Вариационный многомасштабный метод - Variational multiscale method

В вариационный многомасштабный метод (VMS) это метод, используемый для построения моделей и численных методов многомасштабных явлений.^[1] Структура VMS в основном применяется для стабилизации конструкции методы конечных элементов в котором стабильность стандарта Метод Галеркина не обеспечивается как с точки зрения сингулярного возмущения, так и условий согласования с пространствами конечных элементов.^[2]

Стабилизированные методы привлекают все большее внимание в вычислительная гидродинамика потому что они предназначены для устранения недостатков, типичных для стандартных Метод Галеркина: задачи о потоках с преобладанием адвекции и задачи, в которых произвольная комбинация функций интерполяции может привести к неустойчивым дискретизированным формулировкам.^[3][4] Вехой в стабилизированных методах для этого класса задач можно считать метод Линии потока против ветра Петрова-Галеркина (SUPG), разработанный Бруксом и Хьюзом в 80-е годы для потоков с преобладанием конвекции для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости.^[5][6] Вариационный многомасштабный метод (VMS) был введен Хьюзом в 1995 году.^[7] Вообще говоря, VMS - это метод, используемый для получения математических моделей и численных методов, которые способны улавливать многомасштабные явления;^[1] фактически, он обычно применяется для задач с огромными диапазонами шкалы, которые разделены на несколько групп шкал.^[8] Основная идея метода состоит в построении разложения решения по сумме в виде ${\displaystyle u={\bar {u}}+u'}$, куда ${\displaystyle {\bar {u}}}$ обозначается как крупномасштабное решение и решается численно, тогда как ${\displaystyle u'}$ представляет собой мелкомасштабное решение и определяется аналитически, исключая его из задачи уравнения крупного масштаба.^[1]

Абстрактная структура

Абстрактная задача Дирихле в вариационной постановке

Рассмотрим открытую ограниченную область ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ с гладкой границей ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} ^{d-1}}$, существование ${\displaystyle d\geq 1}$ количество пространственных измерений. Обозначая ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ несимметричный дифференциальный оператор второго порядка общего положения, рассмотрим следующие краевая задача:^[4]

${\displaystyle {\text{find }}u:\Omega \to \mathbb {R} {\text{ such that}}:}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}u=f&{\text{ in }}\Omega \\u=g&{\text{ on }}\Gamma \\\end{cases}}}$

существование ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle g:\Gamma \to \mathbb {R} }$ данные функции. Позволять ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$ - гильбертово пространство интегрируемых с квадратом функций с интегрируемыми с квадратом производными:^[4]

${\displaystyle H^{1}(\Omega )=\{f\in L^{2}(\Omega ):\nabla f\in L^{2}(\Omega )\}.}$

Рассмотрим пространство пробных решений ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}}$ и пространство весовых функций ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ определяется следующим образом:^[4]

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}=\{u\in H^{1}(\Omega ):\,u=g{\text{ on }}\Gamma \},}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=H_{0}^{1}(\Omega )=\{v\in H^{1}(\Omega ):\,v=0{\text{ on }}\Gamma \}.}$

В вариационная формулировка определенной выше краевой задачи гласит:^[4]

${\displaystyle {\text{find }}u\in {\mathcal {V}}_{g}{\text{ such that: }}a(v,u)=f(v)\,\,\,\,\forall v\in {\mathcal {V}}}$,

существование ${\displaystyle a(v,u)}$ билинейная форма, удовлетворяющая ${\displaystyle a(v,u)=(v,{\mathcal {L}}u)}$, ${\displaystyle f(v)=(v,f)}$ ограниченный линейный функционал на ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ и ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ это ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ внутренний продукт.^[2] Кроме того, дуальный оператор ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ определяется как такой дифференциальный оператор, что ${\displaystyle {\mathcal {(}}v,{\mathcal {L}}u)=({\mathcal {L}}^{*}v,u)\,\,\,\forall u,\,v\in {\mathcal {V}}}$.^[7]

Вариационный многомасштабный метод

Одномерное представление ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle {\bar {u}}}$ и ${\displaystyle u'}$

В подходе VMS функциональные пространства разлагаются посредством многомасштабного разложения прямой суммы для обоих ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ на подпространства крупного и мелкого масштабов как:^[1]

