Топология Александрова - Alexandrov topology

В топология, Топология Александрова это топология в которой пересечение любой семьи открытые наборы открыт. Аксиома топологии состоит в том, что пересечение любого конечный семейство открытых множеств открыто; в топологиях Александрова конечное ограничение снимается.

Набор вместе с топологией Александрова известен как Александров-дискретное пространство или же конечно порожденное пространство.

Топологии Александрова однозначно определяются своими предварительные заказы специализации. Действительно, при любом Предварительный заказ ≤ на набор Икс, существует уникальная топология Александрова на Икс для которых предзаказ специализации равен ≤. Открытые наборы - это просто верхние наборы относительно ≤. Таким образом, топологии Александрова на Икс находятся в индивидуальная переписка с предзаказами на Икс.

Александров-дискретные пространства также называют конечно порожденные пространства поскольку их топология однозначно определяется по семейство всех конечных подпространств. Таким образом, дискретные пространства Александрова можно рассматривать как обобщение конечные топологические пространства.

Благодаря тому факту, что обратные изображения коммутируют с произвольными объединениями и пересечениями, свойство быть Александров-дискретным пространством сохраняется при частные.

Александров-дискретные пространства названы в честь русского тополога. Павел Александров. Их не следует путать с более геометрическими Александрова пространства введен русским математиком Александр Данилович Александров.

Характеристики топологий Александрова

Топологии Александрова имеют множество характеристик. Позволять Икс = <Икс, Т> быть топологическим пространством. Тогда следующие эквиваленты:

Характеристики открытого и закрытого множества:
- Открытый набор. Произвольное пересечение открытых множеств в Икс открыт.
- Закрытый набор. Произвольное объединение замкнутых множеств в Икс закрыто.
Характеристики окрестностей:
- Самый маленький район. Каждая точка Икс имеет самый маленький район.
- Фильтр соседства. В фильтр соседства каждой точки в Икс замкнуто относительно произвольных пересечений.
Внутренние и закрывающие алгебраические характеристики:
- Внутренний оператор. В оператор интерьера из Икс распределяется по произвольным пересечениям подмножеств.
- Оператор закрытия. В оператор закрытия из Икс распределяет по произвольным объединениям подмножеств.
Предварительный заказ характеристик:
- Предварительный заказ специализации. Т это лучшая топология в соответствии с предварительный заказ специализации из Икс т.е. лучшая топология, дающая Предварительный заказ ≤ удовлетворение Икс ≤ у если и только если Икс находится в закрытии {у} в Икс.
- Открытый набор. Существует предпорядок ≤ такой, что открытые множества Икс именно те, которые вверх закрыт т.е. если Икс есть в комплекте и Икс ≤ у тогда у есть в комплекте. (Этот предварительный заказ будет в точности предварительным заказом на специализацию.)
- Закрытый набор. Существует предпорядок ≤ такой, что замкнутые множества Икс это именно те, которые закрыты вниз, т.е. если Икс есть в комплекте и у ≤ Икс тогда у есть в комплекте. (Этот предварительный заказ будет в точности предварительным заказом на специализацию.)
- Вверх интерьер. Точка Икс лежит внутри подмножества S из Икс если и только если есть точка у в S такой, что у ≤ Икс где ≤ - предварительный заказ специализации, т.е. у заключается в закрытии {Икс}.
- Закрытие вниз. Точка Икс заключается в замыкании подмножества S из Икс если и только если есть точка у в S такой, что Икс ≤ у где ≤ - предварительный заказ специализации, т.е. Икс заключается в закрытии {у}.
Конечная генерация и теоретико-категориальные характеристики:
- Конечное замыкание. Точка Икс лежит в закрытии подмножества S из Икс тогда и только тогда, когда существует конечное подмножество F из S такой, что Икс заключается в закрытии F. (Это конечное подмножество всегда можно выбрать как одноэлементный.)
- Конечное подпространство. Т является последовательный с конечными подпространствами Икс.
- Карта конечного включения. Карты включения ж_я : Икс_я → Икс конечных подпространств Икс сформировать последняя раковина.
- Конечное поколение. Икс конечно порожден, т.е. находится в последний корпус конечных пространств. (Это означает, что есть финальная раковина ж_я : Икс_я → Икс где каждый Икс_я конечное топологическое пространство.)

