Вписанная квадратная задача - Inscribed square problem

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Каждый Кривая Иордании есть вписанный квадрат?
(больше нерешенных задач по математике)
Пример: черная пунктирная кривая проходит через все углы нескольких синих квадратов.

В вписанная квадратная задача, также известный как проблема с квадратным колышком или Гипотеза Теплица, это нерешенный вопрос в геометрия: Каждый плоская простая замкнутая кривая содержат все четыре вершины некоторого квадрат ? Это верно, если кривая выпуклый или кусочно гладкий и в других особых случаях. Проблема была предложена Отто Теплиц в 1911 г.[1] Некоторые первые положительные результаты были получены Арнольд Эмч[2] и Лев Шнирельманн.[3] По состоянию на 2020 год, общий случай остается открытым.[4]

Постановка задачи

Позволять C быть Кривая Иордании. А многоугольник п является вписанный в C если все вершины п принадлежать C. В вписанная квадратная задача спрашивает:

Любая ли жорданова кривая допускает вписанный квадрат?

это нет требовалось, чтобы вершины квадрата располагались вдоль кривой в любом определенном порядке.

Примеры

Некоторые цифры, такие как круги и квадраты, допустить бесконечно много вписанный квадраты. Если C является тупой треугольник тогда он допускает ровно один вписанный квадрат; прямоугольные треугольники допускают ровно два, а острые треугольники допускают ровно три.[5]

Решенные дела

Заманчиво попытаться решить проблему вписанного квадрата, доказав, что специальный класс кривых с хорошим поведением всегда содержит вписанный квадрат, а затем аппроксимировать произвольную кривую последовательностью кривых с хорошим поведением и сделать вывод, что все еще существует вписанный квадрат как предел квадратов, вписанных в кривые последовательности. Одна из причин, по которой этот аргумент не был доведен до конца, состоит в том, что предел последовательности квадратов может быть одной точкой, а не квадратом. Тем не менее, сейчас известно, что во многих частных случаях кривых вписан квадрат.[6]

Кусочно-аналитические кривые

Арнольд Эмч  (1916 ) показало, что кусочно аналитические кривые всегда есть вписанные квадраты. В частности, это верно для полигоны. Доказательство Эмча рассматривает кривые, очерченные средние точки из секущий отрезки линии к кривой, параллельной заданной линии. Он показывает, что, когда эти кривые пересекаются с кривыми, созданными таким же образом для перпендикулярного семейства секущих, имеется нечетное количество пересечений. Следовательно, всегда существует хотя бы один перекресток, образующий центр ромб вписанный в данную кривую. Непрерывно вращая две перпендикулярные линии через прямой угол, и применяя теорема о промежуточном значении, он показывает, что хотя бы один из этих ромбов является квадратом.[6]

Локально монотонные кривые

Стромквист доказал, что каждый локальный монотонный плоская простая кривая допускает вписанный квадрат.[7] Условием приема является то, что для любой точки п, Кривая C должен быть локально представлен в виде графика функции у=ж(Икс).

Точнее говоря, для любой данной точки п на C, есть район U(п) и фиксированное направление п(п) (направление «у-axis ») такие, что нет аккорд из C -в этой окрестности- параллельно п(п).

Локально монотонные кривые включают все типы полигоны, все закрыто выпуклый кривые, и все кусочно C1 кривые без каких-либо куспиды.

Кривые без специальных трапеций

Еще более слабым условием на кривую, чем локальная монотонность, является то, что при некотором ε> 0 кривая не имеет вписанных специальных трапеций размера ε. Специальная трапеция - это равнобедренная трапеция с тремя равными сторонами, каждая длиннее четвертой стороны, вписанных в кривую с порядком вершин, соответствующим порядку самой кривой по часовой стрелке. Его размер - это длина части кривой, которая проходит вокруг трех равных сторон. Если таких трапеций нет (или их четное число), ограничивающий аргумент для общих кривых можно довести до конца, показывая, что кривые с этим свойством всегда имеют вписанный квадрат.[6]

Кривые в кольцах

Если жорданова кривая вписана в кольцо внешний радиус которого не более 1 + √2 умноженный на его внутренний радиус, и он нарисован таким образом, что он отделяет внутренний круг кольца от внешнего круга, тогда он содержит вписанный квадрат. В этом случае, если данная кривая аппроксимируется некоторой кривой с хорошим поведением, то любые большие квадраты, содержащие центр кольца и вписанные в аппроксимацию, топологически отделены от вписанных меньших квадратов, не содержащих центра. Предел последовательности больших квадратов снова должен быть большим квадратом, а не вырожденной точкой, поэтому можно использовать предельный аргумент.[6]

Симметричные кривые

Утвердительный ответ известен также для центрально-симметричных кривых, даже фракталы такой как Коха снежинка, и кривые с отражающей симметрией поперек линии.[8]

Графы Липшица

В 2017 г. Теренс Тао опубликовал доказательство существования квадрата в кривых, образованных объединением графики двух функций, оба из которых имеют одинаковое значение на концах кривых и оба подчиняются Липшицева преемственность условие с постоянной Липшица меньше единицы. Дао также сформулировал несколько связанных предположений.[9]

Варианты и обобщения

Можно спросить, можно ли вписать другие формы в произвольную жорданову кривую. Известно, что для любого треугольника Т и кривая Жордана C, есть треугольник, похожий на Т и вписан в C.[10][11] Более того, множество вершин таких треугольников равно плотный в C.[12] В частности, всегда есть вписанный равносторонний треугольник.

