Полу-местное кольцо - Semi-local ring

О старом смысле нётерова кольца с топологией, определяемой идеалом в радикале Джекобсона, см. Кольцо Зарисского.

В математика, а полулокальное кольцо это звенеть для которого р/ J (р) это полупростое кольцо, где J (р) это Радикал Якобсона из р. (Лам и 2001, §20 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLam2001, _§20 (помощь)(Михалев и 2002, С.7 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFMikhalev2002, _C.7 (помощь)

Приведенное выше определение выполняется, если р имеет конечное число максимальных правых идеалов (и конечное число максимальных левых идеалов). Когда р это коммутативное кольцо, обратная импликация также верна, и поэтому определение полулокального для коммутативных колец часто считается имеющим конечное число максимальные идеалы ".

В некоторой литературе коммутативное полулокальное кольцо в общем случае называютквазиколокальное кольцо, используя полулокальное кольцо для ссылки на Кольцо Нётериана с конечным числом максимальных идеалов.

Таким образом, полулокальное кольцо является более общим, чем местное кольцо, имеющая только один максимальный идеал (правый / левый / двусторонний).

Примеры

• Любой справа или слева Артинианское кольцо, любой серийное кольцо, и любые полусовершенное кольцо полу-местный.
• Частное ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ полулокальное кольцо. В частности, если ${\displaystyle m}$ это простая степень, тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ это местное кольцо.
• Конечная прямая сумма полей ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}}$ полулокальное кольцо.
• В случае коммутативных колец с единицей этот пример является прототипом в следующем смысле: Китайская теорема об остатках показывает, что для полулокального коммутативного кольца р с единицей и максимальными идеалами м₁, ..., м_п

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$.

(Карта является естественной проекцией). Правая часть представляет собой прямую сумму полей. Здесь отметим, что ∩_я м_я= J (р), и мы видим, что р/ J (р) действительно является полупростым кольцом.

• В классическое кольцо частных для любого коммутативного нётерова кольца является полулокальным кольцом.
• В кольцо эндоморфизмов из Артинианский модуль - полулокальное кольцо.
• Полулокальные кольца встречаются, например, в алгебраическая геометрия когда (коммутативное) кольцо р является локализованный относительно мультипликативно замкнутого подмножества S = ∩ (R p_я), где п_я конечно много главные идеалы.

Учебники

• Лам Т. Ю. (2001), «7», Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, ISBN  0-387-95183-0, МИСТЕР  1838439
• Михалев, Александр В .; Pilz, Günter F., eds. (2002), Краткий справочник по алгебре, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. Xvi + 618, ISBN  0-7923-7072-4, МИСТЕР  1966155