Диссипативный оператор - Dissipative operator - Wikipedia

В математика, а диссипативный оператор это линейный оператор А определено на линейное подпространство D(А) из Банахово пространство Икс, принимая значения в Икс такой, что для всех λ > 0 и все Икс ∈ D(А)

${\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|\geq \lambda \|x\|.}$

Ниже дана пара эквивалентных определений. Диссипативный оператор называется максимально диссипативный если он диссипативный и для всех λ > 0 оператор λI − А сюръективен, что означает, что диапазон, применяемый к домену D это все пространство Икс.

Оператор, который подчиняется аналогичному условию, но со знаком плюс вместо знака минус (то есть отрицание диссипативного оператора), называется оператором аккретивный оператор.^[1]

Основное значение диссипативных операторов заключается в их появлении в Теорема Люмера – Филлипса который характеризует максимально диссипативные операторы как генераторы полугруппы сжатия.

Характеристики

Диссипативный оператор обладает следующими свойствами:^[2]

• Из приведенного выше неравенства мы видим, что для любого Икс в области А, если ‖Икс‖ ≠ 0 тогда ${\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|\neq 0,}$ Итак ядро из λI − А это просто нулевой вектор и λI − А следовательно является инъективный и имеет обратное для всех λ > 0. (Если у нас есть строгое неравенство ${\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|>\lambda \|x\|}$ для всех ненулевых Икс в домене, то неравенство треугольника, ${\displaystyle \|\lambda x\|+\|Ax\|\geq \|(\lambda I-A)x\|>\lambda \|x\|,}$ откуда следует, что само A имеет обратное) .Тогда мы можем утверждать, что

${\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-1}z\|\leq {\frac {1}{\lambda }}\|z\|}$

для всех z в диапазоне λI − А. Это то же неравенство, что и в начале статьи, с ${\displaystyle z=(\lambda I-A)x.}$ (Мы могли бы также записать их как ${\displaystyle \|(I-\kappa A)^{-1}z\|\leq \|z\|{\text{ or }}\|(I-\kappa A)x\|\geq \|x\|}$ которое должно выполняться для любого положительного κ.)

• λI − А является сюръективный для некоторых λ > 0 тогда и только тогда, когда он сюръективен для всех λ > 0. (Это уже упоминавшийся выше максимально диссипативный случай.) В этом случае (0, ∞) ⊂ ρ(А) ( набор резольвент из А).
• А это закрытый оператор тогда и только тогда, когда диапазон λI - А закрыто для некоторых (эквивалентно: для всех) λ > 0.

Эквивалентные характеристики

Определите набор двойственности Икс ∈ Икс, подмножество двойное пространство ИКС' из Икс, к

${\displaystyle J(x):=\left\{x'\in X':\|x'\|_{X'}^{2}=\|x\|_{X}^{2}=\langle x',x\rangle \right\}.}$

Посредством Теорема Хана – Банаха этот набор непустой.^[3] в Гильбертово пространство случае (используя каноническую двойственность между гильбертовым пространством и двойственным ему) он состоит из единственного элемента Икс.^[4] В более общем смысле, если Икс является банаховым пространством со строго выпуклым двойственным, то J(Икс) состоит из одного элемента.^[5]Используя это обозначение, А диссипативен тогда и только тогда, когда^[6] для всех Икс ∈ D(А) существует Икс' ∈ J(Икс) такие, что

${\displaystyle {\rm {Re}}\langle Ax,x'\rangle \leq 0.}$

В случае гильбертовых пространств это становится ${\displaystyle {\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle \leq 0}$ для всех Икс в D(А). Поскольку это неположительно, мы имеем

${\displaystyle \|x-Ax\|^{2}=\|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}-2{\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle \geq \|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}+2{\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle =\|x+Ax\|^{2}}$

${\displaystyle \therefore \|x-Ax\|\geq \|x+Ax\|}$

С I − A имеет обратное, это означает, что ${\displaystyle (I+A)(I-A)^{-1}}$ это сокращение, и в более общем плане ${\displaystyle (\lambda I+A)(\lambda I-A)^{-1}}$ является сжатием для любого положительного λ. Полезность этой формулировки заключается в том, что если этот оператор является сжатием для немного положительное λ, тогда А диссипативен. Нет необходимости доказывать, что это сжатие для всех положительных λ (хотя это так), в отличие от (λI − A)⁻¹ которое должно быть доказано как сокращение для все положительные значения λ.

