Размерная гомотопическая группа - Size homotopy group

Концепция чего-либо размер гомотопической группы аналогично в теория размеров классической концепции гомотопическая группа. Чтобы дать его определение, предположим, что a пара размеров ${displaystyle (M,varphi )}$ дано, где ${displaystyle M}$ это закрытый коллектор класса ${displaystyle C^{0} }$ и ${displaystyle varphi :M o mathbb {R} ^{k}}$ это непрерывная функция. Рассмотрим лексикографический порядок ${displaystyle preceq }$ на ${displaystyle mathbb {R} ^{k}}$ определяется установкой ${displaystyle (x_{1},ldots ,x_{k})preceq (y_{1},ldots ,y_{k}) }$ если и только если ${displaystyle x_{1}leq y_{1},ldots ,x_{k}leq y_{k}}$. Для каждого ${displaystyle Yin mathbb {R} ^{k}}$ набор ${displaystyle M_{Y}={Zin mathbb {R} ^{k}:Zpreceq Y}}$.

Предположить, что ${displaystyle Pin M_{X} }$ и ${displaystyle Xpreceq Y }$. Если ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle eta }$ два пути от ${displaystyle P }$ к ${displaystyle P }$ и гомотопия из ${displaystyle alpha }$ к ${displaystyle eta }$, на базе ${displaystyle P }$, существует в топологическое пространство ${displaystyle M_{Y} }$, то пишем ${displaystyle alpha approx _{Y}eta }$. В гомотопическая группа первого размера из пара размеров ${displaystyle (M,varphi ) }$ вычислено в ${displaystyle (X,Y) }$ определяется как набор частных из набора всех пути из ${displaystyle P }$ к ${displaystyle P }$ в ${displaystyle M_{X} }$ с уважением к отношение эквивалентности ${displaystyle approx _{Y} }$, наделенный операцией, индуцированной обычным составом базовых петли.^[1]

Другими словами, гомотопическая группа первого размера из пара размеров ${displaystyle (M,varphi ) }$ вычислено в ${displaystyle (X,Y) }$ и ${displaystyle P }$ это изображение${displaystyle h_{XY}(pi _{1}(M_{X},P)) }$из первых гомотопическая группа ${displaystyle pi _{1}(M_{X},P) }$ с базовой точкой ${displaystyle P }$ из топологическое пространство ${displaystyle M_{X} }$, когда ${displaystyle h_{XY} }$ это гомоморфизм индуцированный включением ${displaystyle M_{X} }$ в ${displaystyle M_{Y} }$.

В ${displaystyle n}$Гомотопическая группа -го размера получается заменой петель на основе ${displaystyle P }$ с непрерывные функции ${displaystyle alpha :S^{n} o M }$ взяв фиксированную точку ${displaystyle S^{n} }$ к ${displaystyle P }$, как бывает, когда выше гомотопические группы определены.

Рекомендации

1. Патрицио Фрозини, Микеле Мулаццани, Гомотопические группы размера для вычисления расстояний естественного размера, Бюллетень Бельгийского математического общества - Саймон Стевин, 6: 455–464, 1999.

Смотрите также

• Математический портал

• Функция размера
• Функтор размера
• Пара размеров
• Естественная псевдодистантность