Гармонические координаты - Harmonic coordinates

В Риманова геометрия, филиал математика, гармонические координаты определенного рода карта координат на гладкое многообразие, определяемый Риманова метрика на коллекторе. Они полезны во многих задачах геометрический анализ из-за их свойств регулярности.

В двух измерениях определенные гармонические координаты, известные как изотермические координаты изучаются с начала 1800-х годов. Гармонические координаты в более высоких измерениях были первоначально разработаны в контексте Лоренцева геометрия и общая теория относительности к Альберт Эйнштейн и Корнелиус Ланцош (видеть гармоническое координатное условие ).^[1] Следуя за работой Деннис ДеТюрк и Джерри Каздан в 1981 году они начали играть значительную роль в геометрический анализ литературы, хотя Иджад Сабитов и С.З. Шефель сделал то же открытие пятью годами ранее.^[2]

Определение

Позволять $(M, грамм)$ - риманово многообразие размерности $п$ . Говорят, что диаграмма координат $(Икс 1, ..., Икс п)$ , определенный на открытом подмножестве $U$ из $M$ , является гармоническим, если каждая отдельная координатная функция $Икс я$ это гармоническая функция на $U$ .^[3] То есть требуется, чтобы

{ displaystyle Delta ^ {g} x ^ {i} = 0. ,}

куда $∆ грамм$ это Оператор Лапласа – Бельтрами. Тривиально система координат гармонична тогда и только тогда, когда, как отображение $U \to ℝ п$ , координаты равны гармоническая карта. Прямое вычисление с локальным определением оператора Лапласа-Бельтрами показывает, что $(Икс 1, ..., Икс п)$ является гармонической координатной картой тогда и только тогда, когда

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} Gamma _ {ij} ^ {k} = 0 { text {для всех }} k = 1, ldots, n,}

в котором $Γ k ij$ являются Символы Кристоффеля данного графика.^[4] Относительно фиксированной "фоновой" координатной диаграммы $(V, у)$ , можно просмотреть $(Икс 1, ..., Икс п)$ как набор функций $Икс \circ у -1$ на открытом подмножестве евклидова пространства. Метрический тензор относительно $Икс$ получается из метрического тензора относительно $у$ локальным расчетом, связанным с первыми производными от $Икс \circ у -1$ , и, следовательно, символы Кристоффеля относительно $Икс$ вычисляются из вторых производных от $Икс \circ у -1$ . Таким образом, оба определения гармонических координат, приведенные выше, имеют качественный характер, относящиеся к второму порядку. уравнения в частных производных для координатных функций.

Используя определение символов Кристоффеля, приведенная выше формула эквивалентна

{ displaystyle 2 sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} { frac { partial g_ {jk}} { partial x ^ { i}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} { frac { partial g_ {ij}} { partial x ^ {k}}}.}

Существование и основная теория

Гармонические координаты всегда существуют (локально), что легко следует из стандартных результатов о существовании и регулярности решений эллиптические уравнения в частных производных.^[5] В частности, уравнение $∆ грамм ты j = 0$ имеет решение в некотором открытом множестве вокруг любой заданной точки $п$ , так что $ты (п)$ и $ду п$ оба предписаны.

Основная теорема регулярности относительно метрики в гармонических координатах заключается в том, что если компоненты метрики находятся в Пространство Гёльдера $C k, α$ при выражении в некоторой координатной карте, независимо от гладкости самой диаграммы, тогда функция перехода из этой координатной карты в любую гармоническую координатную карту будет в пространстве Гельдера $C k + 1, α$ .^[6] В частности, это означает, что метрика также будет в $C k, α$ относительно гармонических координатных диаграмм.^[7]

Как было впервые обнаружено Корнелиус Ланцош в 1922 г. относительно гармонической координатной карты Кривизна Риччи дан кем-то

{ displaystyle R_ {ij} = - { frac {1} {2}} sum _ {a, b = 1} ^ {n} g ^ {ab} { frac { partial ^ {2} g_ { ij}} { partial x ^ {a} partial x ^ {b}}} + partial g ast partial g ast g ^ {- 1} ast g ^ {- 1}.}