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\bar {\mathcal {V}}}\oplus {\mathcal {V}}'}$

и

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}={\bar {{\mathcal {V}}_{g}}}\oplus {\mathcal {V}}_{g}'.}$

Следовательно, перекрытие разложение суммы предполагается для обоих ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ в качестве:

${\displaystyle u={\bar {u}}+u'{\text{ and }}v={\bar {v}}+v'}$,

куда ${\displaystyle {\bar {u}}}$ представляет грубый (разрешимые) шкалы и ${\displaystyle u'}$ то отлично (подсеточные) шкалы, с ${\displaystyle {\bar {u}}\in {\bar {{\mathcal {V}}_{g}}}}$, ${\displaystyle {u'}\in {{\mathcal {V}}_{g}}'}$, ${\displaystyle {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}}}$ и ${\displaystyle v'\in {\mathcal {V}}'}$. В частности, относительно этих функций сделаны следующие предположения:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}=g&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V_{g}}}},\\u'=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &u'\in {\mathcal {V_{g}}}',\\{\bar {v}}=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &{\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}},\\v'=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &v'\in {\mathcal {V}}'.\end{aligned}}}$

С учетом этого вариационную форму можно переписать как

${\displaystyle a({\bar {v}}+v',{\bar {u}}+u')=f({\bar {v}}+v')}$

и, используя билинейность ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ и линейность ${\displaystyle f(\cdot )}$,

${\displaystyle a({\bar {v}},{\bar {u}})+a({\bar {v}},u')+a(v',{\bar {u}})+a(v',u')=f({\bar {v}})+f(v').}$

Последнее уравнение сводится к задаче грубого и мелкого масштабов:

${\displaystyle {\text{find }}{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ and }}u'\in {\mathcal {V}}'{\text{ such that: }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&a({\bar {v}},{\bar {u}})+a({\bar {v}},u')&=f({\bar {v}})&&\forall {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}}&\,\,\,\,{\text{coarse-scale problem}}\\&&a(v',{\bar {u}})+a(v',u')&=f(v')&&\forall v'\in {\mathcal {V}}'&\,\,\,\,{\text{fine-scale problem}}\\\end{aligned}}}$

или, что то же самое, учитывая, что ${\displaystyle a(v,u)=(v,{\mathcal {L}}u)}$ и ${\displaystyle f(v)=(v,f)}$:

${\displaystyle {\text{find }}{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ and }}u'\in {\mathcal {V}}'{\text{ such that: }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&({\bar {v}},{\mathcal {L}}{\bar {u}})+({\bar {v}},{\mathcal {L}}u')&=({\bar {v}},f)&&\forall {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}},\\&&(v',{\mathcal {L}}{\bar {u}})+(v',{\mathcal {L}}u')&=(v',f)&&\forall v'\in {\mathcal {V}}'.\\\end{aligned}}}$

Переставив вторую задачу как ${\displaystyle (v',{\mathcal {L}}u')=-(v',{\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)}$соответствующие Уравнение Эйлера – Лагранжа. читает:^[7]

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}u'=-({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)&{\text{ in }}\Omega \\u'=0&{\text{ on }}\Gamma \end{cases}}}$

что показывает, что мелкомасштабное решение ${\displaystyle u'}$ зависит от сильной невязки уравнения грубого масштаба ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\bar {u}}-f}$.^[7] Решение в мелком масштабе может быть выражено через ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\bar {u}}-f}$ сквозь Функция Грина ${\displaystyle G:\Omega \times \Omega \to \mathbb {R} {\text{ with }}G=0{\text{ on }}\Gamma \times \Gamma }$:

${\displaystyle u'(y)=-\int _{\Omega }G(x,y)({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)(x)\,d\Omega _{x}\,\,\,\forall y\in \Omega .}$

Позволять ${\displaystyle \delta }$ быть Дельта-функция Дирака, по определению, функция Грина находится путем решения ${\displaystyle \forall y\in \Omega }$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{*}G(x,y)=\delta (x-y)&{\text{ in }}\Omega \\G(x,y)=0&{\text{ on }}\Gamma \end{cases}}}$

