Субпроизводная - Subderivative

Выпуклая функция (синий цвет) и «субкасательные линии» на Икс₀ (красный).

В математика, то субпроизводный, субградиент, и субдифференциальный обобщить производная выпуклым функциям, которые не обязательно дифференцируемый. Субпроизводные возникают в выпуклый анализ, изучение выпуклые функции, часто в связи с выпуклая оптимизация.

Позволять ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ быть настоящий -значная выпуклая функция, определенная на открытый интервал реальной линии. Такая функция не обязательно должна быть дифференцируемой во всех точках: например, абсолютная величина функция ж(Икс)=|Икс| недифференцируем, когда Икс= 0. Однако, как видно на графике справа (где f (x) синим цветом имеет недифференцируемые изломы, аналогичные функции абсолютного значения), для любого Икс₀ в области определения функции можно провести линию, проходящую через точку (Икс₀, ж(Икс₀)) и который всюду либо касается, либо ниже графика ж. В склон такой линии называется субпроизводный (потому что линия находится под графиком ж).

Определение

Строго говоря, субпроизводный выпуклой функции ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ в какой-то момент Икс₀ в открытом интервале я это реальное число c такой, что

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$

для всех Икс в я. Можно показать, что набор субпроизводных на Икс₀ для выпуклой функции является непустой закрытый интервал [а, б], куда а и б являются односторонние ограничения

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

которые гарантированно существуют и удовлетворяют а ≤ б^{[нужна цитата ]}.

Набор [а, б] всех подчиненных производных называется субдифференциальный функции ж в Икс₀. С ж выпукло, если его субдифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$ содержит ровно одну подчиненную, то ж дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}}$.^[1]

Примеры

Рассмотрим функцию ж(Икс)=|Икс| который выпуклый. Тогда субдифференциал в нуле - это интервал [−1, 1]. Субдифференциал в любой точке Икс₀<0 - это одноэлементный набор {−1}, а субдифференциал в любой точке Икс₀> 0 - одноэлементный набор {1}. Это похоже на функция знака, но не является однозначной функцией в 0, а включает все возможные производные.

Характеристики

• Выпуклая функция ж:я→р дифференцируема в Икс₀ если и только если субдифференциал состоит только из одной точки, которая является производной в Икс₀.
• Точка Икс₀ это глобальный минимум выпуклой функции ж тогда и только тогда, когда в субдифференциале содержится ноль, то есть на рисунке выше, можно провести горизонтальную «субкасательную линию» к графику ж в (Икс₀, ж(Икс₀)). Это последнее свойство является обобщением того факта, что производная функции, дифференцируемой в локальном минимуме, равна нулю.
• Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ выпуклые функции с субдифференциалами ${\displaystyle \partial f(x)}$ и ${\displaystyle \partial g(x)}$, то субдифференциал ${\displaystyle f+g}$ является ${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$ (где оператор сложения обозначает Сумма Минковского ). Это читается как «субдифференциал суммы есть сумма субдифференциалов». ^[2]

Субградиент

Понятия субпроизводной и субдифференциала можно обобщить на функции нескольких переменных. Если ж:U→ р - выпуклая функция с действительными значениями, определенная на выпуклый открытый набор в Евклидово пространство р^п, вектор ${\displaystyle v}$ в этом пространстве называется субградиент в какой-то момент Икс₀ в U если для любого Икс в U надо

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0})}$

где точка обозначает скалярное произведение. Набор всех субградиентов при Икс₀ называется субдифференциальный в Икс₀ и обозначается ∂ж(Икс₀). Субдифференциал - это всегда непустой выпуклый компактный набор.

Эти концепции далее обобщаются на выпуклые функции ж:U→ р на выпуклый набор в локально выпуклое пространство V. Функциональный ${\displaystyle v}$^∗ в двойное пространство V^∗ называется субградиент в Икс₀ в U если для всех Икс в U

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

Набор всех субградиентов при Икс₀ называется субдифференциалом при Икс₀ и снова обозначается ∂ж(Икс₀). Субдифференциал всегда выпуклый. закрытый набор. Это может быть пустой набор; рассмотрим, например, неограниченный оператор, который выпуклый, но не имеет субградиента. Если ж непрерывна, субдифференциал непуст.

История

Субдифференциал по выпуклым функциям был введен Жан Жак Моро и Р. Тиррелл Рокафеллар в начале 1960-х гг. В обобщенный субдифференциальный для невыпуклых функций была введена Ф.Х. Кларком и Р.Т. Рокафеллар в начале 1980-х.^[3]

Смотрите также

• Слабая производная
• Субградиентный метод

Рекомендации

1. Рокафеллар, Р. Т. (1970). Выпуклый анализ. Издательство Принстонского университета. п. 242 [Теорема 25.1]. ISBN  0-691-08069-0.
2. Лемарешаль, Клод; Хириарт-Уррути, Жан-Батист (2001). Основы выпуклого анализа. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. п.183. ISBN  978-3-642-56468-0.
3. Кларк, Фрэнк Х. (1983). Оптимизация и негладкий анализ. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. xiii + 308. ISBN  0-471-87504-X. МИСТЕР  0709590.

• Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан С. (2010). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-31256-9.
• Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (2001). Основы выпуклого анализа. Springer. ISBN  3-540-42205-6.
• Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. World Scientific Publishing Co., Inc., стр. Xx + 367. ISBN  981-238-067-1. МИСТЕР  1921556.

внешняя ссылка

• "Использование ${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$". Обмен стеком. 15 июля 2002 г.