Точка Хегнера - Heegner point

В математика, а Точка Хегнера это точка на модульная кривая то есть изображение квадратичной мнимой точки верхняя полуплоскость. Они были определены Брайан Берч и назван в честь Курт Хегнер, который использовал похожие идеи, чтобы доказать Гипотеза Гаусса на воображаемом квадратичные поля класса номер один.

Теорема Гросса – Загьера

В Теорема Гросса – Загьера (Гросс и Загье 1986 ) описывает высота точек Хегнера через производную от L-функция эллиптической кривой в точке s = 1. В частности, если эллиптическая кривая имеет (аналитический) ранг 1, то точки Хегнера можно использовать для построения рациональной точки на кривой бесконечного порядка (так что Группа Морделла – Вейля имеет ранг не ниже 1). В более общем смысле, Гросс, Конен и Загир (1987) показал, что точки Хегнера можно использовать для построения рациональные точки на кривой для каждого положительного целого числа п, а высоты этих точек были коэффициентами модульной формы веса 3/2. Шоу-Ву Чжан обобщил теорему Гросса – Загьера с эллиптических кривых на случай модулярных абелевы разновидности (Чжан2001, 2004, Юань, Чжан и Чжан  2009 ).

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Колывагин позже использовал точки Хегнера для построения Системы Эйлера, и использовал это, чтобы доказать большую часть Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера для эллиптических кривых ранга 1. Браун доказал Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера для большинства эллиптических кривых ранга 1 над глобальными полями положительной характеристики (Коричневый 1994 ).

Вычисление

Точки Хегнера можно использовать для вычисления очень больших рациональных точек на эллиптических кривых ранга 1 (см.Уоткинс 2006 ) для опроса), которые не удалось найти наивными методами. Реализация алгоритма доступна в Магма, PARI / GP, и мудрец.

Рекомендации