Теорема Люмера – Филлипса - Lumer–Phillips theorem - Wikipedia

В математика, то Теорема Люмера – Филлипса, названный в честь Гюнтер Люмер и Ральф Филлипс, является результатом теории сильно непрерывные полугруппы что дает необходимое и достаточное условие для линейный оператор в Банахово пространство создать полугруппа сжатия.

Формулировка теоремы

Позволять А быть линейный оператор определенный на линейном подпространстве D(А) из Банахово пространство Икс. потом А генерирует полугруппа сжатия если и только если^[1]

1. D(А) является плотный в Икс,
2. А является закрыто,
3. А является диссипативный, и
4. А − λ₀я является сюръективный для некоторых λ₀> 0, где я обозначает оператор идентификации.

Оператор, удовлетворяющий двум последним условиям, называется максимально диссипативным.

Варианты теоремы

Рефлексивные пространства

Позволять А быть линейный оператор определенный на линейном подпространстве D(А) из рефлексивный Банахово пространство Икс. потом А генерирует полугруппа сжатия если и только если^[2]

1. А является диссипативный, и
2. А − λ₀я является сюръективный для некоторых λ₀> 0, куда я обозначает оператор идентификации.

Обратите внимание, что условия, которые D(А) плотно и что А закрыто, отбрасываются по сравнению с нерефлексивным случаем. Это потому, что в рефлексивном случае они следуют из двух других условий.

Диссипативность сопряженного

Позволять А быть линейный оператор определено на плотный линейное подпространство D(А) из рефлексивный Банахово пространство Икс. потом А генерирует полугруппа сжатия если и только если^[3]

• А является закрыто и оба А и это сопряженный оператор А^∗ находятся диссипативный.

В случае, если Икс не рефлексивно, то это условие для А для генерации полугруппы сжатия все еще достаточно, но не обязательно.^[4]

Полугруппы квазисжимания

Позволять А быть линейный оператор определенный на линейном подпространстве D(А) из Банахово пространство Икс. потом А генерирует квазисжатая полугруппа если и только если

1. D(А) является плотный в Икс,
2. А является закрыто,
3. А является квазидиссипативный, т.е. существует ω ≥ 0 такой, что А − ωI является диссипативный, и
4. А − λ₀я является сюръективный для некоторых λ₀ > ω, куда я обозначает оператор идентификации.

Примеры

• Учитывать ЧАС = L²([0, 1]; р) с его обычным внутренним произведением, и пусть Au = ты′ С доменом D(А) равные этим функциям ты в Соболевское пространство ЧАС¹([0, 1]; р) с ты(1) = 0. D(А) плотно. Причем для каждого ты в D(А),

${\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0,}$

так что А диссипативен. Обыкновенное дифференциальное уравнение ты − λu = ж, ты(1) = 0 имеет единственное решение u в ЧАС¹([0, 1]; р) для любого ж в L²([0, 1]; р), а именно

${\displaystyle u(x)={\rm {e}}^{\lambda x}\int _{1}^{x}{\rm {e}}^{-\lambda t}f(t)\,dt}$

так что условие сюръективности выполнено. Следовательно, по рефлексивной версии теоремы Люмера – Филлипса А порождает полугруппу сжатия.

Есть еще много примеров, когда прямое применение теоремы Люмера – Филлипса дает желаемый результат.

В сочетании с теорией сдвига, масштабирования и возмущений теорема Люмера – Филлипса является основным инструментом, показывающим, что определенные операторы порождают сильно непрерывные полугруппы. Ниже приводится показательный пример.

• А нормальный оператор (оператор, коммутирующий со своим сопряженным) на Гильбертово пространство порождает сильно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда ее спектр ограничено сверху.^[5]

Примечания

1. Теорема Энгеля и Нагеля II.3.15, Арент и др. Теорема 3.4.5, теорема Стаффанса 3.4.8.
2. Следствие Энгеля и Нагеля II.3.20.
3. Теорема Энгеля и Нагеля II.3.17, теорема Стаффанса 3.4.8
4. В литературе действительно появляются утверждения, которые заявляют об эквивалентности также в нерефлексивном случае (например, Луо, Го, следствие Моргула 2.28), но они ошибочны.
5. Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25 (ii)

Рекомендации

• Люмер, Гюнтер и Филлипс, Р. С. (1961). «Диссипативные операторы в банаховом пространстве». Pacific J. Math. 11: 679–698. Дои:10.2140 / pjm.1961.11.679. ISSN  0030-8730.
• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN  0-387-00444-0.
• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений, Springer
• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторнозначные преобразования Лапласа и задачи Коши, Бирхаузер
• Стаффанс, Олоф (2005), Корректные линейные системы, Издательство Кембриджского университета
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями, Springer