Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными - Greens function for the three-variable Laplace equation - Wikipedia

В физика, то Функция Грина (или фундаментальное решение ) для уравнения Лапласа от трех переменных используется для описания реакции определенного типа физической системы на точечный источник. В частности, это Функция Грина возникает в системах, которые можно описать Уравнение Пуассона, а уравнение в частных производных (PDE) вида

${\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$

куда ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ это Оператор Лапласа в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ - исходный член системы, и ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ является решением уравнения. Потому что ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ линейный дифференциальный оператор, решение ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ к общей системе этого типа может быть записан в виде интеграла по распределению источника, заданному формулой ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$:

${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '}$

где Функция Грина для уравнения Лапласа от трех переменных ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ описывает реакцию системы в точке ${\displaystyle \mathbf {x} }$ к точечному источнику, расположенному в ${\displaystyle \mathbf {x'} }$:

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

а точечный источник задается ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$, то Дельта-функция Дирака.

Мотивация

Одна физическая система этого типа - распределение заряда в электростатика. В такой системе электрическое поле выражается как отрицательный градиент электрический потенциал, и Закон Гаусса в дифференциальной форме применяется:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}}$

Объединение этих выражений дает

${\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}}$ (Уравнение Пуассона.)

Мы можем найти решение ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ к этому уравнению для произвольного распределения заряда путем временного рассмотрения распределения, созданного точечным зарядом ${\displaystyle q}$ расположен в ${\displaystyle \mathbf {x'} }$:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=q\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

В этом случае,

${\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

что показывает, что ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ за ${\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}$ выдаст реакцию системы на точечный заряд ${\displaystyle q}$. Следовательно, из приведенного выше обсуждения, если мы сможем найти функцию Грина этого оператора, мы сможем найти ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ быть

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '}$

для общего распределения заряда.

Математическая экспозиция

Свободное пространство Функция Грина за Уравнение Лапласа в трех переменных выражается как обратное расстояние между двумя точками и называется "Ядро Ньютона " или же "Ньютоновский потенциал ". То есть решение уравнения

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

является

${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{4\pi }}\cdot {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}},}$

куда ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$ - стандартные декартовы координаты в трехмерном пространстве, а ${\displaystyle \,\!\delta }$ это Дельта-функция Дирака.

В алгебраическое выражение функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными, кроме постоянного члена ${\displaystyle \,\!-1/(4\pi )}$ выражено в Декартовы координаты именуется

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=[(x-x^{\prime })^{2}+(y-y^{\prime })^{2}+(z-z^{\prime })^{2}]^{-{\frac {1}{2}}}.}$

Возможно множество формул разложения, если дано алгебраическое выражение для функции Грина. Один из самых известных из них, Разложение Лапласа для уравнения Лапласа с тремя переменными, дается через производящая функция за Полиномы Лежандра,

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma ),}$

который был записан в сферических координатах ${\displaystyle \,\!(r,\theta ,\varphi )}$. Обозначение «меньше чем» (больше чем) означает, что берется сферический радиус со штрихом или без него, в зависимости от того, какой из них меньше (больше) другого. В ${\displaystyle \,\!\gamma }$ представляет собой угол между двумя произвольными векторами ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ данный

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta ^{\prime }+\sin \theta \sin \theta ^{\prime }\cos(\varphi -\varphi ^{\prime }).}$

Круговая цилиндрическая функция Грина в свободном пространстве (см. Ниже) дается через обратное расстояние между двумя точками. Выражение происходит от Джексона Классическая электродинамика.^[1] Используя функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными, можно проинтегрировать Уравнение Пуассона для определения потенциальной функции. Функции Грина могут быть разложены по базисным элементам (гармоническим функциям), которые определяются с помощью разделимых системы координат для линейное дифференциальное уравнение в частных производных. Для функции Грина существует множество разложений по специальным функциям. В случае, когда граница расположена на бесконечности с граничным условием, устанавливающим решение равным нулю на бесконечности, тогда имеется функция Грина бесконечной степени. Для уравнения Лапласа с тремя переменными можно, например, разложить его во вращательно-инвариантные системы координат, которые позволяют разделение переменных. Например:

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR^{\prime }}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ^{\prime })}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$

куда

${\displaystyle \chi ={\frac {R^{2}+{R^{\prime }}^{2}+(z-z^{\prime })^{2}}{2RR^{\prime }}}}$

и ${\displaystyle \,\!Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$ нечетно-полуцелая степень Функция Лежандра второго рода - тороидальной гармоники. Здесь разложение записано в цилиндрических координатах ${\displaystyle \,\!(R,\varphi ,z)}$. См. Например Тороидальные координаты.