Примеры

• В качестве простого конечномерного примера рассмотрим п-размерный Евклидово пространство р^п со своим обычным скалярное произведение. Если А обозначает негатив оператор идентификации, определенная на всех р^п, тогда

${\displaystyle x\cdot Ax=x\cdot (-x)=-\|x\|^{2}\leq 0,}$

так А - диссипативный оператор.

• Пока домен оператора А (матрица) - это все евклидово пространство, то оно диссипативно тогда и только тогда, когда А+А^* (сумма A и его прилегающий ) не имеет положительного собственного значения, и (следовательно) все такие операторы максимально диссипативны. Этот критерий следует из того, что действительная часть ${\displaystyle x^{*}Ax,}$ который должен быть неположительным для любого Икс, является ${\displaystyle x^{*}{\frac {A+A^{*}}{2}}x.}$ Собственные значения этого квадратичная форма поэтому должен быть неположительным. (Дело в том, что реальная часть ${\displaystyle x^{*}Ax,}$ должно быть неположительным, означает, что действительные части собственных значений А должен быть неположительным, но этого недостаточно. Например, если ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&3\\0&-1\end{pmatrix}}}$ то его собственные значения отрицательны, но собственные значения А+А^* равны −5 и 1, поэтому А не диссипативен.) Эквивалентным условием является то, что для некоторого (а значит, любого) положительного ${\displaystyle \lambda ,\lambda -A}$ имеет обратный и оператор ${\displaystyle (\lambda +A)(\lambda -A)^{-1}}$ является сжатием (то есть, оно либо уменьшает, либо оставляет неизменной норму своего операнда). Если производная точки по времени Икс в пространстве задается Топор, то эволюция во времени определяется полугруппа сжатия что постоянно снижает норму (или, по крайней мере, не дает ей повышаться). (Обратите внимание, однако, что если домен А - собственное подпространство, то А не может быть максимально диссипативным, потому что диапазон не будет иметь достаточно высокой размерности.)
• Учитывать ЧАС = L² ([0, 1]; р) с обычным внутренним произведением, и пусть Au = ты′ (В данном случае слабая производная ) с доменом D(А) равные этим функциям ты в Соболевское пространство ${\displaystyle H^{1}([0,\;1];\;\mathbf {R} )}$ с ты(1) = 0. D(А) плотно в L²([0, 1]; р). Причем для каждого ты в D(А), с помощью интеграция по частям,

${\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0.}$

Следовательно, А - диссипативный оператор. Кроме того, поскольку существует решение (почти всюду ) в D к ${\displaystyle u-\lambda u'=f}$ для любого ж в ЧАС, Оператор А максимально диссипативен. Обратите внимание, что в случае бесконечной размерности, подобной этому, диапазон может быть всем банаховым пространством, даже если область является только его собственным подпространством.

• Учитывать ЧАС = ЧАС₀²(Ω; р) (видеть Соболевское пространство ) для открыто и связаны область Ω ⊆ р^п и разреши А = Δ, Оператор Лапласа, определенная на плотном подпространстве компактно поддерживается гладкие функции на Ω. Затем, используя интегрирование по частям,

${\displaystyle \langle u,\Delta u\rangle =\int _{\Omega }u(x)\Delta u(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }{\big |}\nabla u(x){\big |}^{2}\,\mathrm {d} x=-\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega ;\mathbf {R} )}^{2}\leq 0,}$

так что лапласиан - диссипативный оператор.

Примечания

1. «Диссипативный оператор». Энциклопедия математики.
2. Предложение Энгеля и Нагеля II.3.14.
3. Из теоремы следует, что для данного Икс существует непрерывный линейный функционал φ со свойством φ (Икс)=‖Икс‖, С нормой φ, равной 1. ОтождествляемИкс‖Φ с Икс'.
4. Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25i
5. Энгель и Нагель, пример II.3.26.
6. Предложение Энгеля и Нагеля II.3.23.

Рекомендации

• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000). Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений. Springer.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN  0-387-00444-0. (Определение 12.25)