Функция вопросительного знака Минковского - Minkowskis question-mark function - Wikipedia

Функция вопросительного знака Минковского.

Оставили: ?(Икс). Правильно: ?(Икс) − Икс.

В математика, то Функция вопросительного знака Минковского обозначается ?(Икс), это функция обладающие различными необычными фрактал свойства, определенные Герман Минковски  (1904, страницы 171–172). Это карты квадратичные иррациональные числа к рациональное число на единичный интервал, через выражение, связывающее непрерывная дробь разложения квадратичных двоичные расширения рациональных чисел, заданных Арно Данжуа в 1938 году. Кроме того, он отображает рациональные числа в диадические рациональные числа, как видно из рекурсивного определения, тесно связанного с Корм-Броко.

Определение

Если [а₀; а₁, а₂, …] это представление непрерывной дроби из иррациональный номер  Икс, тогда

${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}},}$

тогда как если [а₀; а₁, а₂, …, а_м] представляет собой представление непрерывной дроби Рациональное число  Икс, тогда

${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$

Интуитивное объяснение

Чтобы получить некоторое представление о приведенном выше определении, рассмотрим различные способы интерпретации бесконечной строки битов, начинающейся с 0, как действительного числа в [0, 1]. Один из очевидных способов интерпретации такой строки - поставить двоичную точку после первого 0 и прочитать строку как двоичный расширение: так, например, строка 001001001001001001001001 ... представляет двоичное число 0,010010010010 ..., или 2/7. Другая интерпретация рассматривает строку как непрерывная дробь [0; а₁, а₂, …], где целые числа а_я длины пробега в кодирование длин серий строки. В том же примере строка 001001001001001001001001 ... тогда соответствует [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] = √3 − 1/2. Если строка заканчивается бесконечно длинным отрезком одного и того же бита, мы игнорируем его и завершаем представление; на это указывает формальная «идентичность»:

[0; а₁, …, а_п, ∞] = [0; а₁, …, а_п + 1/∞] = [0; а₁, …, а_п + 0] = [0; а₁, …, а_п].

Влияние функции вопросительного знака на [0, 1] затем можно понимать как отображение второй интерпретации строки на первую интерпретацию той же строки,^[1][2] так же, как Функция Кантора можно понимать как отображение триад база-3 представление в представление базы-2. В нашем примере строка дает равенство

${\displaystyle \operatorname {?} \left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}\right)={\frac {2}{7}}.}$

Рекурсивное определение рациональных аргументов

Для рациональных чисел в единичном интервале функция также может быть определена рекурсивно; если п/q и р/s находятся уменьшенные фракции такой, что |пс − rq| = 1 (так что они являются смежными элементами ряда Последовательность Фари ) тогда^[3][2]

${\displaystyle \operatorname {?} \left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {?} \left({\frac {p}{q}}\right)+\operatorname {?} \left({\frac {r}{s}}\right)\right].}$

Использование базовых случаев

${\displaystyle \operatorname {?} \left({\frac {0}{1}}\right)=0\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {?} \left({\frac {1}{1}}\right)=1,}$

тогда можно вычислить ?(Икс) для любого рациональногоИкс, начиная с Последовательность Фари порядка 2, затем 3 и т. д.

Если п_п−1/q_п−1 и п_п/q_п две последовательные сходящиеся непрерывная дробь, то матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

имеет детерминант ± 1. Такая матрица является элементом SL (2,Z), группа матриц 2 × 2 с определителем ± 1. Эта группа относится к модульная группа.

Самосимметрия

Знак вопроса явно визуально самоподобен. А моноид самоподобия могут быть порождены двумя операторами S и р действующий на единичный квадрат и определяемый следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}}$

Визуально, S сжимает единичный квадрат до левой нижней четверти, а р выполняет точечное отражение через его центр.

Пункт о график из ? имеет координаты (Икс, ?(Икс)) для некоторых Икс в единичном интервале. Такая точка преобразуется S и р в другую точку графика, потому что ? удовлетворяет следующим тождествам для всех Икс ∈ [0, 1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}}$

Эти два оператора можно многократно комбинировать, образуя моноид. Тогда общий элемент моноида

${\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }$

для положительных целых чисел а₁, а₂, а₃, …. Каждый такой элемент описывает самоподобие функции вопросительного знака. Этот моноид иногда называют моноид удвоения периода, и все фрактальные кривые удвоения периода обладают описываемой им самосимметрией ( кривая де Рама, частным случаем которых является вопросительный знак, является категорией таких кривых). Элементы моноида находятся в соответствии с рациональными числами посредством идентификации а₁, а₂, а₃, … с непрерывной дробью [0; а₁, а₂, а₃,…]. Поскольку оба

${\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}$

и

${\displaystyle T:x\mapsto 1-x}$

находятся дробно-линейные преобразования с целыми коэффициентами моноид можно рассматривать как подмножество модульная группа PSL (2, Z).

