Теорема Андерсона – Кадека - Anderson–Kadec theorem

В математика, в районах топология и функциональный анализ, то Теорема Андерсона – Кадека состояния^[1] что любые два бесконечномерный, отделяемый Банаховы пространства, или, в более общем смысле, Пространства фреше, находятся гомеоморфный как топологические пространства. Теорема была доказана Михаил Кадец (1966) и Ричард Дэвис Андерсон.

утверждение

Всякое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$, то Декартово произведение из счетно много копии реальной линии ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Предварительные мероприятия

Кадец норма: Норма ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на линейном нормированном пространстве ${\displaystyle X}$ называется Норма Кадека относительно общее подмножество ${\displaystyle A\subset X^{*}}$ дуального пространства ${\displaystyle X^{*}}$ если для каждой последовательности ${\displaystyle x_{n}\in X}$ выполняется следующее условие:

• Если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{*}(x_{n})=x^{*}(x_{0})}$ для ${\displaystyle x^{*}\in A}$ и ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|=\|x_{0}\|}$, тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|=0}$.

Eidelheit теорема: Пространство Фреше ${\displaystyle E}$ либо изоморфно банаховому пространству, либо имеет фактор-пространство, изоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

Теорема о перенормировке Кадека: Каждое отделимое банахово пространство ${\displaystyle X}$ допускает норму Кадека относительно счетного тотального подмножества ${\displaystyle A\subset X^{*}}$ из ${\displaystyle X^{*}}$. Новая норма эквивалентна исходной норме ${\displaystyle \|\cdot \|}$ из ${\displaystyle X}$. Набор ${\displaystyle A}$ можно взять любое плотное счетное подмножество слабой звезды единичного шара ${\displaystyle X^{*}}$

Набросок доказательства

В приведенном ниже аргументе ${\displaystyle E}$ обозначает бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше, а ${\displaystyle \simeq }$ отношение топологической эквивалентности (наличие гомеоморфизма).

Отправной точкой доказательства теоремы Андерсона – Кадека является доказательство Кадека того, что любое бесконечномерное сепарабельное банахово пространство гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

По теореме Эйдельхейта достаточно рассмотреть пространства Фреше, не изоморфные банахову пространству. В этом случае у них есть фактор, изоморфный ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$. Результат Бартла-Грейвса-Майкла доказывает, что тогда

${\displaystyle E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

для некоторого пространства Фреше ${\displaystyle Y}$.

С другой стороны, ${\displaystyle E}$ является замкнутым подпространством счетного бесконечного произведения сепарабельных банаховых пространств ${\displaystyle X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}}$ сепарабельных банаховых пространств. Тот же результат Бартла-Грейвса-Майкла применился к ${\displaystyle X}$ дает гомеоморфизм

${\displaystyle X\simeq E\times Z}$

для некоторого пространства Фреше ${\displaystyle Z}$. Из результата Кадека счетное произведение бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств ${\displaystyle X}$ гомеоморфен ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

Доказательство теоремы Андерсона – Кадека состоит из последовательности эквивалентностей

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{aligned}}}$

Заметки

1. Бессага, Ц .; Пелчинский, А. (1975). Избранные темы бесконечномерной топологии. Panstwowe wyd. наукове. п. 189.

использованная литература

• Бессага, Ц .; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии, Monografie Matematyczne, Warszawa: PWN.
• Торунчик, Х. (1981), Описание топологии гильбертова пространства, Fundamenta Mathematicae, стр. 247–262..