Фундаментальный аспект этой формулы состоит в том, что для любого фиксированного $я$ и $j$ , первое слагаемое в правой части - это эллиптический оператор применяется к локально определенной функции $грамм ij$ . Так что это автоматически из эллиптическая регулярность, и в частности Оценки Шаудера, что если $грамм$ является $C 2$ и $Ric (г)$ является $C k, α$ относительно гармонических координатных карт, то $грамм$ является $C k + 2, α$ относительно того же графика.^[8] В более общем смысле, если $грамм$ является $C k, α$ (с $k$ больше одного) и $Ric (г)$ является $C л, α$ относительно некоторых координатных карт, то функция перехода к гармонической координатной карте будет $C k + 1, α$ , и так $Ric (г)$ будет $C мин (л, k), α$ в гармонических координатных диаграммах. Итак, по предыдущему результату, $грамм$ будет $C мин (л, k) + 2, α$ в гармонических координатных диаграммах.^[9]

В качестве дальнейшего применения формулы Ланцоша следует, что Метрика Эйнштейна является аналитический в гармонических координатах.^[10] В частности, это показывает, что любая метрика Эйнштейна на гладком многообразии автоматически определяет аналитическая структура на многообразии, заданном набором гармонических координатных карт.

В связи с приведенным выше анализом при обсуждении гармонических координат стандартно рассматривать римановы метрики, которые по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемы. Однако с применением более экзотических функциональные пространства, приведенные выше результаты о существовании и регулярности гармонических координат могут быть распространены на параметры, в которых метрика имеет очень слабую регулярность.^[11]

Гармонические координаты в асимптотически плоских пространствах

Гармонические координаты использовались Роберт Бартник понять геометрические свойства асимптотически плоские римановы многообразия.^[12] Предположим, что имеется полное риманово многообразие $(M, грамм)$ , и что существует компактное подмножество $K$ из $M$ вместе с диффеоморфизмом $Φ$ из $M ∖ K$ к $ℝ п ∖ B р (0)$ , так что $Φ * грамм$ , относительно стандартной евклидовой метрики $δ$ на $ℝ п ∖ B р (0)$ , имеет собственные значения, равномерно ограниченные сверху и снизу положительными числами, и такие, что $(Φ * грамм)(Икс)$ сходится в некотором точном смысле к $δ$ в качестве $Икс$ расходится до бесконечности. Такой диффеоморфизм известен как структура на бесконечности или как асимптотически плоские координаты за $(M, грамм)$ .^[13]

Основной результат Бартника состоит в том, что набор асимптотически плоских координат (если он непустой) имеет простую асимптотическую структуру, в которой функция перехода между любыми двумя асимптотически плоскими координатами приближается почти к бесконечности аффинное преобразование.^[14] Это важно для установления того, что ADM Energy асимптотически плоского риманова многообразия является геометрическим инвариантом, не зависящим от выбора асимптотически плоских координат.^[15]

Ключевым инструментом в установлении этого факта является аппроксимация произвольных асимптотически плоских координат для $(M, грамм)$ асимптотически плоскими координатами, которые являются гармоническими. Ключевая техническая работа заключается в создании Теория Фредгольма для оператора Лапласа-Бельтрами, действуя между некоторыми банаховыми пространствами функций на $M$ которые распадаются на бесконечности.^[16] Тогда для любых асимптотически плоских координат $Φ$ , из того, что

{ Displaystyle Delta ^ {g} Phi ^ {k} = - sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} Gamma _ { ij} ^ {k},}

затухающий на бесконечности, из теории Фредгольма следует, что существуют функции $z k$ которые распадаются на бесконечности такие, что $Δ грамм Φ k = Δ грамм z k$ , а значит, $Φ k - z k$ гармоничны. Это обеспечивает желаемые асимптотически плоские гармонические координаты. Тогда основной результат Бартника следует из того факта, что векторное пространство асимптотически убывающих гармонических функций на $M$ имеет размер $п + 1$ , из чего следует, что любые две асимптотически плоские гармонические координаты на $M$ связаны аффинным преобразованием.^[17]

Работа Бартника основана на существовании асимптотически плоских координат. Основываясь на его методах, Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима показал, что уменьшение кривизны по удалению от точки вместе с полиномиальным ростом объема больших геодезических шаров и простое подключение их дополнений, влечет существование асимптотически плоских координат.^[18] Существенным моментом является то, что их геометрические предположения с помощью некоторых из обсуждаемых ниже результатов о радиусе гармоник дают хороший контроль над гармоническими координатами в областях, близких к бесконечности. Используя разделение единства эти гармонические координаты можно соединить вместе, чтобы сформировать единую координатную диаграмму, что является основной целью.^[19]

