Рост подгруппы - Subgroup growth

В математика, рост подгруппы это филиал теория групп, имея дело с количественными вопросами о подгруппы данного группа.^[1]

Позволять ${\displaystyle G}$ быть конечно порожденная группа. Тогда для каждого целого числа ${\displaystyle n}$ определять ${\displaystyle a_{n}(G)}$ быть количеством подгрупп ${\displaystyle H}$ из индекс ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle G}$. Аналогично, если ${\displaystyle G}$ это топологическая группа, ${\displaystyle s_{n}(G)}$ обозначает количество открытых подгрупп ${\displaystyle U}$ индекса ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle G}$. Аналогично определяется ${\displaystyle m_{n}(G)}$ и ${\displaystyle s_{n}^{\triangleleft }(G)}$ для обозначения количества максимальный и нормальные подгруппы индекса ${\displaystyle n}$, соответственно.

Рост подгруппы изучает эти функции, их взаимодействие и характеристику теоретико-групповых свойств в терминах этих функций.

Теория была мотивирована желанием перечислить конечные группы заданного порядка и аналогией с Михаил Громов понятие о рост слова.

Нильпотентные группы

Позволять ${\displaystyle G}$ быть конечно порожденным без кручения нильпотентная группа. Тогда существует серия композиций с бесконечным циклический факторов, которые вызывают биекцию (не обязательно гомоморфизм ).

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow G}$

такие, что групповое умножение может быть выражено полиномиальными функциями в этих координатах; в частности, умножение определяемый. Используя методы из теория моделей из p-адические целые числа, Ф. Грюневальд, Д. Сигал и Дж. Смит показали, что локальная дзета-функция

${\displaystyle \zeta _{G,p}(s)=\sum _{\nu =0}^{\infty }s_{p^{n}}(G)p^{-ns}}$

это рациональная функция в ${\displaystyle p^{-s}}$.

В качестве примера пусть ${\displaystyle G}$ быть дискретным Группа Гейзенберга. У этой группы есть "презентация" с генераторы ${\displaystyle x,\,y,\,z}$ и связи

${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=1.}$

Следовательно, элементы ${\displaystyle G}$ можно представить в виде троек ${\displaystyle (a,\,b,\,c)}$ целых чисел с групповой операцией, заданной

${\displaystyle (a,b,c)\circ (a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').}$

Каждому конечному индексу подгруппа ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle G}$, связать набор всех "хороших баз" ${\displaystyle U}$ следующее. Обратите внимание, что ${\displaystyle G}$ имеет нормальная серия

${\displaystyle G=\langle x,y,z\rangle \triangleright \langle y,z\rangle \triangleright \langle z\rangle \triangleright 1}$

с бесконечным циклический факторы. Тройной ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})\in G}$ называется хорошая основа из ${\displaystyle U}$, если ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}$ генерировать ${\displaystyle U}$, и ${\displaystyle g_{2}\in \langle y,z\rangle ,g_{3}\in \langle z\rangle }$. В общем, определить набор хороших базисов для фиксированной подгруппы довольно сложно. ${\displaystyle U}$. Чтобы преодолеть эту трудность, нужно определить набор всех хороших базисов всех подгрупп конечного индекса и определить, сколько из них принадлежит одной данной подгруппе. Чтобы сделать это точным, нужно вложить группу Гейзенберга над целыми числами в группу над p-адические числа. После некоторых вычислений приходим к формуле

${\displaystyle \zeta _{G,p}(s)={\frac {1}{(1-p^{-1})^{3}}}\int _{\mathcal {M}}|a_{11}|_{p}^{s-1}|a_{22}|_{p}^{s-2}|a_{33}|_{p}^{s-3}\;d\mu ,}$

куда ${\displaystyle \mu }$ это Мера Хаара на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$ обозначает p-адическая абсолютная величина и ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ набор кортежей ${\displaystyle p}$-адические целые числа

${\displaystyle \{a_{11},a_{12},a_{13},a_{22},a_{23},a_{33}\}}$

такой, что

${\displaystyle \{x^{a_{11}}y^{a_{12}}z^{a_{13}},y^{a_{22}}z^{a_{23}},z^{a_{33}}\}}$

является хорошей базой некоторой подгруппы конечного индекса. Последнее условие можно перевести как

${\displaystyle a_{33}|a_{11}\cdot a_{22}}$.

