Метод снятия шока - Shock-capturing method

В вычислительная гидродинамика, методы улавливания шока представляют собой класс методов для вычисления невязкие потоки с участием ударные волны. Расчет потока, содержащего ударные волны, является чрезвычайно сложной задачей, поскольку такие потоки приводят к резким, прерывистым изменениям переменных потока, таких как давление, температура, плотность и скорость в скачке уплотнения.

Метод

В методах улавливания скачков определяющие уравнения невязких потоков (т.е. Уравнения Эйлера ) представлены в форме сохранения, и любые ударные волны или разрывы вычисляются как часть решения. Здесь не используется никакой специальной обработки, чтобы позаботиться о самих толчках, в отличие от метода ударной подгонки, где ударные волны явно вводятся в решение с использованием соответствующих соотношений ударных нагрузок (Отношения Ренкина – Гюгонио ). Ударные волны, предсказанные методами улавливания скачков уплотнения, обычно не резкие и могут размазываться по нескольким элементам сетки. Кроме того, классические методы захвата ударных волн имеют тот недостаток, что нефизические колебания (Феномен Гиббса ) может развиться вблизи сильных ударов.

Уравнения Эйлера

В Уравнения Эйлера являются определяющими уравнениями для невязкого течения. Для реализации методов улавливания ударов используется форма сохранения уравнений Эйлера. Для потока без внешнего теплообмена и передачи работы (изоэнергетический поток) форма сохранения уравнения Эйлера в Декартова система координат можно записать как

{displaystyle {frac {partial {mathbf {U}}} {partial t}} + {frac {partial {mathbf {F}}} {partial x}} + {frac {partial {mathbf {G}}}} {partial y }} + {frac {partial {mathbf {H}}} {partial z}} = 0}

где векторы U, F, г, и ЧАС даны

{displaystyle {mathbf {U}} = left [{egin {array} {c} ho ho u ho v ho w ho e_ {t} end {array}} ight] quad {mathbf {F}} = left [{egin {array} {c} ho u ho u ^ {2} + p ho uv ho uw (ho e_ {t} + p) u end {array}} ight] quad {mathbf {G}} = left [{начало {массив} {c} ho v ho vu ho v ^ {2} + p ho vw (ho e_ {t} + p) v end {array}} ight ] quad {mathbf {H}} = left [{egin {array} {c} ho w ho wu ho wv ho w ^ {2} + p (ho e_ {t} + p) w end { массив}} ight] qquad}

где ${displaystyle e_ {t}}$ это полная энергия (внутренняя энергия + кинетическая энергия + потенциальная энергия) на единицу массы. Это

{displaystyle e_ {t} = e + {frac {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}} {2}} + gz}

Уравнения Эйлера могут быть интегрированы с любым из доступных методов улавливания ударных волн для получения решения.

Классические и современные методы захвата шока

С исторической точки зрения методы фиксации шока можно разделить на две общие категории: классические методы и современные методы улавливания шока (также называемые схемами высокого разрешения). Современные методы улавливания шока обычно смещенный против ветра в отличие от классических симметричных или центральных дискретизаций. В схемах дифференцирования, смещенных против ветра, предпринимаются попытки дискретизировать уравнения в частных производных гиперболического типа с помощью дифференцирования на основе направления потока. С другой стороны, симметричные или центральные схемы не учитывают никакой информации о направлении распространения волны.

Независимо от используемой схемы захвата ударных волн, устойчивый расчет в присутствии ударных волн требует некоторой численной диссипации, чтобы избежать образования нефизических численных колебаний. В случае классических методов улавливания ударов численные члены диссипации обычно линейны, и одинаковое количество равномерно применяется во всех точках сетки. Классические методы захвата ударных волн показывают точные результаты только в случае гладких и слабых ударных волн, но когда в растворе присутствуют сильные ударные волны, на разрывах могут возникать нелинейные неустойчивости и колебания. Современные методы улавливания ударов обычно используют нелинейное численное рассеяние, когда механизм обратной связи регулирует количество добавляемого искусственного рассеяния в соответствии с особенностями решения. В идеале искусственное численное рассеяние необходимо добавлять только в непосредственной близости от толчков или других резких деталей, а области плавного течения следует оставлять неизменными. Эти схемы доказали свою устойчивость и точность даже для задач, содержащих сильные ударные волны.

