L-оценка - L-estimator

Простые L-оценки могут быть визуально оценены из коробчатый сюжет, и включать межквартильный размах, середина, ассортимент, средний диапазон, и Trimean.

В статистика, L-оценка является оценщик которая является L-статистикой - линейной комбинацией статистика заказов измерений. Это может быть всего одна точка, как в медиане (нечетного числа значений), или столько, как все точки, как в среднем.

Основное преимущество L-оценок заключается в том, что они часто чрезвычайно просты и часто надежная статистика: предполагая, что данные отсортированы, их очень легко вычислить и интерпретировать, и они часто устойчивы к выбросам. Таким образом, они полезны в надежной статистике, так как описательная статистика, в статистическое образование, и когда вычисления затруднены. Однако они неэффективный, а в наше время надежная статистика М-оценки являются предпочтительными, хотя они намного сложнее в вычислительном отношении. Во многих случаях L-оценки достаточно эффективны и, следовательно, подходят для первоначальной оценки.

Примеры

Базовым примером является медиана. Данный п ценности ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, если ${\displaystyle n=2k+1}$ нечетно, медиана равна ${\displaystyle x_{(k+1)}}$, то ${\displaystyle (n+1)/2}$статистика -го порядка; если ${\displaystyle n=2k}$ равно, это среднее значение двух статистических данных: ${\displaystyle (x_{(k)}+x_{(k+1)})/2}$. Это обе линейные комбинации порядковых статистик, и поэтому медиана является простым примером L-оценки.

Более подробный список примеров включает: с одной точкой, максимум, минимум или любую статистику одного порядка или квантиль; с одним или двумя баллами - медиана; с двумя точками средний диапазон, то ассортимент, то середина (обрезанный средний, в том числе середина ) и обрезанный диапазон (включая межквартильный размах и интердесильный диапазон ); с тремя точками, Trimean; с фиксированной долей точек усеченное среднее (в том числе межквартильное среднее ) и Winsorized среднее; со всеми точками, среднее.

Обратите внимание, что некоторые из них (например, медиана или средний диапазон) являются мерами основная тенденция, и используются в качестве оценок для параметр местоположения, например среднее значение нормального распределения, в то время как другие (например, диапазон или усеченный диапазон) являются мерами статистическая дисперсия, и используются как оценки параметр масштаба, такой как среднеквадратичное отклонение нормального распределения.

L-оценки также могут измерять форма распределения, за пределами местоположения и масштаба. Например, середина минус медиана - это трехчленная L-оценка, которая измеряет перекос, и другие различия мидсмаркетов дают меры асимметрии в разных точках хвоста.^[1]

Образец L-моменты являются L-оценками для L-момента населенности и имеют довольно сложные выражения. L-моменты обычно рассматриваются отдельно; подробности см. в этой статье.

Надежность

L-оценки часто статистически стойкий, имея высокий точка разрушения. Это определяется как доля измерений, которая может быть произвольно изменена, не вызывая стремления результирующей оценки к бесконечности (то есть к «разрушению»). Точка разбивки L-оценки задается статистикой ближайшего порядка к минимуму или максимуму: например, медиана имеет точку разбивки 50% (максимально возможное значение), а п% обрезано или Winsorized среднее имеет точку разрыва п%.

Не все L-оценки устойчивы; если он включает минимум или максимум, то он имеет точку разбивки 0. Эти ненадежные L-оценки включают минимум, максимум, среднее и среднее значение. Однако обрезанные эквиваленты надежны.

Надежные L-оценки, используемые для измерения дисперсии, такие как IQR, обеспечивают надежные меры масштаба.

Приложения

В практическом использовании в надежная статистика, L-оценки заменены на М-оценки, которые обеспечивают надежную статистику с высоким относительным эффективность, за счет того, что он намного сложнее и непрозрачнее в вычислительном отношении.

Однако простота L-оценок означает, что они легко интерпретируются и визуализируются, и делает их пригодными для описательная статистика и статистическое образование; многие из них можно даже мысленно вычислить из пятизначное резюме или семизначное резюме, или визуализированный из коробчатый сюжет. L-оценки играют фундаментальную роль во многих подходах к непараметрическая статистика.

Хотя L-оценки непараметрические, они часто используются для оценка параметров, как указано в названии, хотя их часто приходится корректировать, чтобы получить беспристрастный согласованная оценка. Выбор L-оценки и настройки зависят от распределения, параметр которого оценивается.

Например, при оценке параметр местоположения, для симметричного распределения симметричная L-оценка (например, медиана или середина) будет несмещенной. Однако если в дистрибутиве перекос, симметричные L-оценки обычно будут смещены и требуют корректировки. Например, в асимметричном распределении непараметрический перекос (и Коэффициенты асимметрии Пирсона ) измеряют смещение медианы как оценку среднего.

При оценке параметр масштаба, например, при использовании L-оценки в качестве надежные меры масштаба, например, чтобы оценить дисперсия населения или население среднеквадратичное отклонение, обычно нужно умножать на масштаб сделать его объективной последовательной оценкой; видеть масштабный параметр: оценка.

Например, разделив IQR на ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 1.349}$ (с использованием функция ошибки ) делает его беспристрастным и непротиворечивым средством оценки дисперсии совокупности, если данные соответствуют нормальное распределение.

