Интегральный линейный оператор - Integral linear operator

An интегральная билинейная форма это билинейный функционал который принадлежит непрерывному двойственному пространству ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$, то инъективное тензорное произведение локально выпуклой топологические векторные пространства (ТВС) Икс и Y. An интегральный линейный оператор - непрерывный линейный оператор, каноническим образом возникающий из целочисленной билинейной формы.

Эти карты играют важную роль в теории ядерные пространства и ядерные карты.

Определение - Интегральные формы как двойственные инъективному тензорному произведению

Смотрите также: Инъективное тензорное произведение и Проективное тензорное произведение

Позволять Икс и Y - локально выпуклые ТВП, пусть ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ обозначить проективное тензорное произведение, ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ обозначим его завершение, пусть ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ обозначить инъективное тензорное произведение, и ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ обозначают его завершение. Предположим, что ${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ обозначает TVS-вложение ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ в его завершение и пусть ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$ быть его транспонировать, который является изоморфизмом векторных пространств. Это идентифицирует непрерывное двойственное пространство ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ как тождественное непрерывному двойственному пространству ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$.

Позволять ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$ обозначим тождественное отображение и ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$ обозначить его транспонировать, который представляет собой непрерывный впрыск. Напомним, что ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ канонически отождествляется с ${\displaystyle B(X,Y)}$, пространство непрерывных билинейных отображений на ${\displaystyle X\times Y}$. Таким образом, непрерывное двойственное пространство ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ можно канонически идентифицировать как векторное подпространство ${\displaystyle B(X,Y)}$, обозначаемый ${\displaystyle J(X,Y)}$. Элементы ${\displaystyle J(X,Y)}$ называются интегральные (билинейные) формы на ${\displaystyle X\times Y}$. Следующая теорема оправдывает слово интеграл.

Теорема^[1][2] — Двойной J(Икс, Y) из ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ состоит именно из тех непрерывных билинейных форм c на ${\displaystyle X\times Y}$ которые можно представить в виде карты

${\displaystyle b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$

куда S и Т - некоторые замкнутые равностепенные подмножества ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ и ${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime }}$соответственно и ${\displaystyle \mu }$ положительный Радоновая мера на компакте ${\displaystyle S\times T}$ с общей массой ${\displaystyle \leq 1.}$ Кроме того, если А является равностепенно непрерывным подмножеством J(Икс, Y) тогда элементы ${\displaystyle v\in A}$ может быть представлен ${\displaystyle S\times T}$ фиксированный и ${\displaystyle \mu }$ пробегает ограниченное по норме подмножество пространства Радоновые меры на ${\displaystyle S\times T.}$

Интегральные линейные карты

Непрерывная линейная карта ${\displaystyle \kappa :X\to Y^{\prime }}$ называется интеграл если связанная с ним билинейная форма является целочисленной билинейной формой, где эта форма определяется формулой ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}$.^[3] Отсюда следует, что интегральное отображение ${\displaystyle \kappa :X\to Y^{\prime }}$ имеет вид:^[3]

${\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle y^{\prime }\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$

для подходящих слабо замкнутых и равностепенно непрерывных подмножеств S и Т из ${\displaystyle X^{\prime }}$ и ${\displaystyle Y^{\prime }}$соответственно, и некоторая положительная мера Радона ${\displaystyle \mu }$ общей массы ≤ 1. Приведенный выше интеграл представляет собой слабый интеграл, поэтому равенство выполняется тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$.

Учитывая линейную карту ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$, можно определить каноническую билинейную форму ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right)}$, называется ассоциированная билинейная форма на ${\displaystyle X\times Y^{\prime }}$, к ${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)\left(x\right)}$. Непрерывная карта ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ называется интеграл если связанная с ним билинейная форма является целой билинейной формой.^[4] Интегральная карта ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ имеет форму для каждого ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime }}$:

${\displaystyle \left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)}$

для подходящих слабо замкнутых и равностепенно непрерывных подмножеств ${\displaystyle A^{\prime }}$ и ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ из ${\displaystyle X^{\prime }}$ и ${\displaystyle Y^{\prime \prime }}$соответственно, и некоторая положительная мера Радона ${\displaystyle \mu }$ общей массы ${\displaystyle \leq 1}$.

