Тета-переписка - Theta correspondence

В математика, то тета-корреспонденция или же Хау переписка математическая связь между представления из двух группы из редуктивная двойная пара. Локальное тета-соответствие связывает неприводимые допустимые представления через местное поле, а глобальное тета-соответствие связывает неприводимые автоморфные представления через глобальное поле.

Тета-соответствие было введено Роджер Хоу в Хау (1979). Его название возникло из-за его происхождения в Андре Вайль Представление России теоретической формулировкой теории тета-серия в Вейль (1964). В Переписка Шимуры как построено Жан-Лу Вальдспургер в Вальдспургер (1980) и Вальдспургер (1991) можно рассматривать как пример тета-соответствия.

Заявление

Настраивать

Позволять ${\displaystyle F}$ быть локальным или глобальным полем, а не характеристика ${\displaystyle 2}$. Позволять ${\displaystyle W}$ быть симплектическое векторное пространство над ${\displaystyle F}$, и ${\displaystyle Sp(W)}$ то симплектическая группа.

Исправить редуктивная двойная пара ${\displaystyle (G,H)}$ в ${\displaystyle Sp(W)}$. Существует классификация редуктивных дуальных пар.^[1]

Местная тета-переписка

${\displaystyle F}$ теперь местное поле. Зафиксируем нетривиальную добавку персонаж ${\displaystyle \psi }$ из ${\displaystyle F}$. Существует Представительство Вейля из метаплектическая группа ${\displaystyle Mp(W)}$ связано с ${\displaystyle \psi }$, который мы запишем как ${\displaystyle \omega _{\psi }}$.

Учитывая редуктивную двойную пару ${\displaystyle (G,H)}$ в ${\displaystyle Sp(W)}$, получается пара поездка на работу подгруппы ${\displaystyle ({\widetilde {G}},{\widetilde {H}})}$ в ${\displaystyle Mp(W)}$ потянув назад карту проекции из ${\displaystyle Mp(W)}$ к ${\displaystyle Sp(W)}$.

Локальное тета-соответствие - это соответствие 1-1 между некоторыми неприводимыми допустимыми представлениями ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ и некоторые неприводимые допустимые представления ${\displaystyle {\widetilde {H}}}$, полученный ограничением представления Вейля ${\displaystyle \omega _{\psi }}$ из ${\displaystyle Mp(W)}$ в подгруппу ${\displaystyle {\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}}}$. Соответствие определялось Роджер Хоу в Хау (1979). Утверждение, что это соответствие 1-1, называется Гипотеза двойственности Хау.

Глобальная тета-корреспонденция

Стивен Раллис показал версию глобальной гипотезы двойственности Хау для каспидальные автоморфные представления над глобальным полем, предполагая справедливость гипотезы двойственности Хау для всех локальных мест. ^[2]

Гипотеза двойственности Хау

Определять ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}})}$ множество неприводимых допустимых представлений ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$, которые могут быть реализованы как частные от ${\displaystyle \omega _{\psi }}$. Определять ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}})}$ и ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}})}$, так же.

В Гипотеза двойственности Хау утверждает, что ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}})}$ это график взаимно однозначного соответствия между ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {G}})}$ и ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\widetilde {H}})}$.

Гипотеза двойственности Хау для архимед локальные поля были доказаны Роджер Хоу.^[3] За ${\displaystyle p}$-адические локальные поля с ${\displaystyle p}$ странно это было доказано Жан-Лу Вальдспургер.^[4] Позднее Альберто Мингес дал доказательство для двойственных пар типа II, а именно пар общие линейные группы, который работает для произвольной характеристики вычета. .^[5] Для ортогонально-симплектических или унитарных двойственных пар это было доказано Ви Тек Ган и Шуичиро Такеда. ^[6] Последний случай двойственных кватернионных пар был завершен Ви Тек Ган и Binyong Sun.^[7]

Смотрите также

• Редукционная двойная пара
• Метаплектическая группа

Рекомендации

1. Хоу 1979.
2. Раллис 1984.
3. Хау 1989.
4. Вальдспургер 1990.
5. Мингес 2008.
6. Ган и Такеда 2016.
7. Ган и вс 2017.

Библиография

• Ган, Ви Тек; Такеда, Шуичиро (2016), "Доказательство гипотезы двойственности Хау", J. Amer. Математика. Soc., 29 (2): 473–493
• Ган, Ви Тек; Солнце, Биньонг (2017), «Гипотеза двойственности Хау: кватернионный случай», в Cogdell, J .; Kim, J.-L .; Чжу, К.-Б. (ред.), Теория представлений, теория чисел и теория инвариантов, Прогр. Math., 323, Birkhäuser / Springer, стр. 175–192.
• Хау, Роджер Э. (1979), «θ-ряды и теория инвариантов», в Борель, А.; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXIII, Providence, R.I .: Американское математическое общество, стр. 275–285, ISBN  978-0-8218-1435-2, МИСТЕР  0546602
• Хау, Роджер Э. (1989), "Превосходя классическую теорию инвариантов", J. Amer. Математика. Soc., 2 (3): 535–552, Дои:10.2307/1990942, JSTOR  1990942
• Кудла, Стивен С. (1986), «О локальном тета-соответствии», Изобретать. Математика., 83 (2): 229–255
• Мингес, Альберто (2008), "Correspondance de Howe Explicite: paires duales de type II", Анна. Sci. Éc. Норма. Супер., 4, 41 (5): 717–741
• Меглин, Колетт; Виньера, Мари-Франс; Вальдспургер, Жан-Лу (1987), Корреспонденция de Howe sur un corps p-adique, Конспект лекций по математике, 1291, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0082712, ISBN  978-3-540-18699-1, МИСТЕР  1041060
• Раллис, Стивен (1984), "О гипотезе двойственности Хау", Compositio Math., 51 (3): 333–399
• Вальдспургер, Жан-Лу (1980), "Корреспонденция де Шимура", J. Math. Pures Appl., 59 (9): 1–132
• Вальдспургер, Жан-Лу (1990), "Демонстрация единой гипотезы дуалите-де-Хоу в данс ле cas p-adique, p 2", Праздник в честь И. И. Пятецкого-Шапиро по случаю его шестидесятилетия, часть I, Израиль Math. Конф. Proc., 2: 267–324
• Вальдспургер, Жан-Лу (1991), "Соответствия Шимура и кватернионы", Forum Math., 3 (3): 219–307, Дои:10.1515 / form.1991.3.219
• Вайль, Андре (1964), "Sur определенных группировок д'оперов унитаров", Acta Math., 111: 143–211, Дои:10.1007 / BF02391012