Проблема Стефана - Stefan problem

В математика и его приложения, особенно для фазовые переходы в зависимости от того, Проблема Стефана это особый вид краевая задача для система дифференциальных уравнений в частных производных (PDE), в котором граница между фазы может двигаться со временем. В классическая проблема Стефана стремится описать эволюцию границы между двумя фазами материала, подвергающегося изменение фазы, например плавление твердого тела, такого как лед к воды. Это достигается путем решения уравнения теплопроводности в обеих областях при заданных граничных и начальных условиях. На границе раздела фаз (в классической задаче) температура устанавливается равной температуре фазового перехода. Чтобы замкнуть математическую систему еще одним уравнением, Состояние Стефана, требуется. Это энергетический баланс, который определяет положение движущегося интерфейса. Обратите внимание, что эта развивающаяся граница неизвестна. (гипер-) поверхность; следовательно, проблемы Стефана являются примерами задачи со свободными границами.

Аналогичные проблемы возникают, например, при изучении течения пористой среды, математических расчетов и роста кристаллов из растворов мономеров.^[1]

Историческая справка

Проблема названа в честь Йозеф Стефан (Йожеф Стефан), словенец физик который представил общий класс таких проблем около 1890 г. в серии из четырех статей, касающихся замерзания земли и образования моря. лед.^[2] Однако примерно 60 лет назад, в 1831 году, аналогичная проблема, касающаяся образования земной коры, была изучена Ламе и Клапейрон. Проблема Стефана допускает решение подобия, это часто называют Neumann решение, которое якобы было представлено в серии лекций в начале 1860-х гг.

Подробное описание истории проблем Стефана можно найти у Рубинштейна.^[3]

Предпосылки к математическому описанию

С математической точки зрения фазы - это просто области, в которых решения лежащей в основе PDE непрерывны и дифференцируются до порядка PDE. В физических задачах такие решения представляют свойства среды для каждой фазы. Подвижные границы (или интерфейсы ) бесконечно тонкие поверхности разделяющие смежные фазы; следовательно, решения базового PDE и его производных могут иметь разрывы между интерфейсами.

Базовые PDE недействительны на интерфейсах фазового перехода; следовательно, дополнительное условие - Состояние Стефана- необходимо для получения закрытие. Состояние Стефана выражает локальную скорость подвижной границы как функция величин, оцениваемых по обе стороны от фазовой границы, и обычно выводится из физического ограничения. В проблемах теплопередача с фазовым переходом, например, сохранение энергии диктует, что прерывность Тепловой поток на границе должны учитываться по ставке скрытая теплота релиз (который пропорционален локальной скорости границы раздела).

Математическая формулировка

Одномерная однофазная задача Стефана

Однофазная задача Стефана основана на предположении, что одной из материальных фаз можно пренебречь. Обычно это достигается путем предположения, что фаза находится при температуре фазового перехода, и, следовательно, любое отклонение от нее приводит к изменению фазы. Это математически удобное приближение, которое упрощает анализ, одновременно демонстрируя основные идеи, лежащие в основе процесса. Еще одно стандартное упрощение - работать в безразмерный формат, так что температура на интерфейсе может быть установлена ​​на ноль, а значения дальнего поля на +1 или -1.

Рассмотрим полубесконечный одномерный блок льда, изначально имеющий температуру плавления. ты ≡ 0 для Икс ∈ [0, +∞). Наиболее известная форма проблемы Стефана включает плавление через заданную постоянную температуру на левой границе, оставляя область [0, s(т)] занята водой. Глубина плавления, обозначенная s(т), - неизвестная функция времени. Проблема Стефана определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}&&{\text{in }}\{(x,t):0<x<s(t),t>0\},&&{\text{the heat equation}},\\[6pt]u(0,t)&=1,&&t>0,&&{\text{fixed temperature, above the melt temperature, on the left boundary}},&&\\[6pt]u{\big (}s(t),t{\big )}&=0,&&t>0,&&{\text{the interface at the melting temperature}},\\[6pt]\beta {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}{\big (}s(t),t{\big )},&&t>0,&&{\text{Stefan condition}},\\[6pt]u(x,0)&=0,&&x\geq 0,&&{\text{initial temperature distribution}},\\[6pt]s(0)&=0,&&&&{\text{initial depth of the melted ice block}}.\end{aligned}}}$

где β - число Стефана, отношение скрытого к конкретный явное тепло (где "конкретный" означает деление на массу). Обратите внимание, что это определение естественно следует из безразмерности и используется во многих текстах. ^[4][5] однако это также может быть определено как обратное этому (например, в статье Википедии, Число Стефана ).