Используя один из Формулы Уиппла для тороидальных гармоник можно получить альтернативный вид функции Грина

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\sqrt {\frac {\pi }{2RR^{\prime }(\chi ^{2}-1)^{1/2}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m+1/2)}}P_{-{\frac {1}{2}}}^{m}{\biggl (}{\frac {\chi }{\sqrt {\chi ^{2}-1}}}{\biggr )}e^{im(\varphi -\varphi ^{\prime })}}$

в терминах тороидальной гармоники первого рода.

Эта формула была использована в 1999 г. для астрофизических приложений в статье, опубликованной в Астрофизический журнал, опубликованный Ховардом Колом и Джоэлом Тоулином.^[2] Вышеупомянутая формула также известна в инженерном сообществе. Например, статья, написанная в Журнал прикладной физики в томе 18, 1947 г., на страницах 562-577 показано Н.Г. Де Брейн и Си Джей Букамп знали об этих отношениях. Фактически, практически вся математика, найденная в недавних статьях, уже была выполнена Честером Сноу. Это можно найти в его книге под названием Гипергеометрические функции и функции Лежандра с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала, Национальное бюро стандартов прикладной математики, серия 19, 1952 г. См. Стр. 228–263. Статья Честера Сноу «Магнитные поля цилиндрических катушек и кольцевых катушек» (Национальное бюро стандартов, Applied Mathematical Series 38, 30 декабря 1953 г.) четко показывает взаимосвязь между функцией Грина в свободном пространстве в цилиндрических координатах и ​​Q -функция выражение. Точно так же посмотрите еще одну работу Сноу, озаглавленную «Формулы для вычисления емкости и индуктивности», Циркуляр 544 Национального бюро стандартов, 10 сентября 1954 г., стр. 13–41. Действительно, в последнее время было опубликовано не так много публикаций по тороидальным функциям и их приложениям в технике или физике. Однако существует ряд инженерных приложений. Опубликована одна заявка; статья написана J.P. Selvaggi, S. Salon, O. Kwon и M.V.K. Чари, «Расчет внешнего магнитного поля от постоянных магнитов в двигателях с постоянными магнитами - альтернативный метод», IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 40, No. 5, September 2004. Эти авторы проделали обширную работу с функциями Лежандра второго рода и полуцелыми степенями или тороидальными функциями нулевого порядка. Они решили множество задач, которые демонстрируют круговую цилиндрическую симметрию, используя тороидальные функции.

Вышеупомянутые выражения для функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными являются примерами выражений единственного суммирования для этой функции Грина. Существуют также одноинтегральные выражения для этой функции Грина. Примеры этого можно увидеть во вращательных цилиндрических координатах как интеграл Преобразование Лапласа в разности вертикальных высот, ядро ​​которой дается через функцию Бесселя первого рода нулевого порядка как

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\biggl (}k{\sqrt {R^{2}+{R^{\prime }}^{2}-2RR^{\prime }\cos(\varphi -\varphi ^{\prime })}}{\biggr )}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,}$

куда ${\displaystyle \,\!z_{>}(z_{<})}$ большие (меньшие) переменные ${\displaystyle \,\!z}$ и ${\displaystyle \,\!z^{\prime }}$Аналогичным образом, функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными может быть задана как интеграл Фурье. косинусное преобразование разности вертикальных высот, ядро ​​которой задается в терминах модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого порядка как

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\biggl (}k{\sqrt {R^{2}+{R^{\prime }}^{2}-2RR^{\prime }\cos(\varphi -\varphi ^{\prime })}}{\biggr )}\cos {k(z-z^{\prime })}\,dk.}$

Вращательно-инвариантные функции Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

Разложения функций Грина существуют во всех вращательно-инвариантных системах координат, которые, как известно, дают решения уравнения Лапласа с тремя переменными с помощью техники разделения переменных.

• цилиндрические координаты
• сферические координаты
• Вытянутые сфероидальные координаты
• Сплюснутые сфероидальные координаты
• Параболические координаты
• Тороидальные координаты
• Бисферические координаты
• Координаты циклида с плоским кольцом
• Координаты циклида плоского диска
• Бициклидные координаты
• Координаты кап-циклида

Смотрите также

• Ньютоновский потенциал
• Разложение Лапласа

Рекомендации

1. Джексона Классическая электродинамика текст 3-е изд. страницы 125–127
2. Астрофизический журнал, 527, 86–101, опубликовано Ховардом Колом и Джоэлом Толайном.