Кроме того, можно выразить ${\displaystyle u'}$ в терминах нового дифференциального оператора ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ аппроксимирующий дифференциальный оператор ${\displaystyle -{\mathcal {L}}^{-1}}$ в качестве ^[1]

${\displaystyle u'={\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f),}$с ${\displaystyle {\mathcal {M}}\approx -{\mathcal {L}}^{-1}}$. Чтобы исключить явную зависимость в уравнении грубого масштаба членов подсеточного масштаба, учитывая определение двойственного оператора, последнее выражение можно подставить во второй член уравнения крупного масштаба:^[1]

${\displaystyle ({\bar {v}},{\mathcal {L}}u')=({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},u')=({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)).}$

С ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ является приближением ${\displaystyle -{\mathcal {L}}^{-1}}$, вариационная многомасштабная формулировка будет заключаться в нахождении приближенного решения ${\displaystyle {\tilde {\bar {u}}}\approx {\bar {u}}}$ вместо ${\displaystyle {\bar {u}}}$. Поэтому грубая задача переписывается так:^[1]

${\displaystyle {\text{find }}{\tilde {\bar {u}}}\in {\mathcal {\bar {V}}}_{g}:\;\;\;a({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}})+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f))=({\bar {v}},f)\;\;\;\forall {\bar {v}}\in {\mathcal {\bar {V}}},}$

существование

${\displaystyle ({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f))=-\int _{\Omega }\int _{\Omega }({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}})(y)G(x,y)({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f)(x)\,d\Omega _{x}\,d\Omega _{y}.}$

Представляем форму ^[7]

${\displaystyle B({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}},G)=a({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}})+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}))}$

и функционал

${\displaystyle L({\bar {v}},G)=({\bar {v}},f)+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}f)}$,

формулировка VMS уравнения грубого масштаба перефразируется как:^[7]

${\displaystyle {\text{find }}{\tilde {\bar {u}}}\in {\mathcal {\bar {V}}}_{g}:\,B({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}},G)=L({\bar {v}},G)\,\,\,\forall {\bar {v}}\in {\mathcal {\bar {V}}}.}$

Поскольку обычно невозможно определить оба ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и ${\displaystyle G}$, обычно принимают приближение. В этом смысле грубомасштабные пространства ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{g}}$ и ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}}$ в качестве конечномерного пространства функций выбраны:^[1]

${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{g}\equiv {\mathcal {V}}_{g_{h}}:={\mathcal {V}}_{g}\cap X_{r}^{h}(\Omega )}$

и

${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}\equiv {\mathcal {V}}_{h}:={\mathcal {V}}\cap X_{h}^{r}(\Omega ),}$

существование ${\displaystyle X_{r}^{h}(\Omega )}$ конечно-элементное пространство лагранжевых многочленов степени ${\displaystyle r\geq 1}$ поверх встроенной сетки ${\displaystyle \Omega }$ .^[4] Обратите внимание, что ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}'}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$ являются бесконечномерными пространствами, а ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g_{h}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ являются конечномерными пространствами.

Позволять ${\displaystyle u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}}$ и ${\displaystyle v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$ быть соответственно приближениями ${\displaystyle {\tilde {\bar {u}}}}$ и ${\displaystyle {\bar {v}}}$, и разреши ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ быть соответственно приближениями ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Задача VMS с приближением конечных элементов гласит:^[7]

${\displaystyle {\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}:B(v_{h},u_{h},{\tilde {G}})=L(v_{h},{\tilde {G}})\,\,\,\forall {v}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$

или, что то же самое:

${\displaystyle {\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}:a(v_{h},u_{h})+({\mathcal {L}}^{*}v_{h},{\mathcal {\tilde {M}}}({\mathcal {L}}{u_{h}}-f))=(v_{h},f)\,\,\,\forall {v}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$

VMS и стабилизированные методы

Рассмотрим адвекция – диффузия проблема:^[4]