Топологические пространства, удовлетворяющие приведенным выше эквивалентным характеризациям, называются конечно порожденные пространства или же Александров-дискретные пространства и их топология Т называется Топология Александрова.

Двойственность с предварительно заказанными наборами

Топология Александрова на заранее упорядоченном множестве

Учитывая предзаказанный набор ${ Displaystyle mathbf {X} = langle X, leq rangle}$ мы можем определить топологию Александрова ${ Displaystyle тау}$ на Икс выбрав открытые множества в качестве верхние наборы:

{ Displaystyle тау = {, G substeq X: forall x, y in X (x in G land x leq y) rightarrow y in G , }}

Таким образом, мы получаем топологическое пространство ${ Displaystyle mathbf {T} ( mathbf {X}) = langle X, tau rangle}$ .

Соответствующие замкнутые множества являются нижние наборы:

{ Displaystyle {, S substeq X: forall x, y in X (x in S land y leq x) rightarrow y in S , }}

Предпорядок специализации на топологическом пространстве

Учитывая топологическое пространство Икс = <Икс, Т> в предварительный заказ специализации на Икс определяется:

Икс≤у если и только если Икс находится в закрытии {у}.

Таким образом, мы получаем заранее упорядоченный набор W(Икс) = <Икс, ≤>.

Эквивалентность предпорядков и топологий Александрова

За каждый предварительно заказанный набор Икс = <Икс, ≤> всегда имеем W(Т(Икс)) = Икс, т.е. предварительный заказ Икс восстанавливается из топологического пространства Т(Икс) в качестве предзаказа на специализацию. Александров-дискретное пространство Икс, у нас есть Т(W(Икс)) = Икс, т.е. топология Александрова Икс восстанавливается как топология, индуцированная предпорядком специализации.

Однако для топологического пространства в целом мы делаем нет имеют Т(W(Икс)) = Икс. Скорее Т(W(Икс)) будет набор Икс с более тонкой топологией, чем у Икс (т.е. в нем будет больше открытых наборов).

Эквивалентность монотонности и непрерывности

Учитывая монотонная функция

ж : Икс→Y

между двумя предварительно упорядоченными наборами (т. е. функция

ж : Икс→Y

между базовыми наборами, такими что Икс≤у в Икс подразумевает ж(Икс)≤ж(у) в Y), позволять

Т(ж) : Т(Икс)→Т(Y)

быть такой же картой как ж рассматривается как отображение между соответствующими пространствами Александрова. потом Т(ж) это непрерывная карта.

Наоборот, дано непрерывное отображение

грамм: Икс→Y

между двумя топологическими пространствами, пусть

W(грамм) :W(Икс)→W(Y)

быть такой же картой как ж рассматривается как отображение между соответствующими предварительно упорядоченными наборами. потом W(g) - монотонная функция.

Таким образом, отображение между двумя предварительно упорядоченными множествами является монотонным тогда и только тогда, когда оно является непрерывным отображением между соответствующими Александров-дискретными пространствами. Наоборот, отображение между двумя Александров-дискретными пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда оно является монотонной функцией между соответствующими предварительно упорядоченными множествами.

Обратите внимание, однако, что в случае топологий, отличных от топологии Александрова, мы можем иметь отображение между двумя топологическими пространствами, которое не является непрерывным, но, тем не менее, все еще является монотонной функцией между соответствующими предварительно упорядоченными наборами. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрим не-Александров-дискретное пространство Икс и рассмотрим карта идентичности я : Икс→Т(W(Икс)).)

Теоретико-категориальное описание двойственности

Позволять Набор обозначить категория наборов и карты. Позволять Вершина обозначить категория топологических пространств и непрерывные карты; и разреши Pro обозначают категорию предварительно заказанные наборы и монотонные функции. потом

Т : Pro→Вершина и

W : Вершина→Pro

находятся конкретные функторы над Набор которые левый и правый прилегающие соответственно.