Теперь интеграл можно преобразовать в повторяемую сумму, чтобы получить

${\displaystyle \zeta _{G,p}(s)=\sum _{a\geq 0}\sum _{b\geq 0}\sum _{c=0}^{a+b}p^{-as-b(s-1)-c(s-2)}={\frac {1-p^{3-3s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})(1-p^{2-2s})(1-p^{2-3s})}}}$

где окончательная оценка состоит из повторного применения формулы для значения геометрическая серия. Из этого мы заключаем, что ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ можно выразить через Дзета-функция Римана в качестве

${\displaystyle \zeta _{G}(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)\zeta (2s-2)\zeta (2s-3)}{\zeta (3s-3)}}.}$

Для более сложных примеров вычисления становятся трудными, и в целом нельзя ожидать закрытое выражение за ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$. Местный фактор

${\displaystyle \zeta _{G,p}(s)}$

всегда можно выразить как определяемый ${\displaystyle p}$-адический интеграл. Применение результата Макинтайр по модельной теории ${\displaystyle p}$-адические целые числа, снова выводится, что ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ является рациональной функцией в ${\displaystyle p^{-s}}$. Более того, М. дю Сотуа и Ф. Грюневальд показали, что интеграл можно аппроксимировать формулой Артина L-функции. Используя тот факт, что L-функции Артина голоморфны в окрестности прямой ${\displaystyle \Re (s)=1}$, они показали, что для любой нильпотентной группы без кручения функция ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ является мероморфный в домене

${\displaystyle \Re (s)>\alpha -\delta }$

куда ${\displaystyle \alpha }$ это абсцисса схождения из ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$, и ${\displaystyle \delta }$ - некоторое положительное число и голоморфно в некоторой окрестности ${\displaystyle \Re (s)=\alpha }$. Используя Тауберова теорема Из этого следует

${\displaystyle \sum _{n\leq x}s_{n}(G)\sim x^{\alpha }\log ^{k}x}$

для какого-то реального числа ${\displaystyle \alpha }$ и неотрицательное целое число ${\displaystyle k}$.

Подгруппы конгруэнтности

Рост подгруппы и представления смежных классов

Позволять ${\displaystyle G}$ быть группой, ${\displaystyle U}$ подгруппа индекса ${\displaystyle n}$. потом ${\displaystyle G}$ действует на множестве левых смежные классы из ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle G}$ сдвиг влево:

${\displaystyle g(hU)=(gh)U.}$

Таким образом, ${\displaystyle U}$ вызывает гомоморфизм из ${\displaystyle G}$ в симметричная группа на ${\displaystyle G/U}$. ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на ${\displaystyle G/U}$, и наоборот, при переходном действии ${\displaystyle G}$ на

${\displaystyle \{1,\ldots ,n\},}$

стабилизатор точки 1 является подгруппой индекса ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle G}$. Поскольку набор

${\displaystyle \{2,\ldots ,n\}}$

можно переставить в

${\displaystyle (n-1)!}$

пути, мы находим, что ${\displaystyle s_{n}(G)}$ равно количеству транзитивных ${\displaystyle G}$-действия деленное на ${\displaystyle (n-1)!}$. Среди всего ${\displaystyle G}$-действия, мы можем различать переходные действия просеивающий аргумент, чтобы прийти к следующей формуле

${\displaystyle s_{n}(G)={\frac {h_{n}(G)}{(n-1)!}}-\sum _{\nu =1}^{n-1}{\frac {h_{n-\nu }(G)s_{\nu }(G)}{(n-\nu )!}},}$

куда ${\displaystyle h_{n}(G)}$ обозначает количество гомоморфизмов

${\displaystyle \varphi :G\rightarrow S_{n}.}$

В некоторых случаях функция ${\displaystyle h_{n}(G)}$ легче подойти тогда ${\displaystyle s_{n}(G)}$, и если ${\displaystyle h_{n}(G)}$ становится достаточно большим, сумма незначительного порядка величины, следовательно, получается асимптотический формула для ${\displaystyle s_{n}(G)}$.

В качестве примера пусть ${\displaystyle F_{2}}$ быть свободная группа на двух генераторах. Тогда каждое отображение образующих ${\displaystyle F_{2}}$ продолжается до гомоморфизма

${\displaystyle F_{2}\rightarrow S_{n},}$

то есть

${\displaystyle h_{n}(F_{2})=(n!)^{2}.}$

Из этого мы делаем вывод

${\displaystyle s_{n}(F_{2})\sim n\cdot n!.}$

Для более сложных примеров оценка ${\displaystyle h_{n}(G)}$ включает теория представлений и статистические свойства симметрических групп.

Рекомендации

1. Александр Любоцкий, Дэн Сигал (2003). Рост подгруппы. Birkhäuser. ISBN  3-7643-6989-2.