${\displaystyle {\begin{cases}-\mu \Delta u+{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla u=f&{\text{ in }}\Omega \\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega \end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ - коэффициент диффузии при ${\displaystyle \mu >0}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{d}}$ - заданное адвекционное поле. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {V}}=H_{0}^{1}(\Omega )}$ и ${\displaystyle u\in {\mathcal {V}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}\in [L^{2}(\Omega )]^{d}}$, ${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$.^[4] Позволять ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{diff}+{\mathcal {L}}_{adv}}$, существование ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{diff}=-\mu \Delta }$ и ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{adv}={\boldsymbol {b}}\cdot \nabla }$.^[1]Вариационная форма приведенной выше задачи гласит:^[4]

${\displaystyle {\text{find}}\,u\in {\mathcal {V}}:\;\;\;a(v,u)=(f,v)\;\;\;\forall v\in {\mathcal {V}},}$

существование

${\displaystyle a(v,u)=(\nabla v,\mu \nabla u)+(v,{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla u).}$

Рассмотрим приближение методом конечных элементов в пространстве указанной выше задачи, введя пространство ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}={\mathcal {V}}\cap X_{h}^{r}}$ по сетке ${\displaystyle \Omega _{h}=\bigcup _{k=1}^{N}\Omega _{k}}$ сделано из ${\displaystyle N}$ элементы, с ${\displaystyle u_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$.

Стандартная галёркинская постановка этой проблемы имеет вид^[4]

${\displaystyle {\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}:\;\;\;a(v_{h},u_{h})=(f,v_{h})\;\;\;\forall v\in {\mathcal {V}},}$

Рассмотрим строго согласованный метод стабилизации указанной выше задачи в рамках конечно-элементной схемы:

${\displaystyle {\text{ find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}:\,\,\,a(v_{h},u_{h})+{\mathcal {L}}_{h}(u_{h},f;v_{h})=(f,v_{h})\,\,\,\forall v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$

для подходящей формы ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}}$ что удовлетворяет:^[4]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}(u,f;v_{h})=0\,\,\,\forall v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}.}$

Форма ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}}$ можно выразить как ${\displaystyle (\mathbb {L} v_{h},\tau ({\mathcal {L}}u_{h}-f))_{\Omega _{h}}}$, существование ${\displaystyle \mathbb {L} }$ дифференциальный оператор, такой как:^[1]

${\displaystyle \mathbb {L} ={\begin{cases}+{\mathcal {L}}&\,\,\,&{\text{ Galerkin/least squares (GLS)}}\\+{\mathcal {L}}_{adv}&\,\,\,&{\text{ Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)}}\\-{\mathcal {L}}^{*}&\,\,\,&{\text{ Multiscale}}\\\end{cases}}}$

и ${\displaystyle \tau }$ - параметр стабилизации. Стабилизированный метод с ${\displaystyle \mathbb {L} =-{\mathcal {L}}^{*}}$ обычно упоминается метод многомасштабной стабилизации . В 1995 г. Томас Дж. Р. Хьюз показали, что стабилизированный метод многомасштабного типа можно рассматривать как модель подсеточного масштаба, в которой параметр стабилизации равен

${\displaystyle \tau =-{\tilde {\mathcal {M}}}\approx -{\mathcal {M}}}$

или в терминах функции Грина как

${\displaystyle \tau \delta (x-y)={\tilde {G}}(x,y)\approx G(x,y),}$

что дает следующее определение ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{|\Omega _{k}|}}\int _{\Omega _{k}}\int _{\Omega _{k}}G(x,y)\,d\Omega _{x}\,d\Omega _{y}.}$^[7]

VMS-моделирование турбулентности для моделирования больших вихрей несжимаемых потоков

Идея VMS моделирование турбулентности для моделирования больших вихрей (LES ) несжимаемой Уравнения Навье – Стокса был представлен Hughes et al. в 2000 году, и основная идея заключалась в использовании вместо классических фильтрованных методов вариационных проекций.^[9][10]

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса.

