Конвергенция Вейсмана - Wijsman convergence - Wikipedia

Конвергенция Вейсмана это вариант Сходимость Хаусдорфа подходит для работы с неограниченные множества Интуитивно, сходимость Вейсмана означает сходимость в Метрика Хаусдорфа в качестве поточечная сходимость должен равномерное схождение.

История

Сходимость определялась формулой Роберт Вейсман.^[1]Это же определение использовалось ранее Зденек Фролик.^[2]Еще раньше Хаусдорф в своей книге Grundzüge der Mengenlehre определил так называемый закрытые лимиты;за собственные метрические пространства это то же самое, что и конвергенция Вейсмана.

Определение

Позволять (Икс, d) - метрическое пространство, и пусть Cl (Икс) обозначают совокупность всех d-замкнутые подмножества Икс. Для точки Икс ∈ Икс и набор А ∈ Cl (Икс), набор

{ displaystyle d (x, A) = inf _ {a in A} d (x, a).}

Последовательность (или сеть ) наборов А_я ∈ Cl (Икс) называется Конвергент Вийсмана к А ∈ Cl (Икс) если для каждого Икс ∈ Икс,

{ displaystyle d (x, A_ {i}) to d (x, A).}

Сходимость Вейсмана индуцирует топология на Cl (Икс), известный как Топология Вийсмана.

Характеристики

Топология Вейсмана очень сильно зависит от метрики d. Даже если две метрики одинаково эквивалентны, они могут создавать разные топологии Вейсмана.
Теорема Бера: если (Икс, d) это полный, отделяемый метрическое пространство, то Cl (Икс) с топологией Вейсмана является Польское пространство, т.е. сепарабельно и метризуемо с полной метрикой.
Cl (Икс) с топологией Вейсмана всегда Тихоновское пространство. Более того, есть Теорема Леви-Лечицкого: (Икс, d) отделима если и только если Cl (Икс) либо метризуемо, исчисляемый первым или же счетный.
Если поточечную сходимость сходимости Вейсмана заменить равномерной сходимостью (равномерно по Икс), то получаем сходимость по Хаусдорфу, где метрика Хаусдорфа задается формулой

{ Displaystyle d _ { mathrm {H}} (A, B) = sup _ {x in X} { big |} d (x, A) -d (x, B) { big |}. }

Топологии Хаусдорфа и Вейсмана на Cl (Икс) совпадают тогда и только тогда, когда (Икс, d) это полностью ограниченное пространство.

Смотрите также

внешняя ссылка

Сом Наимпалли (2001) [1994], «Конвергенция Вейсмана», Энциклопедия математики, EMS Press

[1] Вейсман, Роберт А. (1966). «Сходимость последовательностей выпуклых множеств, конусов и функций. II». Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 123 (1): 32–45. Дои:10.2307/1994611. JSTOR 1994611. МИСТЕР0196599

[2] З. Фролик, О топологической сходимости множеств, Czechskovak Math. J. 10 (1960), 168–180

[1]

[2]