Топологическая производная - Topological derivative

В топологическая производная концептуально производная формы функционала относительно бесконечно малых изменений в ее топологии, таких как добавление бесконечно малого отверстия или трещины. При использовании в более высоких измерениях, чем один, термин топологический градиент также используется для обозначения члена первого порядка топологического асимптотического разложения, имеющего дело только с бесконечно малыми возмущениями сингулярной области. Он имеет приложения в оптимизация формы, оптимизация топологии, обработка изображений и механическое моделирование.

Определение

Позволять ${displaystyle Omega }$ открытая ограниченная область ${displaystyle mathbb {R} ^{d}}$, с участием ${displaystyle dgeq 2}$, который подвержен негладкому возмущению, ограниченному небольшой областью ${displaystyle omega _{varepsilon }({ ilde {x}})={ ilde {x}}+varepsilon omega }$ размера ${displaystyle varepsilon }$ с ${displaystyle { ilde {x}}}$ произвольная точка ${displaystyle Omega }$ и ${displaystyle omega }$ фиксированная область ${displaystyle mathbb {R} ^{d}}$. Позволять ${displaystyle Psi }$ - характеристическая функция, связанная с невозмущенной областью, и ${displaystyle Psi _{varepsilon }}$ быть характеристической функцией, связанной с перфорированной областью ${displaystyle Omega _{varepsilon }=Omega ackslash {overline {omega _{varepsilon }}}}$. Заданная форма функционала ${displaystyle Phi (Psi _{varepsilon }({ ilde {x}}))}$ связанная с топологически возмущенной областью, допускает следующее топологическое асимптотическое разложение:

${displaystyle Phi (Psi _{varepsilon }({ ilde {x}}))=Phi (Psi )+f(varepsilon )g({ ilde {x}})+o(f(varepsilon ))}$

где ${displaystyle Phi (Psi )}$ - функционал формы, связанный с эталонной областью, ${displaystyle f(varepsilon )}$ - положительная поправочная функция первого порядка от ${displaystyle Phi (Psi )}$ и ${displaystyle o(f(varepsilon ))}$ это остаток. Функция ${displaystyle g({ ilde {x}})}$ называется топологической производной от ${displaystyle Phi }$ в ${displaystyle { ilde {x}}}$.

Приложения

Строительная механика

Топологическая производная может применяться к задачам оптимизации формы в строительной механике.^[1] Топологическую производную можно рассматривать как сингулярный предел производной формы. Это обобщение этого классического инструмента оптимизации формы.^[2] Оптимизация формы связана с поиском оптимальной формы. То есть найти ${displaystyle Omega }$ минимизировать некоторые скалярные значения целевая функция, ${displaystyle J(Omega )}$. Технику топологической производной можно сочетать с метод установки уровня.^[3]

В 2005 г. топологическое асимптотическое разложение для Уравнение лапласа относительно внедрения короткой трещины внутрь плоского домена. Он позволяет обнаруживать и локализовать трещины для простой модельной задачи: уравнения стационарной теплопроводности с наложенным тепловым потоком и температурой, измеренной на границе.^[4] Топологическая производная была полностью разработана для широкого круга дифференциальных операторов второго порядка, а в 2011 году она была применена к Проблема изгиба пластины Кирхгофа с оператором четвертого порядка.^[5]

Обработка изображений

В области обработки изображений в 2006 г. топологическая производная использовалась для выполнения обнаружение края и восстановление изображения. Изучено влияние изоляционной трещины в домене. Топологическая чувствительность дает информацию о краях изображения. Представленный алгоритм не является итеративным и благодаря использованию спектральных методов имеет короткое время вычислений.^[6] Только ${displaystyle O(Nlog(N))}$ операции необходимы для обнаружения краев, где ${displaystyle N}$ это количество пикселей.^[7] В последующие годы рассматривались и другие проблемы: классификация, сегментация, рисование и сверхвысокое разрешение.^{[7][8][9][10][11]} Этот подход может быть применен к серым или цветным изображениям.^[12] До 2010 г. для реконструкции изображений использовалась изотропная диффузия. Топологический градиент также может обеспечивать ориентацию кромок, и эта информация может использоваться для выполнения анизотропная диффузия.^[13]

В 2012 году представлена ​​общая основа для реконструкции изображения. ${displaystyle uin L^{2}(Omega )}$ учитывая некоторые шумные наблюдения ${displaystyle Lu+n}$ в гильбертовом пространстве ${displaystyle E}$ где ${displaystyle Omega }$ это область, в которой изображение ${displaystyle u}$ определено.^[11] Смотровая площадка ${displaystyle E}$ зависит от конкретного приложения, а также от оператора линейного наблюдения ${displaystyle L:L^{2}(Omega )ightarrow E}$. Норма на пространстве ${displaystyle E}$ является ${displaystyle |.|_{E}}$. Идея восстановления исходного изображения заключается в минимизации следующего функционала для ${displaystyle uin H^{1}(Omega )}$:

${displaystyle |C^{1/2}abla u|_{L^{2}(Omega )}^{2}+|Lu-v|_{E}^{2}}$

где ${displaystyle C}$ - положительно определенный тензор. Первый член уравнения гарантирует, что восстановленное изображение ${displaystyle u}$ является регулярным, а второй член измеряет несоответствие с данными. В этой общей структуре могут выполняться различные типы реконструкции изображения, такие как^[11]

• шумоподавление изображения с ${displaystyle E=L^{2}(Omega )}$ и ${displaystyle Lu=u}$,
• шумоподавление и удаление размытия с помощью ${displaystyle E=L^{2}(Omega )}$ и ${displaystyle Lu=phi ast u}$ с ${displaystyle phi }$ а Размытость или Размытие по Гауссу,
• рисование изображения с ${displaystyle E=L^{2}(Omega ackslash omega )}$ и ${displaystyle Lu=u|_{Omega ackslash omega }}$, подмножество ${displaystyle omega subset Omega }$ - это область, в которой изображение необходимо восстановить.

