Топология делителя - Divisor topology

В математике, а точнее общая топология, то топология дивизоров это конкретный топология на съемочной площадке ${\displaystyle X=\{2,3,4,...\}}$ положительных целые числа больше или равно двум. Топология дивизоров - это poset топология для частичный заказ отношение делимость целых чисел на ${\displaystyle X}$.

строительство

Наборы ${\displaystyle S_{n}=\{x\in X:x\mathop {|} n\}}$ для ${\displaystyle n=2,3,...}$ сформировать основа для топология дивизоров^[1] на ${\displaystyle X}$, где обозначение ${\displaystyle x\mathop {|} n}$ означает ${\displaystyle x}$ является делителем ${\displaystyle n}$.

Открытые множества в этой топологии - это нижние наборы для частичного порядка, определенного ${\displaystyle x\leq y}$ если ${\displaystyle x\mathop {|} y}$. Замкнутые множества - это верхние наборы для этого частичного заказа.

Свойства

Все указанные ниже свойства доказаны в ^[1] или следовать непосредственно из определений.

• Закрытие точки ${\displaystyle x\in X}$ это набор всех кратных ${\displaystyle x}$.
• Учитывая точку ${\displaystyle x\in X}$, есть наименьшая окрестность ${\displaystyle x}$, а именно базовый открытый набор ${\displaystyle S_{x}}$ делителей ${\displaystyle x}$. Таким образом, топология дивизора - это Топология Александрова.
• ${\displaystyle X}$ это Т₀ Космос. Действительно, учитывая два балла ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ с участием ${\displaystyle x<y}$, открытый район ${\displaystyle S_{x}}$ из ${\displaystyle x}$ не содержит ${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle X}$ это не Т₁ Космос, так как ни одна точка не закрыта. Вследствие этого, ${\displaystyle X}$ не является Хаусдорф.
• В изолированные точки из ${\displaystyle X}$ являются простые числа.
• Набор простых чисел плотный в ${\displaystyle X}$. Фактически, каждое плотное открытое множество должно включать каждое простое число, и поэтому ${\displaystyle X}$ это Пространство Бэра.
• ${\displaystyle X}$ является счетный.
• ${\displaystyle X}$ является сверхсвязанный, поскольку замыкания синглтонов ${\displaystyle \{x\}}$ и ${\displaystyle \{y\}}$ содержать продукт ${\displaystyle xy}$ как общий элемент.
• Следовательно ${\displaystyle X}$ это нормальное пространство. Но ${\displaystyle X}$ не является совершенно нормально. Например, синглтоны ${\displaystyle \{6\}}$ и ${\displaystyle \{4\}}$ находятся отдельные наборы (6 не кратно 4 и 4 не кратно 6), но не имеют непересекающихся открытых окрестностей, поскольку их наименьшие соответствующие открытые окрестности пересекаются нетривиально в ${\displaystyle S_{6}\cap S_{4}=S_{2}}$.
• ${\displaystyle X}$ это не обычное пространство, как основной район ${\displaystyle S_{x}}$ конечно, но замыкание точки бесконечно.
• ${\displaystyle X}$ является связанный, локально связанный, путь подключен и локально путь подключен.
• ${\displaystyle X}$ это разбросанное пространство, поскольку каждое непустое подмножество имеет первый элемент, который является изолированным элементом набора.
• В компактные подмножества из ${\displaystyle X}$ - конечные подмножества, поскольку любое множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ покрывается набором всех основных открытых наборов ${\displaystyle S_{n}}$, каждая из которых конечна, и если ${\displaystyle A}$ покрывается только конечным числом из них, оно само должно быть конечным. Особенно, ${\displaystyle X}$ не является компактный.
• ${\displaystyle X}$ является локально компактный в том смысле, что каждая точка имеет компактную окрестность (${\displaystyle S_{x}}$ конечно). Но точки не имеют замкнутых компактных окрестностей (${\displaystyle X}$ не является локально относительно компактный.)

использованная литература

1. Steen & Seebach, пример 57, стр. 79-80

• Стин, Линн Артур; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Переиздание Dover Publications, изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, Г-Н  0507446