Рассмотрим несжимаемые уравнения Навье – Стокса для Ньютоновская жидкость постоянного плотность ${\displaystyle \rho }$ в домене ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{d}}$ с границей ${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}}$, существование ${\displaystyle \Gamma _{D}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ части границы, где соответственно Дирихле и Граничное условие Неймана применяется (${\displaystyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$):^[4]

${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)={\boldsymbol {f}}&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}&{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\boldsymbol {h}}&{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}(0)={\boldsymbol {u}}_{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$

существование ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ скорость жидкости, ${\displaystyle p}$ давление жидкости, ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ заданный срок принуждения, ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}$ направленный наружу единичный вектор нормали к ${\displaystyle \Gamma _{N}}$, и ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)}$ то тензор вязких напряжений определяется как:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)=-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}}).}$

Позволять ${\displaystyle \mu }$ - динамическая вязкость жидкости, ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ второй порядок тензор идентичности и ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}})}$ то тензор скорости деформации определяется как:

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}})={\frac {1}{2}}((\nabla {\boldsymbol {u}})+(\nabla {\boldsymbol {u}})^{T}).}$

Функции ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$ даны граничные данные Дирихле и Неймана, а ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{0}}$ это начальное состояние.^[4]

Вариационная формулировка глобального пространства-времени

Чтобы найти вариационную формулировку уравнений Навье – Стокса, рассмотрим следующие бесконечномерные пространства:^[4]

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}=\{{\boldsymbol {u}}\in [H^{1}(\Omega )]^{d}:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\},}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}=[H_{0}^{1}(\Omega )]^{d}=\{{\boldsymbol {u}}\in [H^{1}(\Omega )]^{d}:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\},}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=L^{2}(\Omega ).}$

Кроме того, пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}={\mathcal {V}}_{g}\times {\mathcal {Q}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}={\mathcal {V}}_{0}\times {\mathcal {Q}}}$. Слабая форма уравнений нестационарной несжимаемой жидкости Навье – Стокса гласит:^[4] данный ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{0}}$,

${\displaystyle \forall t\in (0,T),\;{\text{find }}({\boldsymbol {u}},p)\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ such that }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigg (}{\boldsymbol {v}},\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}{\bigg )}+a({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})+c({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})-b({\boldsymbol {v}},p)+b({\boldsymbol {u}},q)=({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {f}})+({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {h}})_{\Gamma _{N}}\;\;\forall ({\boldsymbol {v}},q)\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ представляет ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ внутренний продукт и ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\Gamma _{N}}}$ то ${\displaystyle L^{2}(\Gamma _{N})}$ внутренний продукт. Кроме того, билинейные формы ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$, ${\displaystyle b(\cdot ,\cdot )}$ и трехлинейная форма ${\displaystyle c(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ определяются следующим образом:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}a({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=&(\nabla {\boldsymbol {v}},\mu ((\nabla {\boldsymbol {u}})+(\nabla {\boldsymbol {u}})^{T})),\\b({\boldsymbol {v}},q)=&(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}},q),\\c({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})=&({\boldsymbol {v}},\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}).\end{aligned}}}$

Метод конечных элементов для пространственной дискретизации и моделирования VMS-LES

Чтобы дискретизировать в пространстве уравнения Навье – Стокса, рассмотрим функциональное пространство конечных элементов

${\displaystyle X_{r}^{h}=\{u^{h}\in C^{0}({\overline {\Omega }}):u^{h}|_{k}\in \mathbb {P} _{r},\;\forall k\in \mathrm {T} _{h}\}}$

кусочно лагранжевых многочленов степени ${\displaystyle r\geq 1}$ по домену ${\displaystyle \Omega }$ триангулированный сеткой ${\displaystyle \mathrm {T} _{h}}$ из тетраэдров диаметров ${\displaystyle h_{k}}$, ${\displaystyle \forall k\in \mathrm {T} _{h}}$. Следуя показанному выше подходу, введем многомасштабное разложение в прямую сумму пространства ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}}$ что представляет собой либо ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}}$:^[11]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}={\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}\oplus {\boldsymbol {\mathcal {V}}}',}$

существование

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}={\mathcal {V}}_{g_{h}}\times {\mathcal {Q}}{\text{ or }}{\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}={\mathcal {V}}_{0_{h}}\times {\mathcal {Q}}}$

конечномерное функциональное пространство, связанное с грубая шкала, и

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}'={\mathcal {V}}_{g}'\times {\mathcal {Q}}{\text{ or }}{\boldsymbol {\mathcal {V}}}'={\mathcal {V}}_{0}'\times {\mathcal {Q}}}$

бесконечномерный мелкая шкала функциональное пространство, с

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g_{h}}={\mathcal {V}}_{g}\cap X_{r}^{h}}$,

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0_{h}}={\mathcal {V}}_{0}\cap X_{r}^{h}}$

и

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}={\mathcal {Q}}\cap X_{r}^{h}}$.