Позволять Alx обозначить полная подкатегория из Вершина состоящий из Александров-дискретных пространств. Тогда ограничения

Т : Pro→Alx и

W : Alx→Pro

обратные конкретные изоморфизмы над Набор.

Alx на самом деле бикоотражающая подкатегория из Вершина с бикоотражателем Т◦W : Вершина→Alx. Это означает, что в топологическом пространстве Икс, карта идентичности

я : Т(W(Икс))→Икс

непрерывно и для всякого непрерывного отображения

ж : Y→Икс

куда Y является Александров-дискретным пространством, композиция

я ⁻¹◦ж : Y→Т(W(Икс))

непрерывно.

Связь с построением модальных алгебр из модальных фреймов

Учитывая предварительно заказанный набор Икс, то оператор интерьера и оператор закрытия из Т(Икс) даются:

Int(S) = { Икс ∈ X: для всех у ∈ X, Икс≤у подразумевает у ∈ S}, и

Cl(S) = { Икс ∈ X: существует у ∈ S с Икс≤у }

для всех S⊆ ИКС.

Считая внутренний оператор и оператор замыкания модальными операторами на набор мощности Булева алгебра из Икс, эта конструкция является частным случаем построения модальная алгебра из модальная рамка т.е. из набора с одним бинарное отношение. (Последняя конструкция сама по себе является частным случаем более общей конструкции комплексная алгебра из реляционная структура т. е. множество с определенными на нем отношениями.) Класс модальных алгебр, который мы получаем в случае предварительно упорядоченного множества, - это класс внутренние алгебры - алгебраические абстракции топологических пространств.

История

Пространства Александрова были впервые введены в 1937 г. Александров П.С. под именем дискретные пространства, где он дал характеристики в терминах множеств и окрестностей.^[1] Название дискретные пространства позже стал использоваться для топологических пространств, в которых каждое подмножество открыто, а исходная концепция была забыта в топологической литературе. С другой стороны, пространства Александрова сыграли важную роль в Oystein Ore новаторские исследования системы закрытия и их отношения с теорией решетки и топологией.^[2]

С развитием категориальная топология в 1980-х годах пространства Александрова были заново открыты, когда концепция конечное поколение был применен к общей топологии и имя конечно порожденные пространства был принят для них. Примерно в то же время были заново открыты пространства Александрова в контексте топологий, возникших в результате денотационная семантика и теория предметной области в Информатика.

В 1966 году Майкл К. МакКорд и А. К. Штайнер независимо друг от друга наблюдали двойственность между частично упорядоченные наборы и пространства, которые были именно Т₀ версии пространств, которые ввел Александров.^[3]^[4] П. Джонстон называл такие топологии Александрова топологии.^[5] Ф. Г. Аренас независимо предложил это название для общей версии этих топологий.^[6] МакКорд также показал, что эти пространства слабый гомотопический эквивалент к комплекс заказов соответствующего частично упорядоченного множества. Штайнер продемонстрировал, что двойственность контравариантный решетка изоморфизм с сохранением произвольные встречи и присоединения а также дополнение.

Это также был хорошо известный результат в области модальная логика что существует двойственность между конечными топологическими пространствами и предпорядками на конечных множествах (конечные модальные рамки для модальной логики S4). А. Гжегорчик заметил, что это распространяется на двойственность между тем, что он называл полностью распределительные пространства и предварительные заказы. К. Натурман заметил, что эти пространства были Александров-дискретными пространствами, и распространил результат на теоретико-категориальную двойственность между категорией Александров-дискретных пространств и (открытых) непрерывных отображений и категорией предпорядков и (ограниченных) монотонных отображений, предоставление предварительных характеристик, а также алгебраический интерьер и замыкание характеристики.^[7]

Систематическое исследование этих пространств с точки зрения общей топологии, которой пренебрегли с тех пор, как оригинальная статья Александрова была занята Ф.Г. Арены.^[6]

Смотрите также

п-Космос, пространство, удовлетворяющее более слабому условию, что счетные пересечения открытых множеств открыты