порожденная группа и Φ (грамм) ≤ грамм это Подгруппа Фраттини из грамм (что всегда нормально в грамм так что фактор-группа грамм/ Φ (грамм) определено), то rank (грамм) = ранг (грамм/ Φ (грамм)).^[1]
• Если грамм это фундаментальная группа закрытого (то есть компактный и без границы) связаны 3-х коллекторный M затем ранг (грамм)≤грамм(M), куда грамм(M) это Род Heegaard из M.^[2]
• Если ЧАС,K ≤ F(Икс) находятся конечно порожденный подгруппы свободная группа F(Икс) такая, что пересечение ${displaystyle L=Hcap K}$ нетривиально, то L конечно порожден и

классифицировать(L) - 1 ≤ 2 (ранг (K) - 1) (ранг (ЧАС) − 1).

Этот результат обусловлен Ханна Нойманн.^[3][4] В Гипотеза Ханны Нойман утверждает, что на самом деле у человека всегда есть ранг (L) - 1 ≤ (ранг (K) - 1) (ранг (ЧАС) - 1). В Гипотеза Ханны Нойман недавно решил Игорь Минеев^[5] и объявлен независимо Джоэлем Фридманом.^[6]

• По классике Теорема Грушко, ранг ведет себя аддитивно относительно взятия бесплатные продукты, то есть для любых групп А и B у нас есть

классифицировать(А${displaystyle ast }$B) = ранг (А) + ранг (B).

• Если ${displaystyle G=langle x_{1},dots ,x_{n}|r=1angle }$ это группа с одним отношением такой, что р это не примитивный элемент в свободной группе F(Икс₁,..., Икс_п), то есть, р не принадлежит к свободной основе F(Икс₁,..., Икс_п), то ранг (грамм) = п.^[7][8]

Проблема ранга

Алгоритмическая проблема изучается в теория групп, известный как проблема ранга. Проблема спрашивает, для определенного класса конечно представленные группы если существует алгоритм, который, учитывая конечное представление группы из класса, вычисляет ранг этой группы. Проблема ранга - одна из наиболее сложных алгоритмических проблем, изучаемых в теории групп, и о ней известно относительно мало. Известные результаты включают:

• Проблема ранга алгоритмически неразрешима для класса всех конечно представленные группы. Действительно, классическим результат Адиана – Рабина, не существует алгоритма определения тривиальности конечно определенной группы, поэтому даже вопрос о том,грамм) = 0 неразрешима для конечно определенных групп.^[9][10]
• Проблема ранга разрешима для конечных групп и конечно порожденных абелевы группы.
• Проблема ранга разрешима для конечно порожденных нильпотентные группы. Причина в том, что для такой группы грамм, то Подгруппа Фраттини из грамм содержит коммутаторная подгруппа из грамм и, следовательно, ранг грамм равен рангу абелианизация из грамм. ^[11]
• Проблема ранга неразрешима для словесные гиперболические группы.^[12]
• Проблема ранга разрешима для без кручения. Клейнианские группы.^[13]
• Проблема ранга открыта для конечно порожденных виртуально абелевых групп (содержащих абелеву подгруппу конечного индекс ), для практически свободных групп, и для 3-х коллекторный группы.

Обобщения и родственные понятия

Ранг конечно порожденная группа грамм можно эквивалентно определить как наименьшую мощность множества Икс такой, что существует на гомоморфизм F(Икс) → грамм, куда F(Икс) это свободная группа на бесплатной основе Икс. Есть двоякое понятие равняться из конечно порожденная группа грамм определяется как самый большой мощность из Икс такой, что существует на гомоморфизм грамм → F(Икс). В отличие от ранга, соранг всегда алгоритмически вычислим для конечно представленные группы,^[14] используя алгоритм Маканина и Разборов для решения систем уравнений в свободных группах.^[15][16]Понятие равного ранга связано с понятием вырезать номер за 3-х коллектор.^[17]

Если п это простое число, то п-классифицировать из грамм самый большой ранг элементарный абелев п-подгруппа.^[18] В секционный п-классифицировать - наибольший ранг элементарного абелева п-сечение (фактор подгруппы).

Смотрите также

• Ранг абелевой группы
• Прюфер ранг
• Теорема Грушко
• Бесплатная группа
• Эквивалентность Нильсена

Примечания

1. Д. Дж. С. Робинсон. Курс теории групп, 2-е изд., Тексты для выпускников по математике 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN  0-387-94461-3
2. Фридхельм Вальдхаузен. Некоторые проблемы на 3-многообразиях. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Часть 2, стр. 313–322, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, R.I., 1978; ISBN  0-8218-1433-8
3. Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп.Publicationes Mathematicae Debrecen, т. 4 (1956), 186–189.
4. Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Дополнение.Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), стр. 128
5. Игорь Миневев, «Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нойман». Анна. матем., 175 (2012), вып. 1, 393-414.
6. "Пучки на графах и доказательство гипотезы Ханны Нойман". Math.ubc.ca. Получено 2012-06-12.
7. Вильгельм Магнус, Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen, Monatshefte für Mathematik, vol. 47 (1939), стр. 307–313.
8. Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Классика в математике", перепечатка издания 1977 года. ISBN  978-3-540-41158-1; Предложение 5.11, с. 107
9. W. W. Boone.Проблемы решения алгебраических и логических систем в целом и рекурсивно перечислимые степени неразрешимости. 1968 Вклады в математику. Логика (Коллоквиум, Ганновер, 1966), с. 13 33 Северная Голландия, Амстердам
10. Чарльз Ф. Миллер, III. Решение задач для групп - обзор и размышления. Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 1–59, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, New York, 1992; ISBN  0-387-97685-X
11. Джон Леннокс и Дерек Дж. С. Робинсон. Теория бесконечных разрешимых групп. Оксфордские математические монографии. Кларендон Пресс, Oxford University Press, Оксфорд, 2004. ISBN  0-19-850728-3
12. Г. Баумслаг, К. Ф. Миллер и Х. Шорт. Неразрешимые задачи о малых сокращениях и гиперболических группах слов. Бюллетень Лондонского математического общества, вып. 26 (1994), стр. 97–101.
13. Илья Капович и Рихард Вайдманн. Клейновы группы и проблема ранга. Геометрия и топология, т. 9 (2005), стр. 375–402.
14. Джон Р. Столлингс.Задачи о свободных факторах групп. Геометрическая теория групп (Колумбус, Огайо, 1992), стр. 165–182, Ohio State Univ. Математика. Res. Inst. Publ., 3, de Gruyter, Berlin, 1995. ISBN  3-11-014743-2
15. Разборов А.А.Системы уравнений в свободной группе. Известия Академии Наук СССР, Серия Математическая, т. 48 (1984), нет. 4. С. 779–832.
16. Маканин Г.С.Уравнения в свободной группе. , Известия Академии Наук СССР, Серия Математическая, т. 46 (1982), нет. 6. С. 1199–1273.
17. Шелли Л. Харви. О отрезке 3-х многообразия. Геометрия и топология, т. 6 (2002), стр. 409–424
18. Ашбахер, М. (2002), Теория конечных групп, Cambridge University Press, стр. 5, ISBN  978-0-521-78675-1