Разложение перекрывающейся суммы затем определяется как:^[10][11]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{h}+{\boldsymbol {u}}'{\text{ and }}p=p^{h}+p'\\&{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}^{h}+{\boldsymbol {v}}'\;{\text{ and }}q=q^{h}+q'\end{aligned}}}$

Используя приведенное выше разложение в вариационной форме уравнений Навье – Стокса, можно получить грубое и мелкомасштабное уравнение; члены мелкого масштаба, появляющиеся в уравнении грубого масштаба, являются интегрированный по частям а переменные мелкого масштаба моделируются как:^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}'\approx &-\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}),\\p'\approx &-\tau _{C}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h}).\end{aligned}}}$

В приведенных выше выражениях ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h})}$ являются остатками уравнения импульса и уравнения неразрывности в сильных формах, определяемых как:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})=&\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}^{h}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}^{h}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}^{h}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})-{\boldsymbol {f}},\\{\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h})=&\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}^{h},\end{aligned}}}$

при этом параметры стабилизации устанавливаются равными:^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h})=&{\bigg (}{\frac {\sigma ^{2}\rho ^{2}}{\Delta t^{2}}}+{\frac {\rho ^{2}}{h_{k}^{2}}}|{\boldsymbol {u}}^{h}|^{2}+{\frac {\mu ^{2}}{h_{k}^{4}}}C_{r}{\bigg )}^{-1/2},\\\tau _{C}({\boldsymbol {u}}^{h})=&{\frac {h_{k}^{2}}{\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h})}},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle C_{r}=60\cdot 2^{r-2}}$ - постоянная, зависящая от степени многочленов ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \sigma }$ - константа, равная порядку формула обратного дифференцирования (BDF) принята в качестве схемы временной интеграции и ${\displaystyle \Delta t}$ это временной шаг.^[11] Полудискретная вариационная многомасштабная многомасштабная формулировка (VMS-LES) уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости гласит:^[11] данный ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{0}}$,

${\displaystyle \forall t\in (0,T),\;{\text{find }}{\boldsymbol {U}}^{h}=\{{\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}\}\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g_{h}}{\text{ such that }}A({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=F({\boldsymbol {V}}^{h})\;\;\forall {\boldsymbol {V}}^{h}=\{{\boldsymbol {v}}^{h},q^{h}\}\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0_{h}},}$

существование

${\displaystyle A({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=A^{NS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})+A^{VMS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h}),}$

и

${\displaystyle F({\boldsymbol {V}}^{h})=({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {f}})+({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {h}})_{\Gamma _{N}}.}$

Формы ${\displaystyle A^{NS}(\cdot ,\cdot )}$ и ${\displaystyle A^{VMS}(\cdot ,\cdot )}$ определяются как:^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{NS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=&{\bigg (}{\boldsymbol {v}}^{h},\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}^{h}}{\partial t}}{\bigg )}+a({\boldsymbol {v}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h})+c({\boldsymbol {v}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h})-b({\boldsymbol {v}}^{h},p^{h})+b({\boldsymbol {u}}^{h},q^{h}),\\A^{VMS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=&\underbrace {{\big (}\rho {\boldsymbol {u}}^{h}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}^{h}+\nabla q^{h},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}){\big )}} _{\text{SUPG}}-\underbrace {(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}^{h},\tau _{c}({\boldsymbol {u}}_{h}){\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h}))+{\big (}\rho {\boldsymbol {u}}^{h}\cdot (\nabla {\boldsymbol {u}}^{h})^{T},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}){\big )}} _{\text{VMS}}-\underbrace {(\nabla {\boldsymbol {v}}^{h},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})\otimes \tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}))} _{\text{LES}}.\end{aligned}}}$

Из приведенных выше выражений видно, что:^[11]

• форма ${\displaystyle A^{NS}(\cdot ,\cdot )}$ содержит стандартные члены уравнений Навье – Стокса в вариационной формулировке;
• форма ${\displaystyle A^{VMS}(\cdot ,\cdot )}$ содержат четыре термина:

1. первый член - это классический член стабилизации SUPG;
2. второй член представляет собой стабилизирующий член, дополнительный к члену SUPG;
3. третий член - это стабилизирующий член, типичный для моделирования VMS;
4. четвертый член характерен для LES-моделирования и описывает поперечное напряжение Рейнольдса.

