Теорема Фредгольма - Fredholms theorem - Wikipedia
В математика, Теоремы Фредгольма представляют собой набор знаменитых результатов Ивар Фредхольм в Теория Фредгольма из интегральные уравнения. Есть несколько тесно связанных теорем, которые можно сформулировать в терминах интегральных уравнений, в терминах линейная алгебра, или с точки зрения Фредгольмов оператор на Банаховы пространства.
В Альтернатива Фредгольма является одной из теорем Фредгольма.
Линейная алгебра
Теорема Фредгольма в линейной алгебре такова: если M это матрица, то ортогональное дополнение из пространство строки из M это пустое пространство из M:
Точно так же ортогональное дополнение к пространству столбцов M - нулевое пространство сопряженного:
Интегральные уравнения
Теорема Фредгольма для интегральных уравнений выражается следующим образом. Позволять быть интегральное ядро, и рассмотрим однородные уравнения
и его сложный прилегающий
Здесь, обозначает комплексно сопряженный из комплексное число , и аналогично для . Тогда теорема Фредгольма состоит в том, что для любого фиксированного значения , эти уравнения имеют либо тривиальное решение или иметь такое же количество линейно независимый решения , .
Достаточным условием справедливости этой теоремы является наличие быть квадратично интегрируемый на прямоугольнике (куда а и / или б может быть минус или плюс бесконечность).
Здесь интеграл выражается как одномерный интеграл на прямой числовой прямой. В Теория Фредгольма, этот результат обобщается на интегральные операторы на многомерных пространствах, включая, например, Римановы многообразия.
Существование решений
Одна из теорем Фредгольма, тесно связанная с Альтернатива Фредгольма, касается существования решений неоднородной Уравнение фредгольма
Решения этого уравнения существуют тогда и только тогда, когда функция является ортогональный к комплексу решений соответствующего однородного сопряженного уравнения:
куда является комплексным сопряжением а первый - одно из полного набора решений
Достаточным условием справедливости этой теоремы является наличие быть квадратично интегрируемый на прямоугольнике .
Рекомендации
- Э. Фредхольм, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) стр. 365–390.
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма». MathWorld.
- Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], «Теоремы Фредгольма», Энциклопедия математики, EMS Press