Уравнение Сакура – ​​Тетрода - Sackur–Tetrode equation

В Уравнение Сакура – ​​Тетрода это выражение для энтропия из одноатомный идеальный газ.^[1]

Он назван в честь Хьюго Мартин Тетроде^[2] (1895–1931) и Отто Сакур^[3] (1880–1914), который разработал его независимо как решение газовой статистики Больцмана и уравнений энтропии примерно в то же время, в 1912 году.^[4]

Формула

Уравнение Сакура – ​​Тетроде выражает энтропию ${\displaystyle S}$ одноатомного идеального газа с точки зрения его термодинамического состояния, в частности, его объема ${\displaystyle V}$, внутренняя энергия ${\displaystyle U}$, а количество частиц ${\displaystyle N}$:^[1][4]

${\displaystyle {\frac {S}{k_{B}N}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {4\pi m}{3h^{2}}}{\frac {U}{N}}\right)^{3/2}\right]+{\frac {5}{2}}}$

куда

${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ =	Постоянная Больцмана
${\displaystyle m}$ =	Масса частицы газа
${\displaystyle h}$ =	Постоянная Планка

Уравнение также можно выразить через длина тепловой волны ${\displaystyle \Lambda }$:

${\displaystyle {\frac {S}{k_{B}N}}=\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)+{\frac {5}{2}}}$

Кривые зависимости энтропии от температуры для классических и квантовых идеальных газов (Ферми газ, Бозе-газ ) в трех измерениях. Хотя все они хорошо согласуются при высоких температурах, они расходятся при низких температурах, когда классическая энтропия (уравнение Сакура – ​​Тетроде) начинает приближаться к отрицательным значениям.

Для вывода уравнения Сакура – ​​Тетрода см. Парадокс гиббса. Об ограничениях, налагаемых на энтропию идеального газа только термодинамикой, см. идеальный газ статья.

В приведенных выше выражениях предполагается, что газ находится в классическом режиме и описывается уравнением Статистика Максвелла – Больцмана (с «правильным счетом Больцмана»). Из определения длина тепловой волны, это означает, что уравнение Сакура – ​​Тетрода справедливо только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1}$

Фактически энтропия, предсказываемая уравнением Сакура – ​​Тетрода, приближается к отрицательной бесконечности, когда температура приближается к нулю.

Константа Сакура – ​​Тетроде

В Константа Сакура – ​​Тетроде, написано S₀/р, равно S/k_BN оценивается при температуре Т = 1 кельвин, в стандартное давление (100 кПа или 101,325 кПа, необходимо указать) для одного крот идеального газа, состоящего из частиц с массой, равной постоянная атомной массы (м_ты = 1.66053906660(50)×10⁻²⁷ кг^[5]). Его 2018 CODATA рекомендуемое значение:

S₀/р = −1.15170753706(45) за п^о = 100 кПа^[6]

S₀/р = −1.16487052358(45) за п^о = 101,325 кПа.^[7]

Теоретико-информационная интерпретация

В добавок к термодинамическая перспектива энтропии, инструменты теория информации может использоваться для предоставления информационная перспектива энтропии. В частности, можно вывести уравнение Сакура – ​​Тетрода в терминах теории информации. Общая энтропия представлена ​​как сумма четырех индивидуальных энтропий, то есть четырех различных источников недостающей информации. Это позиционная неопределенность, неопределенность импульсов, квантово-механическая принцип неопределенности, а неразличимость частиц.^[8] Суммируя четыре части, уравнение Сакура – ​​Тетрода получается как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {S}{k_{B}N}}&=[\ln V]+\left[{\frac {3}{2}}\ln \left(2\pi mk_{B}T\right)\right]+[-3\ln h]+\left[-{\frac {\ln N!}{N}}\right]\\&\approx \ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {2\pi mk_{B}T}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {5}{2}}\end{aligned}}}$

В выводе используется Приближение Стирлинга, ${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$. Строго говоря, использование аргументов с размерами логарифмов неверно, однако их использование является «ярлыком», сделанным для простоты. Если каждый логарифмический аргумент был разделен на неопределенное стандартное значение, выраженное в терминах неопределенной стандартной массы, длины и времени, эти стандартные значения аннулировались бы в окончательном результате, давая тот же вывод. Отдельные члены энтропии не будут абсолютными, а скорее будут зависеть от выбранных стандартов и будут отличаться для разных стандартов на аддитивную константу.

Рекомендации

1. Шредер, Дэниел В. (1999), Введение в теплофизику, Эддисон Уэсли Лонгман, ISBN  0-201-38027-7
2. Х. Тетроде (1912) «Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum» (Химическая постоянная газов и элементарный квант действия), Annalen der Physik 38: 434–442. См. Также: Х. Тетроде (1912). "Berichtigung zu meiner Arbeit:" Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum "" (Поправка к моей работе: «Химическая постоянная газов и элементарный квант действия»), Annalen der Physik 39: 255–256.
3. Сакур опубликовал свои выводы в следующей серии статей:
   1. О. Сакур (1911) "Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Probleme" (Применение кинетической теории газов к химическим проблемам), Annalen der Physik, 36: 958–980.
   2. О. Сакур, «Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten» (Значение элементарного кванта действия для теории газа и расчета химической постоянной), Festschrift W. Nernst zu seinem 25jährigen Doktorjubiläum gewidmet von seinen Schülern (Галле-ан-дер-Заале, Германия: Вильгельм Кнапп, 1912), страницы 405–423.
   3. О. Сакур (1913) «Die universelle Bedeutung des sog. Elementaren Wirkungsquantums» (универсальное значение так называемого элементарного кванта действия), Annalen der Physik 40: 67–86.
4. Гримус, Уолтер (2013). «100 лет уравнению Сакура – ​​Тетроде». Annalen der Physik. 525 (3): A32 – A35. Дои:10.1002 / andp.201300720. ISSN  0003-3804.
5. «Значение CODATA 2018: постоянная атомной массы». Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности. NIST. 20 мая 2019. Получено 2019-05-20.
6. «Значение CODATA 2018: константа Сакура – ​​Тетроде». Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности. NIST. 20 мая 2019. Получено 2019-05-20.
7. «Значение CODATA 2018: константа Сакура – ​​Тетроде». Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности. NIST. 20 мая 2019. Получено 2019-05-20.
8. Бен-Наим, Арье (2008), Прощание с энтропией: статистическая термодинамика, основанная на информации, Всемирный научный, ISBN  978-981-270-706-2, получено 2017-12-12.

дальнейшее чтение

• Emch, G. G .; Лю, К. (2002), Логика термостатистической физики, Springer-Verlag, Глава 3: Кинетическая теория газов.
• Куцойаннис, Д. (2013), "Физика неопределенности, парадокс Гиббса и неразличимые частицы", Исследования по истории и философии науки Часть B, 44 (4): 480–489, Bibcode:2013ШПМП..44..480К, Дои:10.1016 / j.shpsb.2013.08.007. (Это выводит уравнение Сакура – ​​Тетрода другим способом, также основанным на информации.)
• Paños, F.J .; Перес, Э. (2015), "Уравнение Сакура – ​​Тетроде в лаборатории", Европейский журнал физики, 36 (5): 055033, Bibcode:2015EJPh ... 36e5033J, Дои:10.1088/0143-0807/36/5/055033.
• Уильямс, Ричард (2009), «Уравнение Сакура – ​​Тетрода: как энтропия встречается с квантовой механикой», Новости APS, 18 (8).