Возможный градиент - Potential gradient

В физика, химия и биология, а потенциальный градиент местный скорость изменения из потенциал относительно смещения, то есть пространственной производной или градиента. Эта величина часто встречается в уравнениях физических процессов, поскольку приводит к некоторой форме поток.

Определение

Одно измерение

Простейшее определение градиента потенциала F в одном измерении это следующее:^[1]

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!}$

куда ϕ(Икс) это какой-то тип скалярный потенциал и Икс является смещение (нет расстояние ) в Икс направлении, нижние индексы обозначают две разные позиции Икс₁, Икс₂, и потенциалы в этих точках, ϕ₁ = ϕ(Икс₁), ϕ₂ = ϕ(Икс₂). В пределах бесконечно малый перемещений, отношение разностей становится соотношением дифференциалы:

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!}$

Направление градиента электрического потенциала от ${\displaystyle x_{1}}$ к ${\displaystyle x_{2}}$.

Три измерения

В три измерения, Декартовы координаты проясните, что результирующий градиент потенциала является суммой градиентов потенциала в каждом направлении:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

куда е_Икс, е_у, е_z находятся единичные векторы в х, у, г направления. Это можно компактно записать в терминах градиент оператор ∇,

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi .\,\!}$

хотя эта окончательная форма сохраняется в любом криволинейная система координат, а не только декартово.

Это выражение представляет собой важную особенность любого консервативное векторное поле F, а именно F имеет соответствующий потенциал ϕ.^[2]

С помощью Теорема Стокса, это эквивалентно формулируется как

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!}$

имея в виду завиток, обозначенное ∇ ×, векторного поля обращается в нуль.

Физика

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационное поле грамм, который может быть консервативным,^[3] он равен градиенту в гравитационный потенциал Φ:

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi .\,\!}$

Между гравитационным полем и потенциалом есть противоположные знаки, потому что градиент потенциала и поле противоположны по направлению: по мере увеличения потенциала напряженность гравитационного поля уменьшается, и наоборот.

Электромагнетизм

Основные статьи: Уравнения Максвелла и Математические описания электромагнитного поля

В электростатика, то электрическое поле E не зависит от времени т, поэтому нет индукции зависящей от времени магнитное поле B к Закон индукции Фарадея:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,}$

что подразумевает E градиент электрического потенциала V, идентичное классическому гравитационному полю:^[4]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

В электродинамика, то E поле зависит от времени и вызывает зависящее от времени B поле также (опять же по закону Фарадея), так что завиток E не равно нулю, как раньше, что означает, что электрическое поле больше не является градиентом электрического потенциала. Необходимо добавить термин, зависящий от времени:^[5]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$

куда А электромагнитный векторный потенциал. Это последнее возможное выражение фактически сводит закон Фарадея к тождеству.

Гидравлическая механика

В механика жидкости, то поле скорости v описывает движение жидкости. An безвихревой поток означает, что поле скоростей консервативно, или, что то же самое, завихренность псевдовектор поле ω равно нулю:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.}$

Это позволяет потенциал скорости быть определено просто как:

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$

Химия

Основная статья: Электродные потенциалы

В электрохимический полуклетка, на стыке между электролит (ан ионный решение ) и металл электрод, стандарт разность электрических потенциалов является:^[6]

${\displaystyle \Delta \phi _{(M,M^{+z})}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})}^{\ominus }+{\frac {RT}{zeN_{\text{A}}}}\ln a_{M^{+z}}\,\!}$

куда р = газовая постоянная, Т = температура раствора, z = валентность металла, е = элементарный заряд, N_А = Константа Авогадро, и а_{M^{+ z}} это Мероприятия ионов в растворе. Величины с индексом ⊖ означают, что измерение проводится под стандартные условия. Градиент потенциала является относительно резким, так как существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда и интерфейсный член.^{[требуется разъяснение ]}

Биология

В биология, градиент потенциала - это чистая разница в электрический заряд через клеточная мембрана.

Неединственность потенциалов

Поскольку градиенты потенциалов соответствуют физические поля, не имеет значения, добавлена ​​ли константа (она стирается оператором градиента ∇ который включает частичная дифференциация ). Это означает, что невозможно определить, что такое «абсолютное значение» потенциала - нулевое значение потенциала совершенно произвольно и может быть выбрано в любом месте для удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также применима к векторным потенциалам и используется в классическая теория поля а также теория калибровочного поля.

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаемы, возможны только градиенты и зависящие от пути разности потенциалов. Тем не менее Эффект Ааронова – Бома это квантово-механический эффект, иллюстрирующий ненулевое электромагнитные потенциалы по замкнутому контуру (даже если E и B поля равны нулю повсюду в области) приводят к изменению фазы волновая функция электрического заряженная частица в регионе, поэтому потенциалы имеют измеримое значение.

Возможная теория

Полевые уравнения, например, законы Гаусса для электричества, для магнетизма, и для гравитации, можно записать в виде:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho }$

куда ρ электрический плотность заряда, монополь плотность (если они существуют), или плотность вещества и Икс является константой (в терминах физические константы грамм, ε₀, μ₀ и другие числовые факторы).

Скалярные градиенты потенциала приводят к Уравнение Пуассона:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\phi =X\rho }$

Генерал теория потенциалов был разработан для решения этого уравнения относительно потенциала. Градиент этого решения дает физическое поле, решая уравнение поля.

Смотрите также

• Тензоры в криволинейных координатах

Рекомендации

1. Основные принципы физики, П.М. Уилан, М.Дж. Ходжсон, 2-е издание, 1978, Джон Мюррей, ISBN  0-7195-3382-1
2. Векторный анализ (2-е издание), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN  978-0-07-161545-7
3. Динамика и теория относительности, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
4. Электромагнетизм (2-е издание), И.С. Грант, У. Р. Филлипс, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  978-0-471-92712-9
5. Введение в электродинамику (3-е издание), Д.Дж. Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN  81-7758-293-3
6. Физическая химия, П. Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN  0-19-855148-7