Динамическая система Адамара - Hadamards dynamical system - Wikipedia

В физика и математика, то Динамическая система Адамара (также называемый Бильярд Адамара или Модель Адамара – Гуцвиллера^[1]) это хаотичный динамическая система, тип динамический бильярд. Представлен Жак Адамар в 1898 г.,^[2] и изучен Мартин Гуцвиллер в 80-е годы^[3][4] это первая динамическая система, которая будет доказана хаотичный.

Система учитывает движение свободного (без трения ) частица на Поверхность Больца, т.е. двумерная поверхность рода два (бублик с двумя дырками) и постоянная отрицательная кривизна; это компактный Риманова поверхность. Адамару удалось показать, что траектории каждой частицы удаляются друг от друга: что все траектории имеют положительный Показатель Ляпунова.

Франк Штайнер утверждает, что исследование Адамара следует рассматривать как первое в истории исследование хаотической динамической системы и что Адамара следует рассматривать как первого исследователя хаоса.^[5] Он отмечает, что исследование получило широкое распространение, и рассматривает влияние идей на мышление людей. Альберт Эйнштейн и Эрнст Мах.

Система особенно важна тем, что в 1963 г. Яков Синай, в изучении Бильярд Синая в качестве модели классического ансамбля газа Больцмана – Гиббса, смог показать, что движение атомов в газе следует траекториям в динамической системе Адамара.

Экспозиция

Исследуемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей по поверхности без трения, а именно частицы, имеющей Гамильтониан

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

куда м - масса частицы, ${\displaystyle q^{i}}$, ${\displaystyle i=1,2}$ - координаты на многообразии, ${\displaystyle p_{i}}$ являются сопряженные импульсы:

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

и

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,}$

это метрический тензор на коллекторе. Поскольку это гамильтониан свободных частиц, решение Уравнения движения Гамильтона – Якоби. просто даны геодезические на коллекторе.

Адамару удалось показать, что все геодезические нестабильны, поскольку все они экспоненциально расходятся друг от друга, как ${\displaystyle e^{\lambda t}}$ с положительным Показатель Ляпунова

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}}$

с E энергия траектории, и ${\displaystyle K=-1/R^{2}}$ постоянная отрицательная кривизна поверхности.

Рекомендации

1. Aurich, R .; Зибер, М .; Штайнер, Ф. (1 августа 1988 г.). «Квантовый хаос модели Адамара – Гуцвиллера» (PDF). Письма с физическими проверками. 61 (5): 483–487. Bibcode:1988ПхРвЛ..61..483А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.61.483. PMID  10039347.
2. Адамар, Дж. (1898). "Поверхности противоположные и леопардовые линии". J. Math. Pures Appl. 4: 27–73.
3. Гуцвиллер, М. К. (21 июля 1980 г.). «Классическое квантование гамильтониана с эргодическим поведением». Письма с физическими проверками. 45 (3): 150–153. Bibcode:1980ПхРвЛ..45..150Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.45.150.
4. Гуцвиллер, М.С. (1985). «Геометрия квантового хаоса». Physica Scripta. T9: 184–192. Bibcode:1985ФСТ .... 9..184Г. Дои:10.1088 / 0031-8949 / 1985 / T9 / 030.
5. Штайнер, Франк (1994). «Квантовый хаос». В Ансорге, Р. (ред.). Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahrestag der Universität Hamburg 1994. Берлин: Реймер. С. 542–564. arXiv:chao-dyn / 9402001. Bibcode:1994chao.dyn..2001S. ISBN  978-3-496-02540-5.