Личность Абельса - Abels identity - Wikipedia

В математика, Личность Авеля (также называется Формула Абеля^[1] или же Тождество дифференциального уравнения Абеля) - уравнение, выражающее Вронскиан двух решений однородной линейной обыкновенное дифференциальное уравнение через коэффициент исходного дифференциального уравнения, которое можно обобщить на пЛинейные обыкновенные дифференциальные уравнения -го порядка. Личность названа в честь норвежский язык математик Нильс Хенрик Абель.

Поскольку личность Авеля связывает разные линейно независимый решения дифференциального уравнения, его можно использовать, чтобы найти одно решение из другого. Он предоставляет полезные идентификаторы, относящиеся к решениям, а также полезен как часть других методов, таких как метод вариации параметров. Это особенно полезно для таких уравнений, как Уравнение Бесселя где решения не имеют простой аналитической формы, потому что в таких случаях вронскиан трудно вычислить напрямую.

Обобщение на системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка дается формулой Формула Лиувилля.

Заявление

Рассмотрим однородный линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

{ Displaystyle у '' + п (х) у '+ д (х) , у = 0}

на интервал я из реальная линия с настоящий - или же сложный -ценный непрерывные функции п и q. Личность Абеля утверждает, что вронскианец ${ Displaystyle W = (y_ {1}, y_ {2})}$ двух действительных или комплексных решений ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {2}}$ этого дифференциального уравнения, то есть функции, определяемой детерминант

{ Displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = { begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) y '_ {1} (x) & y '_ {2} (x) end {vmatrix}} = y_ {1} (x) , y' _ {2} (x) -y '_ {1} (x) , y_ {2} (x), qquad x in I,}

удовлетворяет соотношению

{ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = C exp { biggl (} - int _ {x_ {0}} ^ {x} p (x ') , { textrm {d}} x '{ biggr)}, qquad x in I,}

за каждую точку Икс₀ в я, куда C - произвольная постоянная.

Замечания

В частности, вронскиан ${ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2})}$ либо всегда нулевая функция, либо всегда отлична от нуля с тем же знаком в каждой точке ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle I}$ . В последнем случае два решения ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {2}}$ линейно независимы (см. статью о вронскиане для доказательства).
Необязательно предполагать, что вторые производные решений ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {2}}$ непрерывны.
Теорема Абеля особенно полезна, если ${ displaystyle p (x) = 0}$ , потому что это означает, что ${ displaystyle W}$ постоянно.

Доказательство

Дифференцировать вронскианец, использующий правило продукта дает (письмо ${ displaystyle W}$ за ${ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2})}$ и опуская аргумент ${ displaystyle x}$ для краткости)

{ displaystyle { begin {align} W '& = y_ {1}' y_ {2} '+ y_ {1} y_ {2}' '- y_ {1}' 'y_ {2} -y_ {1} 'y_ {2}' & = y_ {1} y_ {2} '' - y_ {1} '' y_ {2}. end {выравнивается}}}

Решение для ${ displaystyle y ''}$ в исходном дифференциальном уравнении дает

{ displaystyle y '' = - (py '+ qy).}

Подставляя этот результат в производную функции Вронскиана, чтобы заменить вторые производные от ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {2}}$ дает

{ displaystyle { begin {align} W '& = - y_ {1} (py_ {2}' + qy_ {2}) + (py_ {1} '+ qy_ {1}) y_ {2} & = -p (y_ {1} y_ {2} '- y_ {1}' y_ {2}) & = - pW. end {выравнивается}}}

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и остается показать, что тождество Абеля дает единственное решение, которое принимает значение ${ displaystyle W (x_ {0})}$ в ${ displaystyle x_ {0}}$ . Поскольку функция ${ displaystyle p}$ продолжается на ${ displaystyle I}$ , она ограничена на каждом замкнутом и ограниченном подынтервале ${ displaystyle I}$ и поэтому интегрируема, следовательно

{ Displaystyle В (х) = W (х) ехр влево ( int _ {x_ {0}} ^ {x} p ( xi) , { textrm {d}} xi right), qquad x in I,}

является четко определенной функцией. Различая обе стороны, используя правило произведения, Правило цепи, производная от экспоненциальная функция и основная теорема исчисления, получается

{ Displaystyle V '(x) = { bigl (} W' (x) + W (x) p (x) { bigr)} exp { biggl (} int _ {x_ {0}} ^ {x} p ( xi) , { textrm {d}} xi { biggr)} = 0, qquad x in I,}

из-за дифференциального уравнения для ${ displaystyle W}$ . Следовательно, ${ displaystyle V}$ должен быть постоянным на ${ displaystyle I}$ , так как иначе мы получили бы противоречие с теорема о среднем значении (применяется отдельно к действительной и мнимой части в комплексном случае). С ${ Displaystyle V (x_ {0}) = W (x_ {0})}$ , Тождество Абеля следует из решения определения ${ displaystyle V}$ за ${ Displaystyle W (х)}$ .

