Теорема Барратта – Придди - Barratt–Priddy theorem

В теория гомотопии, филиал математика, то Теорема Барратта – Придди (также называемый Теорема Барратта – Придди – Квиллена.) выражает связь между гомологиями симметричные группы и отображение пространств сфер. Теорема (названная в честь Майкла Барратта, Стюарта Придди и Дэниел Квиллен ) также часто указывается как связь между сферический спектр и классификация пространств симметрических групп с помощью квиллена плюс строительство.

Формулировка теоремы

Картографическое пространство ${\displaystyle \operatorname {Map} _{0}(S^{n},S^{n})}$ топологическое пространство всех непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$ от п-мерная сфера ${\displaystyle S^{n}}$ себе, в топологии равномерное схождение (частный случай компактно-открытая топология ). Эти карты необходимы для фиксации базовой точки. ${\displaystyle x\in S^{n}}$, удовлетворяющий ${\displaystyle f(x)=x}$, и иметь степень 0; это гарантирует, что пространство отображения связаны. Теорема Барратта – Придди выражает связь между гомологиями этих пространств отображений и гомологиями симметричные группы ${\displaystyle \Sigma _{n}}$.

Это следует из Теорема Фрейденталя о подвеске и Теорема Гуревича что kth гомология ${\displaystyle H_{k}(\operatorname {Map} _{0}(S^{n},S^{n}))}$ этого отображаемого пространства независимый измерения п, так долго как ${\displaystyle n>k}$. Точно так же Минору Накаока (1960 ) доказал, что kth групповая гомология ${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{n})}$ симметрической группы ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ на п элементы не зависят от п, так долго как ${\displaystyle n\geq 2k}$. Это пример гомологическая стабильность.

Теорема Барратта – Придди утверждает, что эти «стабильные группы гомологий» одинаковы: для ${\displaystyle n\geq 2k}$, существует естественный изоморфизм

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{n})\cong H_{k}({\text{Map}}_{0}(S^{n},S^{n})).}$

Этот изоморфизм верен с целыми коэффициентами (фактически с любыми коэффициентами, как будет показано в переформулировке ниже).

Пример: первая гомология

Этот изоморфизм можно явно увидеть для первых гомологий ${\displaystyle H_{1}}$. В первые гомологии группы самый большой коммутативный фактор этой группы. Для групп перестановок ${\displaystyle \Sigma _{n}}$, единственный коммутативный фактор дается знак перестановки, принимая значения в {−1, 1}. Это показывает, что ${\displaystyle H_{1}(\Sigma _{n})\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, то циклическая группа порядка 2, для всех ${\displaystyle n\geq 2}$. (За ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ - тривиальная группа, поэтому ${\displaystyle H_{1}(\Sigma _{1})=0}$.)

Из теории перекрытия что пространство отображения ${\displaystyle \operatorname {Map} _{0}(S^{1},S^{1})}$ круга ${\displaystyle S^{1}}$ является стягиваемый, так${\displaystyle H_{1}(\operatorname {Map} _{0}(S^{1},S^{1}))=0}$. Для 2-сферы ${\displaystyle S^{2}}$, первый гомотопическая группа и первая группа гомологий пространства отображений как бесконечные циклические:

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Map} _{0}(S^{2},S^{2}))=H_{1}(\operatorname {Map} _{0}(S^{2},S^{2}))\cong \mathbb {Z} }$.

Генератор для этой группы может быть построен из Расслоение Хопфа ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$. Наконец, однажды ${\displaystyle n\geq 3}$, оба циклический порядка 2:

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Map} _{0}(S^{n},S^{n}))=H_{1}(\operatorname {Map} _{0}(S^{n},S^{n}))\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Переформулировка теоремы

Бесконечная симметрическая группа ${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$ объединение конечных симметричные группы ${\displaystyle \Sigma _{n}}$, а из теоремы Накаоки следует, что групповые гомологии ${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$ стабильные гомологии ${\displaystyle \Sigma _{n}}$: за ${\displaystyle n\geq 2k}$,

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{\infty })\cong H_{k}(\Sigma _{n})}$.

В классификация пространства этой группы обозначается ${\displaystyle B\Sigma _{\infty }}$, а его гомологиями этого пространства являются групповые гомологии ${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$:

${\displaystyle H_{k}(B\Sigma _{\infty })\cong H_{k}(\Sigma _{\infty })}$.

