Обмен ограничивающими операциями - Interchange of limiting operations

В математика, изучение обмен ограничивающими операциями это одна из основных проблем математический анализ, в этих двух заданных ограничивающих операциях, скажем L и M, не может быть предполагается чтобы дать тот же результат при применении в любом порядке. Одним из исторических источников этой теории является изучение тригонометрический ряд.^[1]

Формулировка

В символах предположение

LM = ML,

где левая сторона Значит это M сначала применяется, затем L, и наоборот на Правая сторона, не является действительным уравнение между математические операторы при любых обстоятельствах и для всех операндов. Алгебраист сказал бы, что операции не ездить. Подход к анализу несколько иной. Выводы, предполагающие, что предельные операции «коммутируют», называются формальный. Аналитик пытается очертить условия, при которых такие выводы верны; другими словами математическая строгость устанавливается путем задания некоторого набора достаточных условий для выполнения формального анализа. Такой подход оправдывает, например, понятие равномерное схождение.^[2] Относительно редко требуются такие достаточные условия, так что более точный анализ может расширить область достоверности формальных результатов.

Таким образом, профессионально говоря, аналитики расширяют границы техники и расширяют значение хорошо воспитанный для данного контекста. Г. Х. Харди писал, что «проблема определения коммутативности двух заданных предельных операций - одна из важнейших в математике».^[3] Мнение, видимо, не в пользу кусочного подхода, а в пользу оставления анализа на уровне эвристический, было то из Ричард Курант.

Примеры

Примеров предостаточно, один из самых простых - двойная последовательность а_м,п: не обязательно, чтобы операции взятия пределов как м → ∞ и при п → ∞ можно свободно менять местами.^[4] Например, возьмите

а_м,п = 2^{м − п}

в котором сначала берется предел по п дает 0, а относительно м дает ∞.

Многие из фундаментальных результатов исчисление бесконечно малых также попадают в эту категорию: симметрия частных производных, дифференцирование под знаком интеграла, и Теорема Фубини заниматься обменом дифференциация и интеграция операторы.

Одна из основных причин, почему Интеграл Лебега используется в том, что существуют теоремы, такие как теорема о доминируемой сходимости, которые дают достаточные условия, при которых можно поменять местами интегрирование и предельную операцию. Необходимые и достаточные условия этого обмена были обнаружены Федерико Кафьеро.^[5]

Список связанных теорем

• Обмен лимитами:
  • Теорема Мура-Осгуда
• Чередование предела и бесконечное суммирование:
  • Теорема Таннери
• Обмен частными производными:
  • Теорема Шварца
• Обмен интегралами:
  • Теорема Фубини
• Обмен предела и интеграла:
  • Теорема о доминирующей сходимости
  • Теорема сходимости Витали
  • Теорема Фичеры о сходимости
  • Теорема сходимости Кафьеро
  • Лемма Фату
• Обмен производной и интеграла:
  • Интегральное правило Лейбница

Смотрите также

• Итерированный предел
• Равномерная сходимость

Примечания

1. «Тригонометрический ряд», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
2. Карозерс, Н. Л. (2000). Реальный анализ. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п.150. ISBN  0-521-49749-3.
3. В Приложении Примечание об операциях с двойным лимитом к Курс чистой математики.
4. Кнапп, Энтони В. (2005). Базовый реальный анализ. Бостон: Биркхойзер. п. 13. ISBN  0-8176-3250-6.
5. Кафьеро, Федерико (1953). "Sul passaggio al limit sotto il segno d'integrale per successioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrationndi". Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 22: 223–245. МИСТЕР  0057951. Zbl  0052.05003.