Квадратичные иррациональные числа

Функция вопросительного знака обеспечивает взаимно-однозначное отображение недиадических рациональных чисел в квадратичные иррациональные числа, что позволяет явно доказать счетность последнего. Фактически, их можно понять как соответствующие периодические орбиты для диадическая трансформация. Это можно явно продемонстрировать всего за несколько шагов.

Диадическая симметрия

Определите два хода: левый и правый, действительные на единичный интервал ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ в качестве

${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$ и ${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}}$

и

${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$ и ${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}}$

Тогда функция вопросительного знака подчиняется симметрии движения влево

${\displaystyle L_{D}\circ ?=?\circ L_{C}}$

и правосторонняя симметрия

${\displaystyle R_{D}\circ ?=?\circ R_{C}}$

куда ${\displaystyle \circ }$ обозначает функциональная композиция. Они могут быть произвольно объединены. Рассмотрим, например, последовательность ходов влево-вправо ${\displaystyle LRLLR.}$ Добавление индексов C и D и, для наглядности, удаление оператора композиции ${\displaystyle \circ }$ во всех, кроме нескольких мест, есть:

${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ ?=?\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$

Произвольные строки конечной длины в буквах L и R соответствуют диадические рациональные числа, в том, что каждое диадическое рациональное число может быть записано как ${\displaystyle y=n/2^{m}}$ для целого числа п и м и как конечная длина битов ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ с ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$ Таким образом, каждое диадическое рациональное число находится во взаимно однозначном соответствии с некоторой самосимметрией функции вопросительного знака.

Некоторые перестановки обозначений могут немного облегчить выражение вышеизложенного. Позволять ${\displaystyle g_{0}}$ и ${\displaystyle g_{1}}$ подставка для L и R. Функциональная композиция расширяет это до моноид, в этом можно написать ${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$ и вообще, ${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$ для некоторых двоичных строк цифр А, B, куда AB просто обычный конкатенация таких струн. Диадический моноид M тогда является моноидом всех таких движений влево-вправо конечной длины. Письмо ${\displaystyle \gamma \in M}$ в качестве общего элемента моноида имеется соответствующая самосимметрия функции вопросительного знака:

${\displaystyle \gamma _{D}\circ ?=?\circ \gamma _{C}}$

Изоморфизм

Явное отображение между рациональными числами и диадическими рациональными числами может быть получено с помощью оператора отражения

${\displaystyle r(x)=1-x}$

и отмечая, что оба

${\displaystyle r\circ R_{D}\circ r=L_{D}}$ и ${\displaystyle r\circ R_{C}\circ r=L_{C}}$

С ${\displaystyle r^{2}=1}$ является тождеством, произвольная строка движений влево-вправо может быть переписана как цепочка только движений влево, за которой следует отражение, за которым следуют другие ходы влево, отражение и т. д., то есть как ${\displaystyle L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots }$ который явно изоморфен ${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots }$ сверху. Оценка некоторой явной последовательности ${\displaystyle L_{D},R_{D}}$ в аргументе функции ${\displaystyle x=1}$ дает диадическую рациональность; явно он равен ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ где каждый ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}}$ - двоичный бит, ноль соответствует перемещению влево, а один - перемещению вправо. Эквивалентная последовательность ${\displaystyle L_{C},R_{C}}$ ходов, оценивается в ${\displaystyle x=1}$ дает рациональное число ${\displaystyle p/q.}$ Это явно тот, который предоставляется непрерывной дробью ${\displaystyle p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{j}]}$ имея в виду, что это рационально, потому что последовательность ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{j})}$ была конечной длины. Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между диадическими рациональными числами и рациональными числами.

Периодические орбиты диадического преобразования

Рассмотрим теперь периодические орбиты из диадическая трансформация. Они соответствуют битовым последовательностям, состоящим из конечной начальной «хаотической» последовательности битов. ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k-1}}$, за которым следует повторяющаяся строка ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\cdots ,b_{k+m-1}}$ длины ${\displaystyle m}$. Такие повторяющиеся строки соответствуют рациональному числу. Это легко сделать явным. Написать

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

тогда явно есть

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$

Если взять исходную неповторяющуюся последовательность, у каждого явно есть рациональное число. Фактически, каждый рациональное число можно выразить так: начальная «случайная» последовательность, за которой следует циклический повтор. То есть периодические орбиты карты находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными числами.

