Временная эволюция интегралов - Time evolution of integrals

Во многих приложениях необходимо рассчитать скорость изменения из объем или же поверхностный интеграл чья область интеграция, так же хорошо как интегрировать, находятся функции определенного параметра. В физических приложениях этот параметр часто время т.

Вступление

Скорость изменения одномерных интегралов при достаточно гладкий интегрантов, регулируется этим расширение из основная теорема исчисления:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)}$

В расчет движущихся поверхностей^[1] обеспечивает аналогичный формулы для объемных интегралов по Евклидовы области, и поверхностные интегралы по дифференциальная геометрия поверхностей, криволинейные поверхности, включая интегралы по криволинейным поверхностям с движущимся контуром границы.

Объемные интегралы

Позволять т быть похожим на время параметр и рассмотрим зависящий от времени домен Ω с гладкой поверхность граница S. Позволять F быть зависимым от времени инвариантный поле, определенное внутри Ω. Тогда скорость изменения интеграл ${\displaystyle \int _{\Omega }F\,d\Omega }$

регулируется следующим законом:^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS}$

куда C это скорость интерфейса. Скорость интерфейса C является фундаментальной концепцией в расчет движущихся поверхностей. В приведенном выше уравнении C должно быть выражено по отношению к внешнему нормальный. Этот закон можно рассматривать как обобщение основная теорема исчисления.

Поверхностные интегралы

Соответствующий закон регулирует скорость изменения из поверхностный интеграл

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

Закон гласит

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS}$

где ${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$-производная это фундаментальный оператор в расчет движущихся поверхностей, первоначально предложенный Жак Адамар. ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$ это след тензор средней кривизны. В этом законе C не обязательно быть выражением по отношению к внешней нормали, пока выбор нормали согласован для C и ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$. Первый член в приведенном выше уравнении отражает скорость изменения F в то время как второй корректирует расширение или сокращение площади. Тот факт, что средняя кривизна представляет собой скорость изменения площади, следует из применения приведенного выше уравнения к ${\displaystyle F\equiv 1}$ поскольку ${\displaystyle \int _{S}\,dS}$ это площадь:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS}$

Вышеприведенное уравнение показывает, что средняя кривизна ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$ можно уместно назвать градиент формы площади. Эволюция, управляемая

${\displaystyle C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }}$

популярный средняя кривизна потока и представляет крутой спуск по площади. Обратите внимание, что для сфера радиуса р, ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R}$, а для круг радиуса р, ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R}$относительно внешней нормали.

Поверхностные интегралы с движущимися контурными границами

Иллюстрация к закону для поверхностных интегралов с подвижным контуром. Изменение площади происходит по двум причинам: расширение за счет кривизны ${\displaystyle CB_{\alpha }^{\alpha }dt}$ и расширение за счет аннексии ${\displaystyle cdt}$.

Предположим, что S - подвижная поверхность с подвижным контуром γ. Предположим, что скорость контура γ относительно S является c. Тогда скорость изменения интеграла, зависящего от времени:

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

является

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma }$

Последний термин отражает изменение площади из-за аннексии, как показано на рисунке справа.

Рекомендации

1. Гринфельд, П. (2010). «Гамильтоновы динамические уравнения для жидких пленок». Исследования по прикладной математике. Дои:10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.