Смотрите также

• Уравнения Навье – Стокса
• Моделирование больших вихрей
• Метод конечных элементов
• Формула обратной дифференциации
• Вычислительная гидродинамика
• Обтекание против ветра Формулировка Петрова – Галеркина для стабилизации давления Петрова – Галеркина для уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости

Рекомендации

1. Hughes, T.J.R .; Scovazzi, G .; Franca, L.P. (2004). «Глава 2: Мультимасштабные и стабилизированные методы». В Штейне, Эрвин; де Борст, Рене; Хьюз, Томас Дж. Р. (ред.). Энциклопедия вычислительной механики. Джон Вили и сыновья. С. 5–59. ISBN  0-470-84699-2.
2. Codina, R .; Badia, S .; Baiges, J .; Принсипи, Дж. (2017). «Глава 2: Вариационные многомасштабные методы в вычислительной гидродинамике». В Штейне, Эрвин; де Борст, Рене; Хьюз, Томас Дж. Р. (ред.). Энциклопедия вычислительной механики, второе издание. Джон Вили и сыновья. С. 1–28. ISBN  9781119003793.
3. Масуд, Ариф (апрель 2004 г.). "Предисловие". Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 193 (15–16): iii – iv. Дои:10.1016 / j.cma.2004.01.003.
4. Квартерони, Альфио (10.10.2017). Численные модели для дифференциальных задач (Третье изд.). Springer. ISBN  978-3-319-49316-9.
5. Брукс, Александр Н .; Хьюз, Томас Дж. Р. (сентябрь 1982 г.). «Поток против ветра / формулировки Петрова-Галеркина для потоков с преобладанием конвекции с особым упором на несжимаемые уравнения Навье-Стокса». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 32 (1–3): 199–259. Дои:10.1016/0045-7825(82)90071-8.
6. Масуд, Ариф; Кальдерер, Рамон (3 февраля 2009 г.). "Вариационная многомасштабная стабилизированная формулировка для несжимаемых уравнений Навье – Стокса". Вычислительная механика. 44 (2): 145–160. Дои:10.1007 / s00466-008-0362-3.
7. Хьюз, Томас Дж. Р. (ноябрь 1995 г.). «Многомасштабные явления: функции Грина, формулировка Дирихле-Неймана, подсеточные модели, пузыри и происхождение стабилизированных методов». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 127 (1–4): 387–401. Дои:10.1016/0045-7825(95)00844-9.
8. Растхофер, Урсула; Гравемайер, Фолькер (27 февраля 2017 г.). «Последние разработки в вариационных многомасштабных методах моделирования турбулентных потоков с большими вихрями». Архивы вычислительных методов в технике. 25 (3): 647–690. Дои:10.1007 / s11831-017-9209-4.
9. Hughes, Thomas J.R .; Мацей, Лука; Янсен, Кеннет Э. (май 2000 г.). «Моделирование больших вихрей и вариационный многомасштабный метод». Вычислительная техника и визуализация в науке. 3 (1–2): 47–59. Дои:10.1007 / s007910050051.
10. Базилевс, Ю .; Calo, V.M .; Cottrell, J.A .; Hughes, T.J.R .; Reali, A .; Сковацци, Г. (декабрь 2007 г.). «Вариационное многомасштабное моделирование остаточной турбулентности для моделирования больших вихрей несжимаемых потоков». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 197 (1–4): 173–201. Дои:10.1016 / j.cma.2007.07.016.
11. Форти, Давиде; Деде, Лука (август 2015). "Полунеявная дискретизация по времени BDF уравнений Навье – Стокса с моделированием VMS-LES в среде высокопроизводительных вычислений". Компьютеры и жидкости. 117: 168–182. Дои:10.1016 / j.compfluid.2015.05.011.