Гармонический радиус

Основополагающий результат благодаря Майкл Андерсон, это то, что для гладкого риманова многообразия любое положительное число $α$ от 0 до 1 и любое положительное число $Q$ , есть номер $р$ что зависит от $α$ , на $Q$ , на верхней и нижней границах кривизны Риччи, на размерности и на положительной нижней границе радиуса инъективности, так что любой геодезический шар радиуса меньше $р$ - область гармонических координат, относительно которой $C 1, α$ размер $грамм$ и равномерная близость $грамм$ к евклидовой метрике оба контролируются $Q$ .^[20] Это также можно переформулировать в терминах "нормы" точечных римановых многообразий, где $C 1, α$ -норма в масштабе $р$ соответствует оптимальному значению $Q$ для гармонических координат, области определения которых являются геодезическими шарами радиуса $р$ .^[21] Различные авторы находили версии таких оценок «гармонического радиуса» как до, так и после работы Андерсона.^[22] Существенным аспектом доказательства является анализ стандартными методами эллиптические уравнения в частных производных, для формулы Ланцоша для кривизны Риччи в гармонической координатной карте.^[23]

Итак, грубо говоря, использование гармонических координат показывает, что римановы многообразия могут быть покрыты координатными картами, в которых локальные представления римановой метрики контролируются только качественным геометрическим поведением самого риманова многообразия. Следуя идеям, изложенным Джефф Чигер в 1970 году можно было бы рассмотреть последовательности римановых многообразий, которые равномерно геометрически управляются, и, используя координаты, можно было бы собрать «предельное» риманово многообразие.^[24] Из-за природы такой «римановой сходимости» следует, например, что с точностью до диффеоморфизма существует только конечное число гладких многообразий данной размерности, которые допускают римановы метрики с фиксированной границей кривизны и диаметра Риччи, с фиксированным положительным значением нижняя граница радиуса приемистости.^[25]

Такие оценки гармонического радиуса также используются для построения геометрически контролируемых срезающих функций, и, следовательно, разделы единства также. Например, чтобы управлять второй ковариантной производной функции с помощью локально определенной второй частной производной, необходимо управлять первой производной локального представления метрики. Такие конструкции являются основополагающими при изучении основных аспектов Соболевские пространства на некомпактных римановых многообразиях.^[26]

Рекомендации

Сноски

^ Эйнштейн 1916; Ланцош 1922 г..
^ ДеТурк и Каздан 1981; Сабитов и Шефель 1976.
^ Besse 2008, п. 143; Хеби 1999, п. 13; Петерсен 2016, п. 409; Сакаи 1996, п. 313.
^ ДеТюрк и Каздан 1981, Лемма 1.1.
^ Besse 2008, п. 143; Петерсен 2016, Лемма 11.2.5.
^ ДеТюрк и Каздан 1981, Лемма 1.2; Besse 2008, Предложение 5.19.
^ ДеТюрк и Каздан 1981, Теорема 2.1.
^ ДеТюрк и Каздан 1981, Теорема 4.5 (b); Besse 2008, Теорема 5.20b.
^ ДеТюрк и Каздан 1981, Теорема 4.5 (c).
^ ДеТурк и Каздан 1981, Теорема 5.2; Besse 2008, Теорема 5.26.
^ Тейлор 2000, Разделы 3.9 и 3.10.
^ Бартник 1986.
^ Бартник 1986, Определение 2.1; Ли и Паркер 1987, п. 75-76.
^ Бартник 1986, Следствие 3.22; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.5.
^ Бартник 1986, Теорема 4.2; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.6.
^ Бартник 1986, Разделы 1 и 2; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.2.
^ Бартник 1986, п. 678; Ли и Паркер 1987, п. 78.
^ Бандо, Касуэ и Накадзима 1989, Теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).
^ Бандо, Касуэ и Накадзима 1989 С. 324-325.
^ Андерсон 1990, Лемма 2.2; Хеби 1999, Определение 1.1 и теорема 1.2.
^ Петерсен 2016, Разделы 11.3.1 и 11.3.4.
^ Хеби 1999, Теорема 1.2; Петерсен 2016, Теорема 11.4.15; Сакаи 1996, Теорема A6.10.
^ Андерсон 1990, pp. 434-435; Петерсен 2016 С. 427, 429.
^ Андерсон 1990, Лемма 2.1; Петерсен 2016, Теорема 11.3.6 и следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996, п. 313.
^ Андерсон 1990, Теорема 1.1; Петерсен 2016, Следствие 11.4.4; Сакаи 1996, Замечание A6.12.
^ Хеби 1999, Предложение 3.2, предложение 3.3, теорема 3.4, теорема 3.5.

