Гармоническая мера - Harmonic measure

В математика, особенно теория потенциала, гармоническая мера это концепция, связанная с теорией гармонические функции возникает из решения классической Задача Дирихле.

Гармоническая мера - это выходное распределение броуновского движения.

В теория вероятности, гармоническая мера подмножества границы ограниченной области в Евклидово пространство ${displaystyle R^{n}}$, ${displaystyle ngeq 2}$ вероятность того, что Броуновское движение начатый внутри домена попадает в это подмножество границы. В более общем смысле, гармоническая мера It распространение Икс описывает распределение Икс как он попадает в границу D. в комплексная плоскость, гармоническая мера может быть использована для оценки модуль из аналитическая функция внутри домена D даны оценки модуля на граница домена; частным случаем этого принципа является Теорема Адамара о трех кругах. На односвязных плоских областях существует тесная связь между гармонической мерой и теорией конформные карты.

Период, термин гармоническая мера был представлен Рольф Неванлинна в 1928 г. для плоских областей,^[1][2] хотя Неванлинна отмечает, что эта идея косвенно появилась в более ранних работах Йоханссона, Ф. Рисса, М. Рисса, Карлемана, Островски и Джулии (цитируется исходный порядок). Связь между гармонической мерой и броуновским движением впервые была выявлена ​​Какутани десятью годами позже, в 1944 году.^[3]

Определение

Позволять D быть ограниченный, открытый домен в п-размерный Евклидово пространство р^п, п ≥ 2, и пусть ∂D обозначим границу D. Любой непрерывная функция ж : ∂D → р определяет уникальный гармоническая функция ЧАС_ж это решает Задача Дирихле

${displaystyle {egin{cases}-Delta H_{f}(x)=0,&xin D;H_{f}(x)=f(x),&xin partial D.end{cases}}}$

Если точка Икс ∈ D фиксируется Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани и принцип максимума ЧАС_ж(Икс) определяет вероятностная мера ω(Икс, D) на ∂D к

${displaystyle H_{f}(x)=int _{partial D}f(y),mathrm {d} omega (x,D)(y).}$

Мера ω(Икс, D) называется гармоническая мера (домена D с шестом на Икс).

Характеристики

• Для любого борелевского подмножества E из ∂D, гармоническая мера ω(Икс, D)(E) равно значению при Икс решения задачи Дирихле с граничными данными, равными индикаторная функция из E.
• Для фиксированных D и E ⊆ ∂D, ω(Икс, D)(E) является гармонической функцией Икс ∈ D и

${displaystyle 0leq omega (x,D)(E)leq 1;}$

${displaystyle 1-omega (x,D)(E)=omega (x,D)(partial Dsetminus E);}$

Следовательно, для каждого Икс и D, ω(Икс, D) это вероятностная мера на ∂D.

• Если ω(Икс, D)(E) = 0 даже в одной точке Икс из D, тогда ${displaystyle ymapsto omega (y,D)(E)}$ тождественно нулю, и в этом случае E называется набором гармоническая мера ноль. Это следствие Неравенство Гарнака.

Поскольку явные формулы для гармонической меры обычно недоступны, мы заинтересованы в определении условий, которые гарантируют, что набор имеет нулевую гармоническую меру.

• Теорема Ф. и М. Рисса:^[4] Если ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{2}}$ является односвязной плоской областью, ограниченной выпрямляемая кривая (т.е. если ${displaystyle H^{1}(partial D)<infty }$), то гармоническая мера взаимно абсолютно непрерывна относительно длины дуги: для всех ${displaystyle Esubset partial D}$, ${displaystyle omega (X,D)(E)=0}$ если и только если ${displaystyle H^{1}(E)=0}$.
• Теорема Макарова:^[5] Позволять ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{2}}$ - односвязная плоская область. Если ${displaystyle Esubset partial D}$ и ${displaystyle H^{s}(E)=0}$ для некоторых ${displaystyle s<1}$, тогда ${displaystyle omega (x,D)(E)=0}$. Кроме того, гармоническая мера на D является взаимно единичный относительно т-мерная мера Хаусдорфа для всехт > 1.

• Теорема Дальберга:^[6] Если ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{n}}$ ограниченный Липшицевский домен, то гармоническая мера и (п - 1) -мерные меры Хаусдорфа взаимно абсолютно непрерывны: для всех ${displaystyle Esubset partial D}$, ${displaystyle omega (X,D)(E)=0}$ если и только если ${displaystyle H^{n-1}(E)=0}$.

Примеры

• Если ${displaystyle mathbb {D} ={Xin mathbb {R} ^{2}:|X|<1}}$ - единичный круг, то гармоническая мера ${displaystyle mathbb {D} }$ с полюсом в начале координат - это мера длины на единичной окружности, нормированная на вероятность, т.е. ${displaystyle omega (0,mathbb {D} )(E)=|E|/2pi }$ для всех ${displaystyle Esubset S^{1}}$ куда ${displaystyle |E|}$ обозначает длину ${displaystyle E}$.
• Если ${displaystyle mathbb {D} }$ - единичный диск и ${displaystyle Xin mathbb {D} }$, тогда ${displaystyle omega (X,mathbb {D} )(E)=int _{E}{frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{2}}}{frac {dH^{1}(Q)}{2pi }}}$ для всех ${displaystyle Esubset S^{1}}$ куда ${displaystyle H^{1}}$ обозначает меру длины на единичной окружности. В Производная Радона – Никодима ${displaystyle domega (X,mathbb {D} )/dH^{1}}$ называется Ядро Пуассона.
• В более общем смысле, если ${displaystyle ngeq 2}$ и ${displaystyle mathbb {B} ^{n}={Xin mathbb {R} ^{n}:|X|<1}}$ это п-мерный единичный шар, затем гармоническая мера с полюсом в ${displaystyle Xin mathbb {B} ^{n}}$ является ${displaystyle omega (X,mathbb {B} ^{n})(E)=int _{E}{frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{n}}}{frac {dH^{n-1}(Q)}{sigma _{n-1}}}}$ для всех ${displaystyle Esubset S^{n-1}}$ куда ${displaystyle H^{n-1}}$ обозначает поверхностную меру ((п - 1) -мерный Мера Хаусдорфа ) на единичной сфере ${displaystyle S^{n-1}}$ и ${displaystyle H^{n-1}(S^{n-1})=sigma _{n-1}}$.
• 

