Тензор скорости деформации - Strain-rate tensor

Двумерный поток, который в выделенной точке имеет только компонент скорости деформации, без средней скорости или компонента вращения.

В механика сплошной среды, то тензор скорости деформации или же тензор скорости деформации это физическое количество это описывает скорость изменения из деформация материала в окрестности определенной точки в определенный момент времени. Его можно определить как производная из тензор деформации относительно времени, или как симметричный компонент градиент (производная по положению) скорость потока. В механика жидкости его также можно описать как градиент скорости, мера того, как скорость жидкости меняется между разными точками внутри жидкости.^[1] Хотя этот термин может относиться к разнице в скорости между слоями потока в трубе,^[2] это часто используется для обозначения градиент скорости потока относительно его координаты.^[3] Эта концепция имеет значение в различных областях: физика и инженерное дело, включая магнитогидродинамика, горное дело и водоочистка.^[4][5][6]

Тензор скорости деформации представляет собой чисто кинематический концепция, описывающая макроскопический движение материала. Следовательно, это не зависит от природы материала или от сил и напряжений, которые могут на него действовать; и это относится к любому сплошная среда, ли твердый, жидкость или же газ.

С другой стороны, для любого жидкость Кроме сверхтекучие жидкости, любое постепенное изменение его деформации (т. е. ненулевой тензор скорости деформации) приводит к вязкие силы в его интерьере, благодаря трение между соседними жидкие элементы, которые склонны противодействовать этому изменению. В любой точке жидкости эти напряжения можно описать как тензор вязких напряжений то есть почти всегда полностью определяется тензором скорости деформации и некоторыми внутренними свойствами жидкости в этой точке. Вязкое напряжение также возникает в твердых телах, помимо упругое напряжение наблюдается при статической деформации; когда он слишком велик, чтобы его игнорировать, говорят, что материал вязкоупругий.

Размерный анализ

Выполняя размерный анализ, можно определить размеры градиента скорости. Размеры скорости ${\displaystyle M^{0}L^{1}T^{-1}}$ , а размеры расстояния равны ${\displaystyle M^{0}L^{1}T^{0}}$. Поскольку градиент скорости можно выразить как ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{velocity}}}{\Delta {\text{distance}}}}}$. Следовательно, градиент скорости имеет те же размеры, что и это отношение, т.е. ${\displaystyle M^{0}L^{0}T^{-1}}$.

В механике сплошной среды

В 3-х измерениях градиент ${\displaystyle \nabla {\bf {v}}}$ скорости ${\displaystyle {\bf {v}}}$ второго порядка тензор ${\displaystyle {\bf {J}}}$ (см. ниже), которые можно транспонировать как матрица ${\displaystyle {\bf {L}}}$:

${\displaystyle {\bf {{L}=(\nabla {\bf {{v})^{\intercal }={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}}}}}$

${\displaystyle {\bf {L}}}$ можно разложить в сумму симметричная матрица ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ и кососимметричная матрица ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ следующее

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {E}}&={\frac {1}{2}}\left({\bf {{L}+{\bf {{L}^{\textsf {T}}}}}}\right)\\{\bf {W}}&={\frac {1}{2}}\left({\bf {{L}-{\bf {{L}^{\textsf {T}}}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\textbf {E}}}$ называется тензор скорости деформации и описывает скорость растяжения и сдвига. ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ называется тензором спина и описывает скорость вращения.^[7]

Связь между касательным напряжением и полем скорости

Сэр Исаак Ньютон предложил, чтобы напряжение сдвига прямо пропорциональна градиенту скорости:^[8]

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}}$.

В константа пропорциональности, ${\displaystyle \mu }$, называется динамическая вязкость.

Формальное определение

Рассмотрим материальное тело, твердое или жидкое, которое течет и / или движется в пространстве. Позволять v быть скоростью поле внутри тела; это гладкий функция от ℝ³ × ℝ такой, что v(п, т) это макроскопический скорость материала, проходящего через точку п вовремя т.

Скорость v(п + р, т) в точке, смещенной от п маленьким вектором р можно записать как Серия Тейлор:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$

куда ∇v градиент поля скорости, понимаемый как линейная карта который принимает вектор смещения р к соответствующему изменению скорости.

Общее поле v(п + р).

Постоянная часть v(п).

Линейная часть (∇v)(п, т)(р).

Нелинейная невязка.

Поле скорости v(п + р, т) произвольного обтекания точки п (красная точка) в какой-то момент т, и члены его приближения Тейлора первого порядка относительно п. Третья компонента скорости (вне экрана) везде считается равной нулю.

В произвольной система отсчета, ∇v относится к Матрица якобиана поля, а именно в 3 измерениях это матрица 3 × 3

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$

куда v_я компонент v параллельно ось я и ∂_jж обозначает частная производная функции ж по пространственной координате Икс_j. Обратите внимание, что J является функцией п и т.

В этой системе координат приближение Тейлора для скорости вблизи п является

${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$

или просто

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$

если v и р рассматриваются как матрицы 3 × 1.

Симметричные и антисимметричные детали

Симметричная часть E(п, т)(р) (скорость деформации) линейного члена примера потока.

Антисимметричная часть р(п, т)(р) (вращение) линейного члена.

