Псевдовыпуклость - Pseudoconvexity

Эта статья посвящена понятию нескольких сложных переменных. Относительно понятия выпуклого анализа см. псевдовыпуклая функция.

В математика, точнее в теории функций несколько сложных переменных, а псевдовыпуклый набор это особый вид открытый набор в п-мерное сложное пространство C^п. Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности.

Позволять

${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

быть доменом, то есть открыто связаны подмножество. Один говорит, что ${\displaystyle G}$ является псевдовыпуклый (или же Hartogs псевдовыпуклый), если существует непрерывный плюрисубгармоническая функция ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle G}$ такой, что набор

${\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)<x\}}$

это относительно компактный подмножество ${\displaystyle G}$ для всех действительные числа ${\displaystyle x.}$ Другими словами, домен является псевдовыпуклым, если ${\displaystyle G}$ имеет непрерывный плюрисубгармонический функция истощения. Каждые (геометрически) выпуклый набор псевдовыпуклый.

Когда ${\displaystyle G}$ имеет ${\displaystyle C^{2}}$ (дважды непрерывно дифференцируемый ) граница, это понятие совпадает с понятием псевдовыпуклости Леви, с которым легче работать. В частности, с ${\displaystyle C^{2}}$ граница, можно показать, что ${\displaystyle G}$ имеет определяющую функцию; то есть, что существует ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ который ${\displaystyle C^{2}}$ так что ${\displaystyle G=\{\rho <0\}}$, и ${\displaystyle \partial G=\{\rho =0\}}$. Сейчас же, ${\displaystyle G}$ псевдовыпукло тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle p\in \partial G}$ и ${\displaystyle w}$ в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е.

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, у нас есть

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$

Если ${\displaystyle G}$ не имеет ${\displaystyle C^{2}}$ граница, следующий результат аппроксимации может оказаться полезным.

Предложение 1 Если ${\displaystyle G}$ псевдовыпуклый, то существуют ограниченный, сильно псевдовыпуклые домены Леви ${\displaystyle G_{k}\subset G}$ с ${\displaystyle C^{\infty }}$ (гладкий ) границы, относительно компактные в ${\displaystyle G}$, так что

${\displaystyle G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

Это потому, что как только у нас есть ${\displaystyle \varphi }$ как и в определении, мы действительно можем найти C^∞ функция истощения.

Дело п = 1

В одном комплексном измерении каждая открытая область является псевдовыпуклой. Таким образом, концепция псевдовыпуклости более полезна для измерений больше единицы.

Смотрите также

• Голоморфно выпуклая оболочка
• Многообразие Штейна
• Аналитический многогранник
• Эухенио Элиа Леви

Рекомендации

• Ларс Хёрмандер, Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Северная Голландия, 1990 г. (ISBN  0-444-88446-7).
• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.

В этой статье использованы материалы из Pseudoconvex о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

внешняя ссылка

• Range, Р. Майкл (февраль 2012 г.), "ЧТО ТАКОЕ ... псевдовыпуклый домен?" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 59 (2): 301–303, Дои:10.1090 / noti798
• «Псевдовыпуклые и псевдовогнутые», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]