Некоторые из хорошо известных классических методов захвата шока включают Маккормак метод (использует схему дискретизации для численного решения гиперболических уравнений в частных производных), Метод Лакса – Вендроффа (на основе конечных разностей использует численный метод решения гиперболические уравнения в частных производных ), и Луч – утепляющий метод. Примеры современных схем улавливания шоков включают в себя общее уменьшение вариации (TVD) схемы, впервые предложенные Harten, перенос с поправкой на поток схема, представленная Борисом и Книгой, Монотонные схемы законов сохранения, ориентированные на разведку и добычу (MUSCL) на основе Годунов подход и представленный ван Леер, различный по существу не колеблющийся схемы (ENO), предложенные Harten et al., и кусочно-параболический метод (PPM) предложено Колелла и Вудворд. Другой важный класс схем высокого разрешения относится к приближенным Решатели Римана предложено Икра и по Ошер. Схемы, предложенные Джеймсон и Бейкер, где линейные численные члены диссипации зависят от нелинейных функций переключения, находятся между классическими и современными методами улавливания ударов.

использованная литература

Книги

Андерсон, Дж. Д., «Современные сжимаемые потоки с исторической точки зрения», McGraw-Hill (2004).
Хирш, К., "Численный расчет внутренних и внешних потоков", Vol. II, 2-е изд., Баттерворт-Хайнеманн (2007).
Лэйни, К. Б., "Вычислительная газовая динамика", Кембриджский университет. Press 1998).
Левек, Р. Дж., "Численные методы для законов сохранения", Birkhauser-Verlag (1992).
Таннехилл, Дж. К., Андерсон, Д.А., и Плетчер, Р. Х., «Вычислительная гидродинамика и теплопередача», 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис (1997).
Торо, Э. Ф., "Решатели Римана и численные методы для динамики жидкости", 2-е изд., Springer-Verlag (1999).

Технические документы

Борис, Дж. П. и Бук, Д. Л., "Транспортировка с поправкой на поток III. FCT-алгоритмы с минимальной ошибкой", J. Comput. Phys., 20, 397–431 (1976).
Колелла, П. и Вудворд П., "Кусочно-параболический метод (PPM) для газодинамического моделирования", J. Comput. Phys., 54, 174–201 (1984).
Годунов, С.К., "Разностная схема для численного вычисления разрывного решения гиперболических уравнений", Матем. Сборник, 47, 271–306 (1959).
Хартен, А., "Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения", J. Comput. Phys., 49, 357–293 (1983).
Хартен, А., Энквист, Б., Ошер, С., и Чакраварти, С. Р., "Точные, практически не колеблющиеся схемы высокого порядка III", J. Comput. Phys., 71, 231–303 (1987).
Джеймсон, А. и Бейкер, Т., «Решение уравнений Эйлера для сложных конфигураций», AIAA Paper, 83–1929 (1983).
МакКормак, Р. У., "Влияние вязкости на образование кратеров при сверхскоростном ударе", AIAA Paper, 69–354 (1969).
Роу, П. Л., "Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы ", J. Comput. Phys. 43, 357–372 (1981).
Шу, Ч.-В., Ошер, С., "Эффективная реализация схем захвата практически не колеблющегося удара", J. Comput. Phys., 77, 439–471 (1988).
ван Леер, Б., "К предельной консервативной схеме различий V; продолжение второго порядка сиквела Годунова", J. Comput. Phys., 32, 101–136, (1979).