Периодические орбиты как непрерывные дроби

Такие периодические орбиты имеют эквивалентную периодическую цепную дробь в соответствии с изоморфизмом, установленным выше. Есть начальная «хаотическая» орбита некоторой конечной длины, за которой следует повторяющаяся последовательность. Повторяющаяся последовательность генерирует периодическая цепная дробь удовлетворение ${\displaystyle x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\cdots ,a_{n+r},x].}$ Эта цепная дробь имеет вид^[3]

${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

с ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ быть целыми числами и удовлетворять ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.}$ Явные значения можно получить, написав

${\displaystyle S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

для смены, так что

${\displaystyle S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$

в то время как отражение дается

${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

так что ${\displaystyle T^{2}=I}$. Обе эти матрицы унимодулярный, произвольные произведения остаются унимодулярными и приводят к матрице вида

${\displaystyle S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

давая точное значение непрерывной дроби. Поскольку все элементы матрицы являются целыми числами, эта матрица принадлежит проективной модульная группа ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).}$

Решая явно, мы получаем, что ${\displaystyle \gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.}$ Нетрудно проверить, что решения этой задачи удовлетворяют определению квадратичных иррациональных чисел. Фактически, так можно выразить любое квадратичное иррациональное. Таким образом, квадратичные иррациональные числа находятся во взаимно однозначном соответствии с периодическими орбитами диадического преобразования, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с (недиадическими) рациональными числами, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с диадические рациональности. Функция вопросительного знака обеспечивает соответствие в каждом случае.

Свойства ?(Икс)

Функция вопросительного знака - это строго возрастающий и непрерывный,^[4] но нет абсолютно непрерывный функция. В производная исчезает на рациональное число. Есть несколько конструкций для мера что при интеграции дает функцию вопросительного знака. Одна такая конструкция получается путем измерения плотности Номера Фари на действительной числовой строке. Знак вопроса - это типичный пример того, что иногда называют мультифрактальные меры.

Функция вопросительного знака отображает рациональные числа в диадические рациональные числа, то есть тех, чьи база два представление завершается, что может быть доказано индукцией из описанной выше рекурсивной конструкции. Это карты квадратичные иррациональные числа к недиадическим рациональным числам. Это нечетная функция, и удовлетворяет функциональному уравнению ?(Икс + 1) = ?(Икс) + 1; как следствие Икс → ?(Икс) − Икс это странно периодическая функция с периодом один. Если ?(Икс) иррационально, то Икс либо алгебраический степени больше двух, или трансцендентный.

Функция вопросительного знака имеет фиксированные точки при 0, 1/2 и 1, и по крайней мере еще два, симметричные относительно середины. Один примерно равен 0,42037.^[4]Мощевитин предположил, что это единственные 5 неподвижных точек.^[5]

В 1943 г. Рафаэль Салем поднял вопрос о том, обращаются ли в нуль на бесконечности коэффициенты Фурье – Стилтьеса функции вопросительного знака.^[6] Другими словами, он хотел знать, действительно ли

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.}$

На это утвердительно ответили Джордан и Салстен:^[7] как частный случай результата на Меры Гиббса.

График функции вопросительного знака Минковского является частным случаем фрактальных кривых, известных как кривые де Рама.

Алгоритм

Рекурсивное определение естественно поддается алгоритм для вычисления функции с любой желаемой степенью точности для любого действительного числа, как следующее C функция демонстрирует. Алгоритм спускается по Корм-Броко в поисках вводаИкс, и суммирует члены двоичного разложения у = ?(Икс) в дороге. Пока инвариант цикла qr − пс = 1 остается удовлетворенным, нет необходимости уменьшать дробь м/п = п + р/q + s, так как это уже на самом низком уровне. Другой инвариант п/q ≤ Икс < р/s. В за цикл в этой программе может быть проанализирован как пока цикл с операторами условного прерывания в первых трех строках, составляющих условие. Единственные операторы в цикле, которые могут повлиять на инварианты, находятся в последних двух строках, и можно показать, что они сохраняют истинность обоих инвариантов до тех пор, пока первые три строки выполняются успешно без выхода из цикла. Третий инвариант тела цикла (до точности с плавающей запятой) - у ≤ ?(Икс) < у + d, но с тех пор d является вдвое меньше в начале цикла перед проверкой каких-либо условий наш вывод состоит только в том, что у ≤ ?(Икс) < у + 2d при завершении цикла.