Учебники

Артур Л. Бесс. Многообразия Эйнштейна. Перепечатка издания 1987 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xii + 516 с. ISBN 978-3-540-74120-6, Дои:10.1007/978-3-540-74311-8
Эммануэль Хеби. Нелинейный анализ на многообразиях: пространства Соболева и неравенства. Конспект лекций Куранта по математике, 5. Нью-Йоркский университет, Институт математических наук Куранта, Нью-Йорк; Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1999. x + 309 с. ISBN 0-9658703-4-0, 0-8218-2700-6, Дои:10.1090 / cln / 005
Питер Петерсен. Риманова геометрия. Третье издание. Тексты для выпускников по математике, 171. Springer, Cham, 2016. xviii + 499 pp. ISBN 978-3-319-26652-7, 978-3-319-26654-1, Дои:10.1007/978-3-319-26654-1
Такаши Сакаи. Риманова геометрия. Перевод автора с японского оригинала 1992 г. Переводы математических монографий, 149. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1996. xiv + 358 с. ISBN 0-8218-0284-4, Дои:10.1090 / млн / 149
Майкл Э. Тейлор. Инструменты для PDE. Псевдодифференциальные операторы, парадифференциальные операторы и потенциалы слоев. Математические обзоры и монографии, 81. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2000. x + 257 стр. ISBN 0-8218-2633-6, Дои:10.1090 / Surv / 081

Статьи

Майкл Т. Андерсон. Сходимость и жесткость многообразий относительно оценок кривизны Риччи. Изобретать. Математика. 102 (1990), нет. 2, 429–445. Дои:10.1007 / bf01233434
Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима. О построении координат на бесконечности на многообразиях с быстрым убыванием кривизны и максимальным ростом объема. Изобретать. Математика. 97 (1989), нет. 2, 313–349. Дои:10.1007 / BF01389045
Роберт Бартник. Масса асимптотически плоского многообразия. Comm. Pure Appl. Математика. 39 (1986), нет. 5, 661–693. Дои:10.1002 / cpa.3160390505 , CiteSeer^Икс: 10.1.1.625.6978
Деннис М. ДеТюрк и Джерри Л. Каздан. Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии. Анна. Sci. École Norm. Как дела. (4) 14 (1981), нет. 3, 249–260. Дои:10.24033 / asens.1405
А. Эйнштейн. Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (1916), 688–696. Дои:10.1002 / 3527608958.ch7, Дои:10.1007/978-3-662-57411-9_13 . Английский перевод: Приближенное интегрирование полевых уравнений гравитации. Сборник статей Альберта Эйнштейна. Vol. 6. Берлинские годы: сочинения 1914–1917 гг. Английский перевод избранных текстов Альфреда Энгеля при консультации с Энгельбертом Шукингом. С предисловием Энгеля и Шакинга. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. xii + 449 с. ISBN 0-691-01734-4
Корнель Ланцош. Ein vereinfachendes Koordinatensystem für Einsteinschen Gravitationsgleichungen. Phys. Zeit. 23 (1922) 537–539.
Джон М. Ли и Томас Х. Паркер. Проблема Ямабе. Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.) 17 (1987), нет. 1, 37–91. Дои:10.1090 / s0273-0979-1987-15514-5
I.H. Сабитов, С.З. Шефель. Связь между порядком гладкости поверхности и ее метрики. Сибирск. Мат. Ž. 17 (1976), нет. 4, 916–925. Английский перевод: Сибирская математика. J. 17 (1976), нет. 4, 687–694. Дои:10.1007 / bf00971679

[FOOTNOTEEinstein1916Lanczos1922-1] Эйнштейн 1916; Ланцош 1922 г..