Решение Неймана, полученное с использованием автомодельных переменных, указывает, что положение границы задается формулой ${\textstyle s=2\lambda {\sqrt {t}}}$ где λ удовлетворяет трансцендентное уравнение

$${\displaystyle {\begin{aligned}\beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\text{exp}}(-\lambda ^{2})}{{\text{erf}}(\lambda )}}.\end{aligned}}}$$

Тогда температура жидкости определяется выражением

$${\displaystyle T=1-{\frac {{\text{erf(}}x/(2{\sqrt {t}}))}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}$$

Приложения

Помимо моделирования плавления твердых тел, задача Стефана также используется в качестве модели асимптотического поведения (во времени) более сложных задач. Например, Pego^[6] использует согласованные асимптотические разложения, чтобы доказать, что решения Кана-Хилларда для задач разделения фаз ведут себя как решения нелинейной задачи Стефана в промежуточном масштабе времени. Кроме того, решение Уравнение Кана – Хиллиарда для бинарной смеси разумно сравнимо с решением проблемы Стефана.^[7] В этом сравнении проблема Стефана была решена с использованием метода отслеживания фронта и движущейся сетки с однородными Граничные условия Неймана на внешней границе. Также задачи Стефана могут быть применены для описания фазовых превращений.^[8]

Проблема Стефана также имеет богатую обратную теорию; в таких задачах глубина встречи (или кривая или гиперповерхность ) s это известные данные, и проблема состоит в том, чтобы найти ты или ж.^[9]

Продвинутые формы проблемы Стефана

Классическая задача Стефана имеет дело с неподвижными материалами с постоянными теплофизическими свойствами (обычно независимо от фазы), постоянной температурой фазового перехода и, в приведенном выше примере, мгновенным переключением с начальной температуры на определенное значение на границе. На практике термические свойства могут меняться, и в частности, они всегда меняются при изменении фазы. Скачок плотности при изменении фазы вызывает движение жидкости: результирующая кинетическая энергия не фигурирует в стандартном энергетическом балансе. При мгновенном переключении температуры начальная скорость жидкости бесконечна, что приводит к начальной бесконечной кинетической энергии. На самом деле слой жидкости часто находится в движении, поэтому требуется адвекция или конвекция условия в уравнение теплопроводности. Температура плавления может варьироваться в зависимости от размера, кривизны или скорости поверхности раздела. Невозможно мгновенно переключить температуру, а затем трудно поддерживать точно фиксированную граничную температуру. Кроме того, на наномасштабе температура может даже не подчиняться закону Фурье.

Некоторые из этих проблем были решены в последние годы для различных физических приложений. При затвердевании переохлажденных расплавов анализ, в котором температура фазового перехода зависит от скорости границы раздела фаз, можно найти в Font. и другие.^[10] Смоделировано наноразмерное затвердевание с переменной температурой фазового перехода и эффектами энергии / плотности.^[11][12] Затвердевание с течением в канале изучено в контексте лавы.^[13] и микроканалы,^[14] или со свободной поверхностью в контексте замерзания воды над слоем льда.^[15][16] Общая модель, включающая различные свойства в каждой фазе, переменную температуру фазового перехода и уравнения теплопроводности, основанная либо на законе Фурье, либо на уравнении Гайера-Крумхансла, анализируется в.^[17]

Смотрите также

• Задача со свободной границей
• Ольга Арсеньевна Олейник
• Шошана Камин
• Уравнение Стефана