Также известно, что любая жорданова кривая допускает вписанную прямоугольник. В 2020 году Моралес и Вильянуэва охарактеризовали локально связанные плоские континуумы, которые допускают по крайней мере один вписанный прямоугольник.[13] В 2020 году Джошуа Эван Грин и Эндрю Лобб доказали, что для каждой гладкой кривой Джордана C и прямоугольник р в евклидовой плоскости существует прямоугольник, подобный р чьи вершины лежат на C. Это обобщает как существование прямоугольников (произвольной формы), так и существование квадратов на гладких кривых, что было известно со времен работ Шнирельман (1944).[4][14]

Некоторые обобщения задачи о вписанных квадратах рассматривают вписанные многоугольники для кривых и даже более общие континуум в высшем измерении Евклидовы пространства. Например, Стромквист доказал, что всякая непрерывная замкнутая кривая C в рп удовлетворяющее "Условию А", что никакие две аккорды C в подходящей окрестности любой точки перпендикуляра допускает вписанный четырехугольник с равными сторонами и равными диагоналями.[7] Этот класс кривых включает все C2 кривые. Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум K в рп содержит много вписанных прямоугольников.[8] H.W. Гуггенхаймер доказал, что каждая гиперповерхность C3-диффеоморфный к сфера Sп−1 содержит 2п вершины правильного евклидова п-куб.[15]

Рекомендации

  1. ^ Теплиц, О. (1911), "Über einige Aufgaben der Analysis situs", Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (на немецком), 94: 197
  2. ^ Эмч, Арнольд (1916), «О некоторых свойствах медиан замкнутых непрерывных кривых, образованных аналитическими дугами», Американский журнал математики, 38 (1): 6–18, Дои:10.2307/2370541, JSTOR  2370541, МИСТЕР  1506274
  3. ^ Шнирельман, Л.Г. (1944), «О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых», Академия Наук СССР и Московское математическое общество. Успехи математических наук., 10: 34–44, МИСТЕР  0012531
  4. ^ а б Хартнетт, Кевин (25 июня 2020 г.), «Новая геометрическая перспектива решает старую проблему прямоугольников», Журнал Quanta, получено 2020-06-26
  5. ^ Бейли, Герберт; ДеТемпл, Дуэйн (1998), «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Математический журнал, 71 (4): 278–284, Дои:10.2307/2690699, JSTOR  2690699
  6. ^ а б c d Матчке, Бенджамин (2014), "Обзор проблемы квадратного колышка", Уведомления Американского математического общества, 61 (4): 346–352, Дои:10.1090 / noti1100
  7. ^ а б Стромквист, Уолтер (1989), "Вписанные квадраты и квадратные четырехугольники в замкнутых кривых", Математика, 36 (2): 187–197, Дои:10.1112 / S0025579300013061, МИСТЕР  1045781
  8. ^ а б Nielsen, Mark J .; Райт, С. Э. (1995), "Прямоугольники, вписанные в симметричные континуумы", Geometriae Dedicata, 56 (3): 285–297, Дои:10.1007 / BF01263570, МИСТЕР  1340790
  9. ^ Тао, Теренс (2017), «Интеграционный подход к проблеме квадратного колышка Теплица», Форум математики, 5: e30, Дои:10.1017 / fms.2017.23, МИСТЕР  3731730; смотрите также Сообщение в блоге Тао о тех же результатах
  10. ^ Мейерсон, Марк Д. (1980), "Равносторонние треугольники и непрерывные кривые", Fundamenta Mathematicae, 110 (1): 1–9, Дои:10.4064 / FM-110-1-1-9, МИСТЕР  0600575
  11. ^ Kronheimer, E.H .; Кронхеймер, П. Б. (1981), "Проблема тройничка", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 24 (1): 182–192, Дои:10.1112 / jlms / s2-24.1.182, МИСТЕР  0623685
  12. ^ Нильсен, Марк Дж. (1992), «Треугольники, вписанные в простые замкнутые кривые», Geometriae Dedicata, 43 (3): 291–297, Дои:10.1007 / BF00151519, МИСТЕР  1181760
  13. ^ Моралес-Фуэнтес, Улисс; Вильянуэва-Сеговия, Кристина (2021 г.), «Прямоугольники, вписанные в локально соединенную плоскость Continua», Топология Труды, 58: 37–43
  14. ^ Грин, Джошуа Эван; Лобб, Андрей (18.05.2020), Задача о прямоугольном колышке, arXiv:2005.09193
  15. ^ Гуггенхаймер, Х. (1965), "Конечные множества на кривых и поверхностях", Израильский математический журнал, 3 (2): 104–112, Дои:10.1007 / BF02760036, МИСТЕР  0188898

дальнейшее чтение

  • Клее, Виктор; Вагон, Стан (1991), «Написанные квадраты», Старые и новые нерешенные проблемы геометрии плоскости и теории чисел, Математические экспозиции Дольчиани, 11, Cambridge University Press, стр. 58–65, 137–144, ISBN  978-0-88385-315-3

внешняя ссылка