В этом контексте асимптотическое разложение функции стоимости ${displaystyle J_{Omega }(u_{Omega })={frac {1}{2}}int _{Omega }u_{Omega }^{2}}$ в случае трещины дает ту же топологическую производную ${displaystyle g(x,n)=-pi c(abla u_{0}.n)(abla p_{0}.n)-pi (abla u_{0}.n)^{2}}$ где ${displaystyle n}$ нормаль к трещине и ${displaystyle c}$ постоянный коэффициент диффузии. Функции ${displaystyle u_{0}}$ и ${displaystyle p_{0}}$ являются решениями следующих прямых и сопряженных задач.^[11]

${displaystyle -abla (cabla u_{0})+L^{*}Lu_{0}=L^{*}v}$ в ${displaystyle Omega }$ и ${displaystyle partial _{n}u_{0}=0}$ на ${displaystyle partial Omega }$${displaystyle -abla (cabla p_{0})+L^{*}Lp_{0}=Delta u_{0}}$ в ${displaystyle Omega }$ и ${displaystyle partial _{n}p_{0}=0}$ на ${displaystyle partial Omega }$

Благодаря топологическому градиенту можно обнаружить края и их ориентацию, а также определить соответствующий ${displaystyle C}$ для процесса реконструкции изображения.^[11]

При обработке изображений топологические производные также изучались в случае мультипликативного шума гамма-закона или при наличии пуассоновской статистики.^[14]

Обратные задачи

В 2009 году метод топологического градиента был применен к томографическая реконструкция.^[15] Связь между топологической производной и набором уровня также исследовалась в этом приложении.^[16]

использованная литература

1. Я. Соколовски и А. Зоховски, 44 О топологической производной при оптимизации формы 44, 1997
2. Топологические производные в оптимизации формы, Jan Sokołowski, 28 мая 2012 г. Проверено 9 ноября 2012 г.
3. Г. Аллер, Ф. Жув, Соединение метода установки уровня и топологического градиента в оптимизации конструкции, на симпозиуме IUTAM по оптимизации топологического проектирования конструкций, машин и материалов, M. Bendsoe et al. ред., стр. 3–12, Springer (2006).
4. С. Амштуц, И. Хорчани и М. Масмуди. Обнаружение трещин методом топологического градиента. Управление и кибернетика, 34 (1): 81–101, 2005.
5. С. Амштуц, А.А. Новотный, Топологический асимптотический анализ задачи изгиба пластины Кирхгофа. ESAIM: COCV 17 (3), стр. 705-721, 2011 г.
6. Л. Дж. Белаид, М. Джауа, М. Масмуди и Л. Сиала. Восстановление изображения и обнаружение краев путем топологического асимптотического разложения. CRAS Paris, 342 (5): 313–318, март 2006 г.
7. Д. Ору и М. Масмуди. Обработка изображений методом топологического асимптотического анализа. ESAIM: Proc. Математические методы построения изображений и обратные задачи, 26: 24–44, апрель 2009 г.
8. Д. Ору, М. Масмуди и Л. Джафар Белаид. Восстановление изображений и классификация с помощью топологического асимптотического разложения, стр. 23–42, Вариационные формулировки в механике: теория и приложения, Э. Тароко, Э.А. де Соуза Нето и А.А. Новотны (ред.), CIMNE, Барселона, Испания, 2007.
9. Д. Ору и М. Масмуди. Одноразовый алгоритм рисования, основанный на топологическом асимптотическом анализе.. Вычислительная и прикладная математика, 25 (2-3): 251–267, 2006.
10. Д. Ору и М. Масмуди. Обработка изображений топологическим асимптотическим разложением. J. Math. Imaging Vision, 33 (2): 122–134, февраль 2009 г.
11. С. Ларнье, Дж. Ференбах и М. Масмуди, Метод топологического градиента: от оптимального дизайна до обработки изображений, Миланский математический журнал, вып. 80, выпуск 2, стр. 411–441, декабрь 2012 г.
12. Д. Ору, Л. Джафар Белаид и Б. Рджайби. Применение метода топологического градиента для восстановления цветного изображения. SIAM J. Imaging Sci., 3 (2): 153–175, 2010.
13. С. Ларнье и Дж. Ференбах. Обнаружение краев и восстановление изображения с анизотропным топологическим градиентом. В 2010 году IEEE Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP), страницы 1362–1365, март 2010 г.
14. А. Дрогуль, Г. Обер, Метод топологического градиента для полулинейных задач и приложение для обнаружения краев и удаления шума.
15. Д. Ору, Л. Джафар Белаид и Б. Рджайби. Применение метода топологического градиента к томографии. В ARIMA Proc. ТамТам'09, 2010.
16. Т. Рымарчик, П. Чуржевский, Я. Сикора, Топологический подход к реконструкции изображения в электроимпедансной томографии, ADVCOMP 2014: Восьмая международная конференция по передовым инженерным вычислениям и приложениям в науке

Книги

Новотный А.А., Соколовский Я. Топологические производные в оптимизации формы, Springer, 2013.

внешняя ссылка

• Аллер и др. Оптимизация конструкции с использованием топологической чувствительности и чувствительности к форме с помощью метода установки уровня