Заметки

1. Прикладные уравнения в частных производных. Окендон, Дж. Р. (Rev. ed.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 2003 г. ISBN  0-19-852770-5. OCLC  52486357.
2. (Вуйк 1993, п. 157).
3. РУБИНШТЕЙН, Л. И. (2016). ПРОБЛЕМА СТЕФАНА. [Место публикации не указано]: Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-2850-1. OCLC  973324855.
4. Дэвис, Стивен Х., 1939-. Теория затвердевания. Кембридж. ISBN  978-0-511-01924-1. OCLC  232161077.
5. Фаулер, А.С. (Эндрю Кэдл), 1953- (1997). Математические модели в прикладных науках. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46140-5. OCLC  36621805.
6. Р. Л. Пего. (1989). Передняя миграция в нелинейном уравнении Кана-Хиллиарда. Proc. R. Soc. Лондон. А.,422:261–278.
7. Vermolen, F.J .; Gharasoo, M. G .; Zitha, P. L.J .; Брюнинг, Дж. (2009). «Численные решения некоторых задач диффузной границы: уравнение Кана – Хиллиарда и модель Томаса и Виндла». Международный журнал многомасштабной вычислительной инженерии. 7 (6): 523–543. Дои:10.1615 / IntJMultCompEng.v7.i6.40.
8. Альваренга HD, Ван де Путтер Т., Ван Стинберг Н., Сиетсма Дж., Террин Х. (апрель 2009 г.). «Влияние морфологии и микроструктуры карбидов на кинетику поверхностного обезуглероживания C-Mn сталей». Металлургические операции и операции с материалами A. 46: 123–133. Bibcode:2015MMTA ... 46..123A. Дои:10.1007 / s11661-014-2600-у. S2CID  136871961.
9. (Кирш 1996 ).
10. Шрифт, F .; Mitchell, S.L .; Майерс, Т. Г. (1 июля 2013 г.). «Одномерное затвердевание переохлажденных расплавов». Международный журнал тепломассообмена. 62: 411–421. Дои:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2013.02.070. ISSN  0017-9310.
11. Майерс, Т. Г. (2016-08-01). «Математическое моделирование фазового перехода на наноуровне». Международные коммуникации в тепло- и массообмене. 76: 59–62. Дои:10.1016 / j.icheatmasstransfer.2016.05.005. ISSN  0735-1933.
12. Шрифт, F .; Myers, T. G .; Митчелл, С. Л. (февраль 2015 г.). «Математическая модель плавления наночастиц с изменением плотности». Микрофлюидика и нанофлюидика. 18 (2): 233–243. Дои:10.1007 / s10404-014-1423-х. ISSN  1613-4982. S2CID  54087370.
13. Листер, Дж. Р. (1994). «Затвердевание потока, управляемого плавучестью, в канале с гибкими стенками. Часть 1. Выпуск постоянного объема». Журнал гидромеханики. 272: 21–44. Bibcode:1994JFM ... 272 ​​... 21л. Дои:10.1017 / S0022112094004362.
14. Myers, T. G .; Лоу, Дж. (Октябрь 2011 г.). «Приближенная математическая модель затвердевания текущей жидкости в микроканале». Микрофлюидика и нанофлюидика. 11 (4): 417–428. Дои:10.1007 / s10404-011-0807-4. ISSN  1613-4982. S2CID  97060677.
15. Myers, T. G .; Шарпен, Дж. П. Ф .; Чепмен, С. Дж. (Август 2002 г.). «Течение и затвердевание тонкой пленки жидкости на произвольной трехмерной поверхности». Физика жидкостей. 14 (8): 2788–2803. Bibcode:2002ФФл ... 14.2788М. Дои:10.1063/1.1488599. HDL:2117/102903. ISSN  1070-6631.
16. Myers, T.G .; Шарпен, J.P.F. (Декабрь 2004 г.). «Математическая модель обледенения атмосферы и течения воды на холодной поверхности». Международный журнал тепломассообмена. 47 (25): 5483–5500. Дои:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2004.06.037.
17. Myers, T. G .; Hennessy, M.G .; Кальво-Шварцвельдер, М. (01.03.2020). «Задача Стефана с переменными теплофизическими свойствами и температурой фазового перехода». Международный журнал тепломассообмена. 149: 118975. arXiv:1904.05698. Дои:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.118975. ISSN  0017-9310. S2CID  115147121.

использованная литература

Исторические ссылки

• Вуйк, К. (1993), «Некоторые исторические заметки о проблеме Стефана», Nieuw Archief voor Wiskunde, 4е серия, 11 (2): 157–167, Bibcode:1993STIN ... 9332397V, Г-Н  1239620, Zbl  0801.35002. Интересная историческая статья о первых днях теории; а препринт версия (в PDF формат) доступен здесь [1].