L-оценки также могут использоваться как статистические данные сами по себе - например, медиана является мерой местоположения, а IQR - мерой дисперсии. В этих случаях статистика выборки может выступать в роли собственных оценок. ожидаемое значение; например, медиана выборки является оценкой медианы совокупности.

Преимущества

Помимо простоты, L-оценки также часто легко вычислить и надежны.

Предполагая, что данные отсортированы, L-оценки, включающие только несколько точек, могут быть рассчитаны с гораздо меньшим количеством математических операций, чем эффективные оценки.^[2][3] До появления электронные калькуляторы и компьютеры, они предоставили полезный способ извлечь большую часть информации из выборки с минимальными трудозатратами. Они оставались в практическом использовании до начала и середины 20 века, когда автоматическая сортировка перфокарты данные были возможны, но вычисления оставались трудными,^[2] и до сих пор используется для оценок с учетом списка числовых значений в не-машиночитаемый форма, где ввод данных дороже, чем ручная сортировка. Они также позволяют производить быструю оценку.

L-оценки часто намного более надежны, чем максимально эффективные традиционные методы - медиана максимально статистически стойкий, имея 50% точка разрушения, а усеченный на X% средний диапазон имеет точку разбивки X%, в то время как выборочное среднее (которое является максимально эффективным) является минимально устойчивым, разбиваясь на один выброс.

Эффективность

Хотя L-оценки не так эффективны, как другие статистические данные, они часто имеют достаточно высокую относительную эффективность и показывают, что значительная часть информации, используемой при оценке, может быть получена с использованием всего нескольких точек - всего лишь одного, двух или трех. . В качестве альтернативы они показывают, что статистика заказов содержит значительный объем информации.

Например, с точки зрения эффективности, учитывая образец из нормально распределенный числовой параметр, среднее арифметическое (в среднем) для численность населения можно оценить с максимальной эффективностью, вычислив выборочное среднее - сложение всех членов выборки и деление на количество членов.

Однако для большого набора данных (более 100 точек) от симметричной совокупности среднее значение можно достаточно эффективно оценить по сравнению с наилучшей оценкой с помощью L-оценок. Используя одну точку, это делается путем взятия медиана образца, без каких-либо расчетов (кроме сортировки); это дает эффективность 64% или лучше (для всех п). Используя две точки, простая оценка - это середина (25% обрезанный средний диапазон ), но более эффективной оценкой является усеченный на 29% средний диапазон, то есть усреднение двух значений на 29% пути от наименьшего и наибольшего значений: 29-й и 71-й процентили; это имеет КПД около 81%.^[3] Для трех точек Trimean (среднее от медианы и середины), хотя среднее значение для 20-го, 50-го и 80-го процентилей дает эффективность 88%. Использование дополнительных точек дает более высокую эффективность, хотя примечательно, что для очень высокой эффективности необходимо всего 3 точки.

Для оценки стандартного отклонения нормального распределения масштабированный интердесильный диапазон дает достаточно эффективную оценку, хотя вместо 7% усеченного диапазона (разница между 7-м и 93-м процентилями) и деления на 3 (что соответствует 86% данных нормального распределения, попадающих в 1,5 стандартных отклонения от среднего) дает оценка около 65% эффективности.^[3]

Для небольших выборок L-оценки также относительно эффективны: средняя сумма третьей точки с каждого конца имеет эффективность около 84% для выборок размером около 10, а диапазон, деленный на ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ имеет достаточно хорошую эффективность для размеров до 20, хотя с увеличением п и коэффициент масштабирования можно улучшить (эффективность 85% для 10 точек). Другие эвристические оценки для небольших выборок включают диапазон более п (для стандартной ошибки) и диапазона, возведенного в квадрат относительно медианы (для хи-квадрат распределения Пуассона).^[3]

Смотрите также

• L-момент
• М-оценка

Рекомендации

1. Веллеман и Хоглин 1981.
2. Мостеллер 2006.
3. Эванс 1955, Приложение G: Неэффективная статистика, стр. 902–904.

• Эванс, Робли Данглисон (1955). Атомное ядро. Международная серия по чистой и прикладной физике. Макгроу-Хилл. стр.972. ISBN  0-89874414-8.
• Fraiman, R .; Meloche, J .; Гарсия-Эскудеро, Л. А .; Gordaliza, A .; Он, X.; Maronna, R .; Йохай, В. С. Дж .; Sheather, S.J .; McKean, J. W .; Small, C. G .; Wood, A .; Fraiman, R .; Мелоче, Дж. (1999). «Многомерная L-оценка». Тест. 8 (2): 255–317. Дои:10.1007 / BF02595872.
• Хубер, Питер Дж. (2004). Надежная статистика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  0-471-65072-2.
• Мостеллер, Фредерик (2006) [1946]. «О какой-то полезной« неэффективной »статистике». В Файнберге, Стивен; Хоаглин, Дэвид (ред.). Избранные статьи Фредерика Мостеллера. Серии Спрингера в статистике. Нью-Йорк: Спрингер. стр.69 –100. Дои:10.1007/978-0-387-44956-2_4. ISBN  978-0-387-20271-6.
• Шао, июнь (2003). Математическая статистика. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-95382-5. - сек. 5.2.2
• Веллеман, П. Ф .; Хоаглин, Д. К. (1981). Приложения, основы и вычисления для исследовательского анализа данных. ISBN  0-87150-409-X.