Любую матрицу можно разложить на сумму симметричная матрица и антисимметричная матрица. Применяя это к матрице Якоби J = ∇v с симметричными и антисимметричными компонентами E и р соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физическое значение. Тогда поле скоростей можно аппроксимировать как

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$

то есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$

Антисимметричный член р представляет собой жесткое вращение жидкости вокруг точки п. Его угловая скорость ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ является

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$

Продукт ∇ × v называется вращающийся завиток векторного поля. Жесткое вращение не меняет взаимного расположения элементов жидкости, поэтому антисимметричный член р градиента скорости не влияет на скорость изменения деформации. Таким образом, фактическая скорость деформации описывается симметричным E срок, который является тензор скорости деформации.

Скорость сдвига и степень сжатия

Скалярная часть D(п, т)(р) (скорость равномерного расширения или сжатия) тензора скорости деформации E(п, т)(р).

Бесследная часть S(п, т)(р) (скорость сдвига) тензора скорости деформации E(п, т)(р).

Симметричный член E градиента скорости (тензор скорости деформации) можно далее разбить как сумму скаляра, умноженного на единичный тензор, что представляет собой постепенное изотропное расширение или сжатие; и бесследный симметричный тензор, который представляет собой постепенную деформацию сдвига без изменения объема:^[9]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$

То есть,

${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}D_{ij}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)\left(1-\delta _{ij}\right)} _{{\text{rate-of-shear tensor }}S_{ij}},}$

Здесь δ это единичный тензор, так что δ_ij равно 1, если я = j и 0, если я ≠ j. Это разложение не зависит от выбора системы координат и, следовательно, имеет физическое значение.

Тензор скорости расширения равен 1/3 из расхождение поля скорости:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$

это скорость, с которой объем фиксированного количества жидкости увеличивается в этой точке.

Тензор скорости сдвига представлен симметричной матрицей 3 × 3 и описывает поток, который объединяет потоки сжатия и расширения вдоль трех ортогональных осей, так что объем не изменяется. Этот тип потока возникает, например, когда резинка полоса растягивается, потянув за концы, или когда медовый падает с ложки гладкой непрерывной струей.

Для двумерного потока расходимость v имеет только два члена и позволяет количественно оценить изменение площади, а не объема. Фактор 1/3 в члене коэффициента расширения следует заменить на 1/2 в таком случае.

Примеры

Изучение градиентов скорости полезно при анализе материалов, зависящих от траектории, и при последующем изучении напряжений и деформаций; например., Пластическая деформация из металлы.^[3] Пристенный градиент скорости несгоревших реагентов, вытекающих из трубы, является ключевым параметром для характеристики стабильности пламени.^[5]:1–3 Градиент скорости плазма может определять условия решения основных уравнений магнитной гидродинамики.^[4]

Жидкость в трубе

Рассмотрим поле скоростей жидкости, протекающей через трубка. Слой жидкости, контактирующей с трубой, обычно находится в состоянии покоя по отношению к трубе. Это называется условие отсутствия скольжения.^[10] Если разница скоростей между слоями жидкости в центре трубы и по сторонам трубы достаточно мала, то течение жидкости наблюдается в виде сплошных слоев. Этот тип течения называется ламинарный поток.

В скорость потока разница между соседними слоями может быть измерена с помощью градиента скорости, определяемого выражением ${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$. Где ${\displaystyle \Delta u}$ - разница в скорости потока между двумя слоями и ${\displaystyle \Delta y}$ это расстояние между слоями.

Смотрите также

• Тензор напряжения (значения)
• Теория конечных деформаций # Производная по времени от градиента деформации, градиент пространственной скорости и скорости материала из механики сплошной среды

Рекомендации

1. Карл Шахке (2014). Словарь химической инженерии. Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780199651450.
2. "Infoplease: Вязкость: градиент скорости".
3. «Градиент скорости на сайте континууммеханики».
4. Чжан, Цзуцзинь (июнь 2017 г.), "Обобщенная МГД-система с градиентом скорости в пространствах Бесова отрицательного порядка", Acta Applicandae Mathematicae, 149 (1): 139–144, Дои:10.1007 / s10440-016-0091-0, ISSN  1572-9036, S2CID  207075598
5. Grumer, J .; Harris, M.E .; Роу, В. Р. (июль 1956 г.), Фундаментальный возврат, продувка и пределы желтого кончика смесей топливный газ-воздух (PDF), Горное бюро
6. Rojas, J.C .; Морено, Б .; Garralón, G .; Plaza, F .; Pérez, J .; Гомес, М.А. (2010), «Влияние градиента скорости в гидравлическом флокуляторе на удаление NOM с помощью аэрированных спирально-навитых ультрафильтрационных мембран (ASWUF)», Журнал опасных материалов, 178 (1): 535–540, Дои:10.1016 / j.jhazmat.2010.01.116, ISSN  0304-3894, PMID  20153578
7. Gonzalez, O .; Стюарт, А. М. (2008). Первый курс механики сплошной среды. Кембриджские тексты по прикладной математике. Издательство Кембриджского университета. С. 134–135.
8. Бэтчелор, Г. (2000). Введение в динамику жидкости. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета. п. 145. ISBN  9780521663960.
9. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1997). Механика жидкости. Перевод Sykes, J. B .; Рид, У. Х. (2-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. ISBN  0-7506-2767-0.
10. Левицки, Р. «Обзор терминологии механики жидкости» (PDF).