Призрачная тройка - Spectral triple - Wikipedia

В некоммутативная геометрия и смежные отрасли математика и математическая физика, а спектральная тройка представляет собой набор данных, которые аналитически кодируют геометрическое явление. Определение обычно включает Гильбертово пространство, алгебра операторов на нем и неограниченное самосопряженный оператор, наделенный дополнительными структурами. Это было задумано Ален Конн кто был мотивирован Теорема Атьи-Зингера об индексе и стремился расширить его на «некоммутативные» пространства. Некоторые авторы называют это понятие неограниченный K-циклы или как неограниченный Фредгольмовые модули.

Мотивация

Интересным примером спектральной тройки является алгебра гладких функций на компакте. спиновый коллектор, действующий в гильбертовом пространстве L²-спиноры, сопровождаемый оператором Дирака, связанным со спиновой структурой. Зная эти объекты, можно восстановить исходное многообразие как метрическое пространство: многообразие как топологическое пространство восстанавливается как спектр алгебры, а (абсолютное значение) Оператор Дирака сохраняет метрику.^[1] С другой стороны, фазовая часть оператора Дирака в сочетании с алгебра функций, дает K-цикл, который кодирует теоретико-индексную информацию. Формула локального индекса^[2] выражает спаривание K-группы многообразия с этим K-циклом двумя способами: `` аналитическая / глобальная '' сторона включает в себя обычный след в гильбертовом пространстве и коммутаторы функций с фазовым оператором (что соответствует индексу 'часть теоремы об индексе), в то время как' геометрическая / локальная 'сторона включает След Диксмье и коммутаторы с оператором Дирака (что соответствует части теоремы об индексе «интегрирование характеристического класса»).

Расширения теоремы об индексе можно рассматривать в случаях, как правило, когда имеется действие группы на многообразии или когда на многообразии имеется слоение структура, среди прочего. В этих случаях алгебраическая система `` функций '', которая выражает лежащий в основе геометрический объект, больше не коммутативна, но можно найти пространство квадратичных интегрируемых спиноров (или секций модуля Клиффорда), на котором действует алгебра, и соответствующий оператор Дирака на нем, удовлетворяющий некоторой ограниченности коммутаторов, вытекающей из псевдодифференциального исчисления.

Определение

An нечетная спектральная тройка - тройка (A, H, D), состоящая из гильбертова пространства H, алгебры A операторов на H (обычно замкнутой относительно присоединения) и плотно определенного самосопряженного оператора D, удовлетворяющего условию ‖ [a, D] ‖ <∞ для любой a ∈ A. An даже спектральная тройка - нечетная спектральная тройка с Z/2Z-градуировка на H, такая, что элементы в A четные, а D нечетная по отношению к этой градуировке. Можно также сказать, что четная спектральная тройка задается квартетом (A, H, D, γ) таким, что γ - самосопряженный унитар на H, удовлетворяющий условию γ = γ a для любого a из A и D γ = - γ Д.

А конечно суммируемый спектральная тройка - это спектральная тройка (A, H, D) такая, что a.D для любого a из A имеет компактную резольвенту, которая принадлежит классу L^{р +}-операторы для фиксированного p (когда A содержит единичный оператор на H, достаточно потребовать D⁻¹ в L^{р +}(ЧАС)). Когда это условие выполнено, тройка (A, H, D) называется p-суммируемый. Спектральная тройка называется θ-суммируемый когда е^−tD² имеет следовой класс при любом t> 0.^[1]

Обозначим через δ (T) коммутатор | D | с оператором T на H. Спектральная тройка называется обычный когда элементы в A и операторы вида [a, D] для a в A находятся в области определения итераций δ^п из δ.

Когда спектральная тройка (A, H, D) p-суммируема, можно определить ее дзета-функция ζ_D(s) = Tr (| D |^−s); в более общем случае существуют дзета-функции ζ_б(s) = Tr (b | D |^−s) для каждого элемента b в алгебре B, порожденного δ^п(A) и δ^п([a, D]) для натуральных чисел n. Они связаны с тепловое ядро exp (-t | D |) на Преобразование Меллина. Набор полюсов аналитического продолжения ζ_б для b в B называется спектр размеров из (A, H, D).

А настоящий спектральная тройка - это спектральная тройка (A, H, D), сопровождаемая антилинейной инволюцией J на H, удовлетворяющей [a, JbJ] = 0 для a, b в A. В четном случае обычно предполагается, что J является даже в отношении оценки по H.

Важные понятия

Учитывая спектральную тройку (A, H, D), к ней можно применить несколько важных операций. Самым фундаментальным из них является полярное разложение D = F | D | оператора D в самосопряженный унитарный оператор F (`` фазу '' D) и плотно определенный положительный оператор | D | («метрическая» часть).

Метрика на чистом пространстве состояний

Положительный | D | оператор определяет метрику на множестве чистых состояний при замыкании нормы A.

Соединение с K-теорией

Самосопряженный унитарный F дает карту K-теории А в целые числа, взяв индекс Фредгольма следующим образом. В четном случае каждая проекция е в А разлагается как е₀ ⊕ е₁ под оценкой и е₁Fe₀ становится фредгольмовым оператором из е₀ЧАС к е₁ЧАС. Таким образоме → Инде₁Fe₀ определяет аддитивное отображение K₀(А) к Z. В нечетном случае разложение собственного подпространства F дает оценку ЧАС, и каждый обратимый элемент в А дает фредгольмов оператор (F + 1) и (F - 1) / 4 из (F − 1)ЧАС к (F + 1)ЧАС. Таким образом ты → Инд (F + 1) и (F - 1) / 4 дает аддитивное отображение из K₁(А) кZ.

Когда спектральная тройка конечно суммируема, можно записать вышеуказанные индексы, используя (супер) след, и произведение F, е (соотв.ты) и коммутатор F с е (соотв.ты). Это можно закодировать как (п + 1) -функционален на А удовлетворяющие некоторым алгебраическим условиям, и дают коциклы Хохшильда / циклических когомологий, которые описывают указанные выше отображения из K-теории в целые числа.

Смотрите также

Коцикл JLO

Примечания

^ ^а ^б А. Конн, Некоммутативная геометрия, Academic Press, 1994.
^ А. Конн, Х. Московичи; Формула локального индекса в некоммутативной геометрии