Научные и общие ссылки

• Пушка, Джон Розье (1984), Одномерное уравнение тепла, Энциклопедия математики и ее приложений, 23 (1-е изд.), Чтение –Menlo Park –Лондон –Дон Миллс –Сидней –Токио / Кембридж –Нью-Йорк –Нью-Рошель –Мельбурн –Сидней: Издательство Эддисон-Уэсли /Издательство Кембриджского университета, стр. XXV + 483, ISBN  978-0-521-30243-2, Г-Н  0747979, Zbl  0567.35001. Содержит обширную библиографию, 460 статей из которых посвящены Стефану и другим. задачи со свободными границами, обновлено до 1982 г.
• Кирш, Андреас (1996), Введение в математическую теорию обратных задач, Серия прикладных математических наук, 120, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. x + 282, ISBN  0-387-94530-X, Г-Н  1479408, Zbl  0865.35004
• Меирманов, Анварбек М. (1992), Проблема Стефана, Выставки Де Грюйтера по математике, 3, Берлин - Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, стр. x + 245, Дои:10.1515/9783110846720, ISBN  3-11-011479-8, Г-Н  1154310, Zbl  0751.35052. - черезДе Грюйтер (требуется подписка) Важная монография одного из ведущих авторов в этой области, описывающая его доказательство существования классическое решение к многомерной проблеме Стефана и изучению ее исторического развития.
• Олейник, О.А. (1960), "Метод решения общей проблемы Стефана", Доклады Академии Наук СССР (по-русски), 135: 1050–1057, Г-Н  0125341, Zbl  0131.09202. Статья, содержащая доказательство Ольги Олейник существования и единственности обобщенное решение для трехмерный Задача Стефана, основанная на предыдущих исследованиях ее ученика S.L. Каменомостская.
• Каменомостская, С.Л. (1958), «О проблеме Стефана», Научные доклады Высшей школы, Физико-математические науки (по-русски), 1 (1): 60–62, Zbl  0143.13901. Более ранний отчет об исследовании автора проблемы Стефана.
• Каменомостская, С.Л. (1961), "О проблеме Стефана", Математический сборник , 53 (95) (4): 489–514, Г-Н  0141895, Zbl  0102.09301. В данной статье автор доказывает существование и единственность обобщенное решение для трехмерный Задача Стефана, позже исправленная ее мастером Ольгой Олейник.
• Рубинштейн, Л. И. (1971), Проблема Стефана, Переводы математических монографий, 27, Провиденс, Р.: Американское математическое общество, стр. viii + 419, ISBN  0-8218-1577-6, Г-Н  0351348, Zbl  0219.35043. Исчерпывающий справочник, написанный одним из ведущих авторов теории, обновленный до 1962–1963 годов и содержащий библиографию из 201 пункта.
• Тарция, Доминго Альберто (июль 2000 г.), «Библиография по граничным задачам со свободными движущимися границами для уравнения диффузии тепла. Стефан и связанные с ними проблемы», МАТ. Серия A: Конференции, Семинарии и Трабахос-де-Математика, 2: 1–297, Дои:10.26422 / MAT.A.2000.2.tar, ISSN  1515-4904, Г-Н  1802028, Zbl  0963.35207. Впечатляющая личная библиография автора по задачам с движущимися и свободными границами (M – FBP) для уравнения диффузии тепла (H – DE), содержащая около 5900 ссылок на работы, появилась примерно в 884 различных публикациях. Его заявленная цель - попытаться дать исчерпывающий отчет о существующей западной математико-физико-инженерной литературе в этой области исследований. Собран практически весь материал по теме, опубликованный после исторической и первой статьи Ламе – Клапейрона (1831 г.). Источники включают научные журналы, материалы симпозиумов или конференций, технические отчеты и книги.

внешние ссылки

• Васильев Ф. П. (2001) [1994], «Состояние Стефана», Энциклопедия математики, EMS Press
• Васильев Ф. П. (2001) [1994], "Проблема Стефана", Энциклопедия математики, EMS Press
• Васильев Ф. П. (2001) [1994], «Задача Стефана, обратная», Энциклопедия математики, EMS Press