Аналогично обозначим через ${\displaystyle \operatorname {Map} _{0}(S^{\infty },S^{\infty })}$ объединение пространств отображения ${\displaystyle \operatorname {Map} _{0}(S^{n},S^{n})}$ при включениях, индуцированных приостановка. Гомология ${\displaystyle \operatorname {Map} _{0}(S^{\infty },S^{\infty })}$ стабильные гомологии предыдущих пространств отображений: для ${\displaystyle n>k}$,

${\displaystyle H_{k}(\operatorname {Map} _{0}(S^{\infty },S^{\infty }))\cong H_{k}(\operatorname {Map} _{0}(S^{n},S^{n})).}$

Есть естественная карта ${\displaystyle \varphi \colon B\Sigma _{\infty }\to \operatorname {Map} _{0}(S^{\infty },S^{\infty })}$; один из способов построить эту карту - использовать модель ${\displaystyle B\Sigma _{\infty }}$ как пространство конечных подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ наделен соответствующей топологией. Эквивалентная формулировка теоремы Барратта – Придди такова: ${\displaystyle \varphi }$ это эквивалентность гомологии (или же ациклическая карта), означающий, что ${\displaystyle \varphi }$ индуцирует изоморфизм на всех группах гомологий с любой локальной системой коэффициентов.

Связь с плюсовой конструкцией Квиллена

Из теоремы Барратта – Придди следует, что пространство BΣ_∞⁺ в результате применения Квиллена плюс строительство к BΣ_∞ можно отождествить с карта₀(S^∞,S^∞). (С π₁(Карта₀(S^∞,S^∞))≅ЧАС₁(Σ_∞)≅Z/2Z, карта φ: BΣ_∞→ Карта₀(S^∞,S^∞) удовлетворяет универсальному свойству плюсовой конструкции, если известно, что φ является гомологической эквивалентностью.)

Пространства отображения карта₀(S^п,S^п) чаще обозначаются Ω^п₀S^п, куда Ω^пS^п это п-складывать пространство петли из п-сфера S^п, и аналогично карта₀(S^∞,S^∞) обозначается Ω^∞₀S^∞. Поэтому теорему Барратта – Придди также можно сформулировать как

${\displaystyle B\Sigma _{\infty }^{+}\simeq \Omega _{0}^{\infty }S^{\infty }}$ или же

${\displaystyle {\textbf {Z}}\times B\Sigma _{\infty }^{+}\simeq \Omega ^{\infty }S^{\infty }}$

В частности, гомотопические группы BΣ_∞⁺ являются стабильные гомотопические группы сфер:

${\displaystyle \pi _{i}(B\Sigma _{\infty }^{+})\cong \pi _{i}(\Omega ^{\infty }S^{\infty })\cong \lim _{n\rightarrow \infty }\pi _{n+i}(S^{n})=\pi _{i}^{s}}$

"K-теория F₁"

Теорема Барратта – Придди иногда в разговорной речи перефразируется так, что « K-группы F₁ - стабильные гомотопические группы сфер ». Это не содержательное математическое утверждение, а метафора, выражающая аналогию с алгебраический K-теория.

"поле с одним элементом " F₁ не является математическим объектом; это относится к набору аналогий между алгеброй и комбинаторикой. Одна из центральных аналогий - идея, что GL_п(F₁) должна быть симметричной группой Σ_п. выше K-группы K_я(р) кольца р можно определить как

${\displaystyle K_{i}(R)=\pi _{i}(BGL_{\infty }(R)^{+})}$

По этой аналогии K-группы K_я(F₁) из F₁ следует определять как π_я(BGL_∞(F₁)⁺) = π_я(BΣ_∞⁺), что по теореме Барратта – Придди:

${\displaystyle K_{i}(\mathbf {F} _{1})=\pi _{i}(BGL_{\infty }(\mathbf {F} _{1})^{+})=\pi _{i}(B\Sigma _{\infty }^{+})=\pi _{i}^{s}.}$

Рекомендации

• Барратт, Майкл; Придди, Стюарт (1972), «О гомологиях несвязных моноидов и связанных с ними групп», Комментарии Mathematici Helvetici, 47: 1–14, Дои:10.1007 / bf02566785
• Накаока, Минору (1960), "Теорема разложения для групп гомологий симметрических групп", Анналы математики, 71: 16–42, Дои:10.2307/1969878, JSTOR  1969878, МИСТЕР  0112134