  Гармоническая мера на просто связанных плоских областях
  Если ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{2}}$ является односвязной плоской областью, ограниченной Кривая Иордании и Икс${displaystyle in }$D, тогда ${displaystyle omega (X,D)(E)=|f^{-1}(E)|/2pi }$ для всех ${displaystyle Esubset partial D}$ куда ${displaystyle f:mathbb {D} ightarrow D}$ уникальный Карта Римана который отправляет происхождение в Икс, т.е. ${displaystyle f(0)=X}$. Видеть Теорема Каратеодори.
• Если ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{2}}$ область, ограниченная Коха снежинка, то существует подмножество ${displaystyle Esubset partial D}$ снежинки Коха такой, что ${displaystyle E}$ имеет нулевую длину (${displaystyle H^{1}(E)=0}$) и полная гармоническая мера ${displaystyle omega (X,D)(E)=1}$.

Гармоническая мера диффузии

Рассмотрим р^п-значное распространение Itō Икс начиная с некоторого момента Икс в интерьере домена D, с законом п^Икс. Предположим, что вы хотите знать распределение точек, в которых Икс выходы D. Например, каноническое броуновское движение B на реальная линия начиная с 0 выходит из интервал (−1, +1) при −1 с вероятностью ½ и при +1 с вероятностью ½, поэтому B_{τ(−1, +1)} является равномерно распределены на множестве {−1, +1}.

В общем, если грамм является компактно встроенный в р^п, то гармоническая мера (или же распределение попаданий) из Икс на границе ∂грамм из грамм это мера μ_грамм^Икс определяется

${displaystyle mu _{G}^{x}(F)=mathbf {P} ^{x}{ig [}X_{ au _{G}}in F{ig ]}}$

за Икс ∈ грамм и F ⊆ ∂грамм.

Возвращаясь к предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B это броуновское движение в р^п начинается с Икс ∈ р^п и D ⊂ р^п является открытый мяч сосредоточен на Икс, то гармоническая мера B на ∂D является инвариантный под всеми вращения из D о Икс и совпадает с нормированной измерение поверхности на ∂D

Общие ссылки

• Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005). Гармоническая мера. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.2277/0521470188. ISBN  978-0-521-47018-6.

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. МИСТЕР2001996 (См. Разделы 7, 8 и 9)

• Капогна, Лука; Кениг, Карлос Э .; Ланзани, Лоредана (2005). Гармоническая мера: геометрическая и аналитическая точки зрения. Серия университетских лекций. ULECT / 35. Американское математическое общество. п. 155. ISBN  978-0-8218-2728-4.

Рекомендации

1. Р. Неванлинна (1970), «Аналитические функции», Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, ср. Введение стр. 3
2. Р. Неванлинна (1934), «Гармоничная масса из Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie», Comptes rendus du huitème congrès des mathématiciens scandinaves, Стокгольм, стр. 116–133.
3. Какутани, С. (1944). "О броуновском движении в п-Космос". Proc. Imp. Акад. Токио. 20 (9): 648–652. Дои:10.3792 / pia / 1195572742.
4. Ф. и М. Рисс (1916), «Убер ди Рандверте анализируемых функций», Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Стокгольм, стр. 27–44.
5. Макаров, Н. Г. (1985). «Об искажении граничных множеств при конформных отображениях». Proc. Лондонская математика. Soc. 3. 52 (2): 369–384. Дои:10.1112 / плмс / с3-51.2.369.
6. Дальберг, Бьорн Э. Дж. (1977). «Оценки гармонической меры». Arch. Крыса. Мех. Анальный. 65 (3): 275–288. Bibcode:1977ArRMA..65..275D. Дои:10.1007 / BF00280445.

• П. Джонс и Т. Вольф, Хаусдорфова размерность гармонической меры на плоскости, Acta. Математика. 161 (1988) 131-144 (MR962097) (90j: 31001)
• К. Кениг, Т. Торо, Регулярность свободных границ для гармонических мер и ядер Пуассона, Ann. математики. 150 (1999) 369-454MR 172669992001d: 31004)
• К.Кениг, Д.Прейссанд Торо, Граничная структура и размер в терминах измерений внутренней и внешней гармоники в более высоких измерениях, Jour. офАмер. Математика. Soc.vol22 июля 2009 г., №3,771-796
• С.Г. Кранц, Теория и практика конформной геометрии, Dover Publ. Minéola New York (2016), особенно. Классический корпус ch6

внешняя ссылка

• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Гармоническая мера», Энциклопедия математики, EMS Press