Суммарное кольцо фракций - Total ring of fractions

В абстрактная алгебра, то кольцо полного частного,[1] или же общее кольцо дробей,[2] - конструкция, обобщающая понятие поле дробей из область целостности к коммутативные кольца р это может иметь делители нуля. Конструкция закладная р в большем кольце, что дает каждому ненулевому делителю р обратное в большем кольце. Если гомоморфизм из р к новому кольцу должно быть инъективным, никакие другие элементы не могут быть обратными.

Определение

Позволять коммутативное кольцо и пусть - множество элементов, не являющихся делителями нуля в ; тогда это мультипликативно замкнутое множество. Следовательно, мы можем локализовать кольцо на съемочной площадке чтобы получить полное кольцо частных .

Если это домен, тогда а полное кольцо частных совпадает с полем дробей. Это оправдывает обозначение , который иногда используется и для поля дробей, поскольку в случае домена нет двусмысленности.

С в конструкции нет делителей нуля, естественное отображение инъективно, поэтому полное факторкольцо является расширением .

Примеры

Полное кольцо частных кольца продукта - это произведение полных частных колец . В частности, если А и B являются областями целостности, это произведение полей частных.

Полное кольцо частных кольца голоморфные функции на открытой площадке D комплексных чисел - кольцо мероморфные функции на D, даже если D не связано.

В Артинианское кольцо, все элементы суть единицы или делители нуля. Следовательно, множество ненулевых делителей - это группа единиц кольца, , и так . Но поскольку у всех этих элементов уже есть обратные, .

То же самое происходит в коммутативном регулярное кольцо фон Неймана р. Предполагать а в р не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана а = акса для некоторых Икс в р, что дает уравнение а(ха - 1) = 0. Поскольку а не является делителем нуля, ха = 1, показывая а это единица. Снова здесь, .

Полное кольцо дробей редуцированного кольца

Важный факт:

Предложение — Позволять А быть нётером уменьшенное кольцо с минимальными простыми идеалами . потом

Геометрически, это Артинианская схема состоящий (как конечное множество) из общих точек неприводимых компонент .

Доказательство: каждый элемент Q(А) является либо единицей, либо нулевым делителем. Таким образом, любой правильный идеал я из Q(А) должен состоять из нулевых делителей. Поскольку множество нулевых делителей Q(А) является объединением минимальных простых идеалов в качестве Q(А) является уменьшенный, к главное избегание, я должен содержаться в некоторых . Следовательно, идеалы максимальные идеалы Q(А), пересечение которой равно нулю. Таким образом, Китайская теорема об остатках применительно к Q(А), у нас есть:

.

Ну наконец то, это поле вычетов из . Действительно, написание S для мультипликативно замкнутого множества ненулевых делителей в силу точности локализации

,

который уже является полем и поэтому должен быть .

Обобщение

Если коммутативное кольцо и есть ли мультипликативное подмножество в , то локализация все еще можно построить, но гомоморфизм колец из к может не быть инъективным. Например, если , тогда - тривиальное кольцо.

Примечания

  1. ^ Мацумура (1980), стр. 12
  2. ^ Мацумура (1989), стр. 21 год

Рекомендации

  • Хидеюки Мацумура, Коммутативная алгебра, 1980
  • Хидеюки Мацумура, Коммутативная теория колец, 1989