Подразделение поверхности Катмулла – Кларка - Catmull–Clark subdivision surface

Подразделение по Катмуллу – Кларку куба с поверхность подразделения ниже. (Обратите внимание, что Catmull-Clark бикубическая интерполяция выше не может приблизиться к фактическому сфера, как сфера квадрика.)

В Кэтмелл – Кларк алгоритм это техника, используемая в 3D компьютерная графика для создания гладких поверхностей с помощью типа поверхность подразделения моделирование. Это было разработано Эдвин Кэтмелл и Джим Кларк в 1978 г. как обобщение бикубический униформа B-шлиц поверхности к произвольным топология.^[1] В 2005 году Эдвин Кэтмелл получил Премия Оскар за технические достижения, вместе с Тони ДеРоуз и Йос Стам (за их изобретение и применение разделительных поверхностей).

Рекурсивная оценка

Поверхности Катмулла – Кларка определяются рекурсивно с использованием следующей схемы уточнения:^[1]

Начните с сетка произвольного многогранник. Все вершины в этой сетке будем называть исходными точками.

Для каждого лица добавьте точка лица
- Задайте каждую точку грани средний всех исходных точек для соответствующего лица.
Для каждого края добавьте крайняя точка.
- Установите каждую точку края как среднее значение двух соседних точек грани и двух исходных конечных точек.
Для каждого точка лица, добавьте ребро для каждого края лица, соединяя точка лица для каждого крайняя точка для лица.
За каждую исходную точку п, возьмите среднее F из всех п (недавно созданные) точки для лиц, соприкасающихся п, и возьмем среднее р из всех п средние точки краев для соприкосновения (исходных) краев п, где средняя точка каждой грани - это среднее значение двух вершин ее конечных точек (не путать с новыми «граничными точками» выше). (Обратите внимание, что с точки зрения вершины п, количество соседних ребер п также количество смежных граней, следовательно п). Переместите каждую исходную точку к точке

{ displaystyle { frac {F + 2R + (n-3) P} {n}}}

Это барицентр из п, р и F с соответствующими весами (п - 3), 2 и 1.

Соедините каждую новую точку грани с новыми краевыми точками всех исходных краев, определяющих исходную грань.
Соедините каждую новую точку вершины с новыми точками ребер всех исходных ребер, инцидентных исходной вершине.
Определите новые грани как окруженные ребрами.

Новая сетка будет состоять только из четырехугольники, чего вообще не будет планарный. Новая сетка обычно выглядит более гладкой, чем старая.

Повторное подразделение приводит к более гладким сеткам. Можно показать, что предельная поверхность, полученная с помощью этого процесса уточнения, не меньше ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {1}}$ в необычных вершинах и ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {2}}$ везде (когда п указывает, сколько производных непрерывный, мы говорим о ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {п}}$ преемственность). После одной итерации количество необычных точек на поверхности остается постоянным.

Формула произвольно выглядящего барицентра была выбрана Катмаллом и Кларком на основании эстетического вида получаемых поверхностей, а не математического вывода, хотя Катмалл и Кларк действительно идут на многое, чтобы строго показать, что метод сходится к бикубическим B-сплайновым поверхностям. .^[1]

Точная оценка

Предельная поверхность поверхностей подразделения Катмулла – Кларка также может быть вычислена напрямую, без каких-либо рекурсивных уточнений. Это можно сделать с помощью техники Йос Стам.^[2] Этот метод переформулирует процесс рекурсивного уточнения в матричная экспонента проблема, которую можно решить напрямую с помощью диагонализация матрицы.

Программное обеспечение, использующее разбиение поверхностей по Катмуллу – Кларку

Смотрите также

Обозначения многогранника Конвея - Набор связанных топологических операторов многогранника и многоугольной сетки.

дальнейшее чтение

Derose, T .; Касс, М .; Чыонг, Т. (1998). «Подразделение поверхностей в персонажной анимации» (PDF). Материалы 25-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным техникам - SIGGRAPH '98. стр.85. CiteSeerX 10.1.1.679.1198. Дои:10.1145/280814.280826. ISBN 978-0897919999.
Петля, Ц .; Шефер, С. (2008). «Аппроксимация поверхностей подразделения Катмулла-Кларка бикубическими пятнами» (PDF). Транзакции ACM на графике. 27: 1–11. CiteSeerX 10.1.1.153.2047. Дои:10.1145/1330511.1330519.
Ковач, Д .; Mitchell, J .; Drone, S .; Зорин, Д. (2010). «Приближенное разделение поверхностей со смещениями, построенное в реальном времени» (PDF). IEEE Transactions по визуализации и компьютерной графике. 16 (5): 742–51. Дои:10.1109 / TVCG.2010.31. PMID 20616390. препринт
Маттиас Нисснер, Чарльз Луп, Марк Мейер, Тони ДеРоуз "Функция адаптивного рендеринга поверхностей Catmull-Clark Subdivision с помощью графического процессора ", Транзакции ACM по графике, том 31, выпуск 1, январь 2012 г., Дои:10.1145/2077341.2077347, демо
Ниснер, Маттиас; Петля, Чарльз; Грайнер, Гюнтер: Эффективная оценка полугладких складок на разделенных поверхностях Катмулла-Кларка: Eurographics 2012 Приложение: Краткие статьи (Eurographics 2012, Cagliary). 2012, стр. 41–44.
Уэйд Брейнерд, Тесселяция в Call of Duty: Ghosts также представлен как учебное пособие по SIGGRAPH2014 [1]
Д. Ду и М. Сабин: Поведение рекурсивных поверхностей деления вблизи необычных точек, Computer-Aided Design, 10 (6) 356–360 (1978), (Дои, pdf )

[CatmullClark-1] а ^б ^c Катмелл, Э.; Кларк, Дж. (1978). «Рекурсивно генерируемые B-сплайновые поверхности на произвольных топологических сетках» (PDF). Системы автоматизированного проектирования. 10 (6): 350. Дои:10.1016/0010-4485(78)90110-0.

[Stam-2] Стам, Дж. (1998). «Точная оценка поверхностей подразделения Катмулла-Кларка при произвольных значениях параметров» (PDF). Материалы 25-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным техникам - SIGGRAPH '98. стр.395–404. CiteSeerX 10.1.1.20.7798. Дои:10.1145/280814.280945. ISBN 978-0-89791-999-9.

[3] «Модификатор Subdivision Surface». 2020-01-15.

[4] «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-11-23. Получено 2016-12-04.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)

[WattCoumans2014-5] Мануэль Кремер (2014). «OpenSubdiv: взаимодействие вычислений и рисования на GPU». У Мартина Ватта; Эрвин Куманс; Джордж ЭльКура; и другие. (ред.). Многопоточность для визуальных эффектов. CRC Press. С. 163–199. ISBN 978-1-4822-4356-7.

[6] ttps://www.youtube.com/watch?v=xFZazwvYc5o

[7] «Pixar's OpenSubdiv V2: подробный обзор». 2013-09-18.

[8] ttp://on-demand.gputechconf.com/gtc/2014/video/S4856-subdivision-surfaces-industry-standard.mp4

[9] ttps://www.youtube.com/watch?v=dzIl_S-qHIQ

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]