К доказать прекращение, достаточно заметить, что сумма q + s увеличивается как минимум на 1 с каждой итерацией цикла, и что цикл завершится, когда эта сумма станет слишком большой, чтобы быть представленной в примитивном типе данных C. длинный. Однако на практике условный разрыв при у + д == у это то, что обеспечивает завершение цикла за разумный промежуток времени.

/ * Функция знака вопроса Минковского * /двойной Минковский(двойной Икс) {    длинный п = Икс;    если ((двойной)п > Икс) --п; / * p = этаж (x) * /    длинный q = 1, р = п + 1, s = 1, м, п;    двойной d = 1, у = п;    если (Икс < (двойной)п || (п < 0) ^ (р <= 0))        возвращаться Икс; / * вне допустимого диапазона? (x) = ~ x * /    за (;;) { / * инварианты: q * r - p * s == 1 && (double) p / q <= x && x <(double) r / s * /        d /= 2;        если (у + d == у)            перемена; / * достигнута максимально возможная точность * /        м = п + р;        если ((м < 0) ^ (п < 0))            перемена; / * сумма переполнена * /        п = q + s;        если (п < 0)            перемена; / * сумма переполнена * /        если (Икс < (двойной)м / п) {            р = м;            s = п;        } еще {            у += d;            п = м;            q = п;        }    }    возвращаться у + d; / * окончательное округление * /}

Смотрите также

• Производная Помпею

Примечания

1. Финч (2003) стр. 441–442.
2. Пифей Фогг (2002) стр. 95.
3. Хинчин, А.Я. (1964) [Первоначально опубликовано на русском языке, 1935]. Непрерывные дроби. Издательство Чикагского университета. ISBN  0-486-69630-8. Теперь это доступно в виде перепечатки с Dover Publications.
4. Финч (2003) стр. 442
5. Николай Мощевитин, сессия открытых задач, Диофантовы проблемы, детерминизм и случайность, в CIRM, 25 ноября 2020 г.
6. Салем (1943)
7. Джордан и Зальстен (2013)

Исторические ссылки

• Минковский, Германн (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Congress в Гейдельберге, Берлин, стр. 164–173, JFM  36.0281.01, заархивировано из оригинал 4 января 2015 г.
• Данжуа, Арно (1938), "Sur une fonction réelle de Minkowski", J. Math. Pures Appl., Сери IX (на французском языке), 17: 105–151, Zbl  0018.34602

Рекомендации

• Алькаускас, Гедрюс (2008), Интегральные преобразования функции вопросительного знака Минковского, Кандидатская диссертация, Ноттингемский университет.
• Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (1998), "Новый свет на функцию Минковского? (X)", Журнал теории чисел, 73 (2): 212–227, Дои:10.1006 / jnth.1998.2294, HDL:10230/843, Zbl  0928.11006, заархивировано из оригинал 22 июня 2015 г..
• Bibiloni, L .; Paradis, J .; Вейдер, П. (2001), «Производная от сингулярной функции Минковского», Журнал математического анализа и приложений, 253 (1): 107–125, Дои:10.1006 / jmaa.2000.7064, Zbl  0995.26005, заархивировано из оригинал 22 июня 2015 г..
• Конли, Р. М. (2003), Обзор функции Минковского? (X), Дипломная работа, Университет Западной Вирджинии.
• Конвей, Дж. Х. (2000), «Перекрученные дроби», О числах и играх (2-е изд.), Уэллсли, Массачусетс: А. К. Питерс, стр. 82–86..
• Финч, Стивен Р. (2003), Математические константы, Энциклопедия математики и ее приложений, 94, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-81805-6, Zbl  1054.00001
• Джордан, Томас; Сальстен, Туомас (2016), "Преобразования Фурье мер Гиббса для отображения Гаусса", Mathematische Annalen, 364 (3–4): 983–1023, arXiv:1312.3619, Bibcode:2013arXiv1312.3619J, Дои:10.1007 / s00208-015-1241-9
• Пифей Фогг, Н. (2002), Берте, Валери; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, А. (ред.), Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике, Конспект лекций по математике, 1794, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44141-0, Zbl  1014.11015
• Салем, Рафаэль (1943), «О некоторых сингулярных монотонных функциях, строго возрастающих» (PDF), Труды Американского математического общества, 53 (3): 427–439, Дои:10.2307/1990210, JSTOR  1990210
• Вепстас, Л. (2004), Вопросительный знак Минковского и модульная группа SL (2, Z) (PDF)
• Вепстас, Л. (2008), "О мере Минковского", arXiv:0810.1265 [math.DS ]

внешняя ссылка

• Обширный список библиографии
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция вопросительного знака Минковского". MathWorld.
• Простая реализация IEEE 754 на C ++