Связь с гильбертовыми пространствами

Следующий результат показывает, что интегральные отображения «пропускают» гильбертовы пространства.

Предложение:^[5] Предположим, что ${\displaystyle u:X\to Y}$ интегральное отображение между локально выпуклыми ТВП с Y Хаусдорф и полный. Существует гильбертово пространство ЧАС и два непрерывных линейных отображения ${\displaystyle \alpha :X\to H}$ и ${\displaystyle \beta :H\to Y}$ такой, что ${\displaystyle u=\beta \circ \alpha }$.

Кроме того, каждый интегральный оператор между двумя Гильбертовы пространства является ядерный.^[5] Таким образом, непрерывный линейный оператор между двумя Гильбертовы пространства является ядерный тогда и только тогда, когда оно цельное.

Достаточные условия

Каждый ядерная карта является цельным.^[4] Важным частичным обратным является то, что каждый интегральный оператор между двумя Гильбертовы пространства является ядерный.^[5]

Предположим, что А, B, C, и D являются хаусдорфовыми локально выпуклыми ТВП и что ${\displaystyle \alpha :A\to B}$, ${\displaystyle \beta :B\to C}$, и ${\displaystyle \gamma :C\to D}$ все являются непрерывными линейными операторами. Если ${\displaystyle \beta :B\to C}$ является интегральным оператором, то композиция ${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$.^[5]

Если ${\displaystyle u:X\to Y}$ является непрерывным линейным оператором между двумя нормированными пространствами, то ${\displaystyle u:X\to Y}$ является целым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ является цельным.^[6]

Предположим, что ${\displaystyle u:X\to Y}$ является непрерывным линейным отображением между локально выпуклыми ТВП. Если ${\displaystyle u:X\to Y}$ является целым, то его транспонировать ${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$.^[4] Теперь предположим, что транспонирование ${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$ непрерывного линейного отображения ${\displaystyle u:X\to Y}$ является цельным. потом ${\displaystyle u:X\to Y}$ является целым, если канонические инъекции ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:X\to X^{\prime \prime }}$ (определяется ${\displaystyle x\mapsto }$ стоимость в Икс) и ${\displaystyle \operatorname {In} _{Y}:Y\to Y^{\prime \prime }}$ находятся TVS-вложения (что происходит, например, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y_{b}^{\prime }}$ ствольные или метризуемые).^[4]

Характеристики

Предположим, что А, B, C, и D хаусдорфовы локально выпуклые ТВП с B и D полный. Если ${\displaystyle \alpha :A\to B}$, ${\displaystyle \beta :B\to C}$, и ${\displaystyle \gamma :C\to D}$ все целочисленные линейные отображения, то их композиция ${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$ является ядерный.^[5] Так, в частности, если Икс является бесконечномерным Fréchet space то непрерывная линейная сюръекция ${\displaystyle u:X\to X}$ не может быть интегральным оператором.

Смотрите также

• Вспомогательные нормированные пространства
• Окончательная топология
• Инъективное тензорное произведение
• Ядерные операторы
• Ядерные пространства
• Проективное тензорное произведение
• Топологическое тензорное произведение

Рекомендации

1. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 168.
2. Трев 2006 С. 500-502.
3. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 169.
4. Трев 2006, стр. 502-505.
5. Трев 2006, стр. 506-508.
6. Трев 2006, с. 505.

Библиография

• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика. 16. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  9781470424831. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше.. Конспект лекций по математике. 720. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09504-0. OCLC  5126156.
• Гротендик, Александр (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные продукты и ядерные пространства]. Мемуары из серии Американского математического общества (На французском). Провиденс: Американское математическое общество. 16. ISBN  978-0-8218-1216-7. МИСТЕР  0075539. OCLC  1315788.
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С. М. (1978). Написано в берлинском Гейдельберге. Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 692. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности, топология-борнология и ее использование в функциональном анализе. Математические исследования Северной Голландии. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: вводный курс по ядерным и безъядерным пространствам в свете дуальности "топология-борнология". Математические исследования Северной Голландии. 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• Пич, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства. Кембриджские трактаты по математике. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств. Монографии Спрингера по математике. Лондон Нью-Йорк: Springer. ISBN  978-1-85233-437-6. OCLC  48092184.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Конспект лекций по математике. 726. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.

внешняя ссылка

• Ядерное пространство в ncatlab