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981SabitovŠefel1976-2] ДеТурк и Каздан 1981; Сабитов и Шефель 1976.

[FOOTNOTEBesse2008143Hebey199913Petersen2016409Sakai1996313-3] Besse 2008, п. 143; Хеби 1999, п. 13; Петерсен 2016, п. 409; Сакаи 1996, п. 313.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Lemma_1.1-4] ДеТюрк и Каздан 1981, Лемма 1.1.

[FOOTNOTEBesse2008143Petersen2016Lemma_11.2.5-5] Besse 2008, п. 143; Петерсен 2016, Лемма 11.2.5.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Lemma_1.2Besse2008Proposition_5.19-6] ДеТюрк и Каздан 1981, Лемма 1.2; Besse 2008, Предложение 5.19.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_2.1-7] ДеТюрк и Каздан 1981, Теорема 2.1.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_4.5(b)Besse2008Theorem_5.20b-8] ДеТюрк и Каздан 1981, Теорема 4.5 (b); Besse 2008, Теорема 5.20b.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_4.5(c)-9] ДеТюрк и Каздан 1981, Теорема 4.5 (c).

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_5.2Besse2008Theorem_5.26-10] ДеТурк и Каздан 1981, Теорема 5.2; Besse 2008, Теорема 5.26.

[FOOTNOTETaylor2000Sections_3.9_&_3.10-11] Тейлор 2000, Разделы 3.9 и 3.10.

[FOOTNOTEBartnik1986-12] Бартник 1986.

[FOOTNOTEBartnik1986Definition_2.1LeeParker198775-76-13] Бартник 1986, Определение 2.1; Ли и Паркер 1987, п. 75-76.

[FOOTNOTEBartnik1986Corollary_3.22LeeParker1987Theorem_9.5-14] Бартник 1986, Следствие 3.22; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.5.

[FOOTNOTEBartnik1986Theorem_4.2LeeParker1987Theorem_9.6-15] Бартник 1986, Теорема 4.2; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.6.

[FOOTNOTEBartnik1986Sections_1_&_2LeeParker1987Theorem_9.2-16] Бартник 1986, Разделы 1 и 2; Ли и Паркер 1987, Теорема 9.2.

[FOOTNOTEBartnik1986678LeeParker198778-17] Бартник 1986, п. 678; Ли и Паркер 1987, п. 78.

[FOOTNOTEBandoKasueNakajima1989Theorem_1.1_&_Remark_1.8(2)-18] Бандо, Касуэ и Накадзима 1989, Теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).

[FOOTNOTEBandoKasueNakajima1989324-325-19] Бандо, Касуэ и Накадзима 1989 С. 324-325.

[FOOTNOTEAnderson1990Lemma_2.2Hebey1999Definition_1.1_&_Theorem_1.2-20] Андерсон 1990, Лемма 2.2; Хеби 1999, Определение 1.1 и теорема 1.2.

[FOOTNOTEPetersen2016Sections_11.3.1_&_11.3.4-21] Петерсен 2016, Разделы 11.3.1 и 11.3.4.

[FOOTNOTEHebey1999Theorem_1.2Petersen2016Theorem_11.4.15Sakai1996Theorem_A6.10-22] Хеби 1999, Теорема 1.2; Петерсен 2016, Теорема 11.4.15; Сакаи 1996, Теорема A6.10.

[FOOTNOTEAnderson1990434-435Petersen2016427,_429-23] Андерсон 1990, pp. 434-435; Петерсен 2016 С. 427, 429.

[FOOTNOTEAnderson1990Lemma_2.1Petersen2016Theorem_11.3.6_and_Corollaries_11.3.7_&_11.3.8Sakai1996313-24] Андерсон 1990, Лемма 2.1; Петерсен 2016, Теорема 11.3.6 и следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996, п. 313.

[FOOTNOTEAnderson1990Theorem_1.1Petersen2016Corollary_11.4.4Sakai1996Remark_A6.12-25] Андерсон 1990, Теорема 1.1; Петерсен 2016, Следствие 11.4.4; Сакаи 1996, Замечание A6.12.

[FOOTNOTEHebey1999Proposition_3.2,_Proposition_3.3,_Theorem_3.4,_Theorem_3.5-26] Хеби 1999, Предложение 3.2, предложение 3.3, теорема 3.4, теорема 3.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]