Обобщение

Рассмотрим однородную линейную ${ displaystyle n}$ й-порядок ( ${ Displaystyle п geq 1}$ ) обыкновенное дифференциальное уравнение

{ displaystyle y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) , y ^ {(n-1)} + cdots + p_ {1} (x) , y '+ p_ {0 } (х) , y = 0,}

на интервале ${ displaystyle I}$ вещественной прямой с действительной или комплексной непрерывной функцией ${ displaystyle p_ {n-1}}$ . Обобщение тождества Абеля утверждает, что вронскиан ${ Displaystyle W (y_ {1}, ldots, y_ {n})}$ из ${ displaystyle n}$ Реальные или комплексные решения ${ displaystyle y_ {1}, ldots, y_ {n}}$ этого ${ displaystyle n}$ Дифференциальное уравнение-го порядка, то есть функция, определяемая определителем

{ Displaystyle W (y_ {1}, ldots, y_ {n}) (x) = { begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & cdots & y_ {n} ( x) y '_ {1} (x) & y' _ {2} (x) & cdots & y '_ {n} (x) vdots & vdots & ddots & vdots y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) end { vmatrix}}, qquad x in I,}

удовлетворяет соотношению

{ Displaystyle W (y_ {1}, ldots, y_ {n}) (x) = W (y_ {1}, ldots, y_ {n}) (x_ {0}) exp { biggl (} - int _ {x_ {0}} ^ {x} p_ {n-1} ( xi) , { textrm {d}} xi { biggr)}, qquad x in I,}

за каждую точку ${ displaystyle x_ {0}}$ в ${ displaystyle I}$ .

Прямое доказательство

Для краткости запишем ${ displaystyle W}$ за ${ Displaystyle W (y_ {1}, ldots, y_ {n})}$ и опустить аргумент ${ displaystyle x}$ . Достаточно показать, что вронскиан решает линейное дифференциальное уравнение первого порядка

{ displaystyle W '= - p_ {n-1} , W,}

поскольку оставшаяся часть доказательства тогда совпадает с таковой для случая ${ displaystyle n = 2}$ .

В случае ${ displaystyle n = 1}$ у нас есть ${ displaystyle W = y_ {1}}$ и дифференциальное уравнение для ${ displaystyle W}$ совпадает с ${ displaystyle y_ {1}}$ . Поэтому предположим ${ Displaystyle п geq 2}$ В следующих.

Производная от вронскиана ${ displaystyle W}$ - производная определяющего определителя. Это следует из Формула Лейбница для определителей что эту производную можно вычислить, дифференцируя каждую строку отдельно, следовательно,

{ displaystyle { begin {align} W '& = { begin {vmatrix} y' _ {1} & y '_ {2} & cdots & y' _ {n} y '_ {1} & y' _ {2} & cdots & y '_ {n} y' '_ {1} & y' '_ {2} & cdots & y' '_ {n} y' '' _ {1} & y '' '_ {2} & cdots & y' '' _ {n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {1} ^ {(n-1)} & y_ {2} ^ {(n-1)} & cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} y_ {1} & y_ {2} & cdots & y_ {n} y '' _ {1} & y '' _ {2} & cdots & y '' _ {n} y '' _ {1} & y '' _ {2} & cdots & y '' _ { n} y '' '_ {1} & y' '' _ {2} & cdots & y '' '_ {n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {1} ^ {(n-1)} & y_ {2} ^ {(n-1)} & cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} end {vmatrix}} & qquad + cdots + { begin {vmatrix} y_ {1} & y_ {2} & cdots & y_ {n} y '_ {1} & y' _ {2} & cdots & y '_ {n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {1} ^ {(n-3)} & y_ {2} ^ {(n-3)} & cdots & y_ {n} ^ {(n-3)} y_ {1} ^ {(n-2)} & y_ {2} ^ {(n-2)} & cdots & y_ {n} ^ {(n-2)} y_ {1} ^ {( n)} & y_ {2} ^ {(n)} & cdots & y_ {n} ^ {(n)} end {vmatrix}}. end {align}}}

Однако обратите внимание, что каждый определитель из раскрытия содержит пару одинаковых строк, кроме последней. Поскольку определители с линейно зависимыми строками равны 0, остается только последний:

{ displaystyle W '= { begin {vmatrix} y_ {1} & y_ {2} & cdots & y_ {n} y' _ {1} & y '_ {2} & cdots & y' _ {n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {1} ^ {(n-2)} & y_ {2} ^ {(n-2)} & cdots & y_ {n} ^ {(n -2)} y_ {1} ^ {(n)} & y_ {2} ^ {(n)} & cdots & y_ {n} ^ {(n)} end {vmatrix}}.}.

Поскольку каждый ${ displaystyle y_ {i}}$ решает обыкновенное дифференциальное уравнение, имеем

{ displaystyle y_ {i} ^ {(n)} + p_ {n-2} , y_ {i} ^ {(n-2)} + cdots + p_ {1} , y '_ {i} + p_ {0} , y_ {i} = - p_ {n-1} , y_ {i} ^ {(n-1)}}

для каждого ${ Displaystyle я в lbrace 1, ldots, п rbrace}$ . Следовательно, добавляя к последней строке указанного выше определителя ${ displaystyle p_ {0}}$ раз его первую строку, ${ displaystyle p_ {1}}$ умножить на второй ряд и так далее, пока ${ displaystyle p_ {n-2}}$ умноженное на предпоследнюю строку, значение определителя производной от ${ displaystyle W}$ неизменен и мы получаем