S (теория множеств) - S (set theory)

S является аксиоматическая теория множеств изложено Джордж Булос в его статье 1989 года «Итерация снова». S, а первый заказ теория, является двоякой, потому что ее онтология включает «этапы», а также наборы. Boolos разработан S воплотить его понимание «итеративной концепции множества» и связанных с ней итеративная иерархия. S обладает тем важным свойством, что все аксиомы Теория множеств Цермело Z, кроме аксиома протяженности и аксиома выбора, являются теоремами S или его небольшая модификация.

Онтология

Любое объединение математический, Абстрактные, или конкретные объекты, как бы они ни были сформированы, является коллекция, синоним того, что еще установить теории называют учебный класс. Вещи, составляющие коллекцию, называются элементы или членов. Обычный экземпляр коллекции - это область дискурса из теория первого порядка.

Все наборы являются коллекциями, но есть коллекции, которые не являются наборами. Синонимом коллекций, не являющихся наборами, является правильный класс. Существенная задача аксиоматическая теория множеств заключается в том, чтобы отличать наборы от правильных классов, хотя бы потому, что математика основана на наборах, а надлежащие классы отводятся исключительно описательной роли.

В Вселенная фон Неймана реализует «итеративную концепцию множества», разделяя вселенную множеств на серии «стадий», при этом множества на данной стадии являются возможными членами множеств, сформированных на всех более высоких стадиях. Понятие стадии выглядит следующим образом. Каждому этапу назначается порядковый номер. Самая низкая стадия, стадия 0, состоит из всех сущностей, не имеющих членов. Мы предполагаем, что единственной сущностью на этапе 0 является пустой набор, хотя этот этап будет включать любые урэлементы мы предпочли бы признать. Этап п, п> 0, состоит из всех возможных наборов, образованных из элементов, которые можно найти на любом этапе, число которых меньше п. Каждый набор сформирован на этапе п также могут образовываться на каждой стадии больше, чем п.^[1]

Следовательно, этапы образуют вложенный и хорошо организованный последовательность, и сформировал бы иерархия если установленное членство было переходный. Итеративная концепция постепенно стала более общепринятой, несмотря на несовершенное понимание ее исторических корней.

Итеративная концепция набора мотивированным образом избегает хорошо известных парадоксы из Рассел, Бурали-Форти, и Кантор. Все эти парадоксы являются результатом неограниченное использование принципа понимания из наивная теория множеств. Коллекции, такие как «класс всех наборов» или «класс всех порядковые "включать наборы со всех этапов итеративной иерархии. Следовательно, такие коллекции не могут быть сформированы на любом данном этапе и, следовательно, не могут быть наборами.

Первобытные представления

Этот раздел следует за Boolos (1998: 91). Переменные Икс и у диапазон по сетам, в то время как р, s, и т диапазон по этапам. Есть три примитивный двухместное предикаты:

• Set – set: Икс∈у обозначает, как обычно, то множество Икс является членом множества у;
• Set – stage: Fxr означает, что множество Икс Стадия «формируется на» р;
• Этап – этап: р<s обозначает эту стадию р Стадия «раньше» s.

Приведенные ниже аксиомы включают определенный предикат, состоящий из двух мест, Bxr, что сокращает:

${\displaystyle \exists s[s<r\land Fxs].}$

Bxr читается как «установить Икс формируется до стадии р.”

Личность, обозначаемый инфиксом ‘=’, не играет роли в S это играет роль в других теориях множеств, и Boolos не дает полностью понять, логика включает личность. S не имеет аксиома протяженности и идентичность отсутствует у другого S аксиомы. Идентичность действительно появляется в схеме аксиом, различая S + из S,^[2] и при выводе в S из спаривание, нулевой набор, и бесконечность аксиомы Z.^[3]

Аксиомы

Символьные аксиомы, показанные ниже, взяты из Boolos (1998: 91) и определяют, как наборы и стадии ведут себя и взаимодействуют. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.

Аксиомы делятся на две группы по три. Первая группа состоит из аксиом, относящихся исключительно к стадиям и отношению стадия-стадия «<».

Tra: ${\displaystyle \forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.}$

«Раньше чем» является переходным.

Сеть: ${\displaystyle \forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.}$

Следствие Сеть заключается в том, что каждый этап предшествует некоторому этапу.

Inf: ${\displaystyle \exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.}$

Единственная цель Inf состоит в том, чтобы позволить извлекать S то аксиома бесконечности других теорий множеств.

Вторая и последняя группа аксиом включает как множества, так и стадии, а также предикаты, отличные от '<':

Все: ${\displaystyle \forall x\exists rFxr\,.}$

Каждый набор формируется на каком-то этапе иерархии.

Когда: ${\displaystyle \forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.}$

Набор формируется на каком-то этапе если только его члены формируются на более ранних этапах.

Позволять А(у) - формула S куда у бесплатно, но Икс не является. Тогда справедлива следующая схема аксиом:

Спецификация: ${\displaystyle \exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.}$

Если существует этап р такие, что все наборы, удовлетворяющие А(у) формируются на стадии раньше, чем р, то существует множество Икс чьи члены - это как раз те наборы, которые удовлетворяют А(у). Роль Спецификация в S аналогичен схема аксиомы спецификации из Z.

Обсуждение

Имя Boolos для Теория множеств Цермело минус протяженность была Z-. Boolos происходит из S все аксиомы Z- кроме аксиома выбора.^[4] Целью этого упражнения было показать, как большая часть общепринятой теории множеств может быть выведена из итеративной концепции множества, которая, как предполагается, воплощена в S. Расширяемость не следует из итеративной концепции, и поэтому не является теоремой S. Тем не мение, S + Расширяемость не противоречит, если S не противоречит.

Затем Boolos изменил Спецификация получить вариант S он звонил S +, так что схема аксиомы замены выводится в S + + Расширяемость. Следовательно S + + Расширение имеет силу ZF. Булос также утверждал, что аксиома выбора не следует из итеративной концепции, но не рассматривает, можно ли добавить выбор к S каким-то образом.^[5] Следовательно S + + Экстенсиональность не может доказать теоремы традиционной теории множеств. ZFC чьи доказательства требуют выбора.

Inf гарантирует наличие стадий ω, а ω +п для конечного п, но не стадии ω + ω. Тем не менее, S дает достаточно Канторовский рай чтобы обосновать почти всю современную математику.^[6]

Boolos сравнивает S немного до варианта системы Frege С Grundgesetze, в котором Принцип Юма взятый как аксиома, заменяет основной закон V Фреге, неограниченное понимание аксиома, сделавшая систему Фреге непоследовательной; видеть Парадокс Рассела.

Сноски

1. Булос (1998: 88).
2. Булос (1998: 97).
3. Boolos (1998: 103–04).
4. Boolos (1998: 95–96; 103–04).
5. Булос (1998: 97).
6. «… Подавляющее большинство математики 20-го века можно легко представить в виде наборов довольно низких бесконечных рангов, конечно, меньше, чем ω + 20». (Поттер 2004: 220). Исключения из заявления Поттера предположительно включают теория категорий, что требует слабого недоступные кардиналы предоставленный Теория множеств Тарского – Гротендика, и высшие достижения самой теории множеств.

Рекомендации

• Булос, Джордж (1989), «Итерация снова», Философские темы, 17: 5–21, JSTOR  43154050. Печатается на: Булос, Джордж (1998), Логика, логика и логика, Harvard University Press, стр. 88–104, ISBN  9780674537675 .
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия, Издательство Оксфордского университета, ISBN  9780199269730.