Векторная логика - Vector logic - Wikipedia

Векторная логика^[1][2] является алгебраический модель элементарного логика на основе матричная алгебра. Векторная логика предполагает, что ценности истины карта на векторов, и что монадический и диадический операции выполняются матричными операторами. «Векторная логика» также использовалась для обозначения представления классической логики высказываний как векторного пространства,^[3][4] в котором единичные векторы являются пропозициональными переменными. Логика предикатов может быть представлена ​​как векторное пространство того же типа, в котором оси представляют буквы предикатов. ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle P}$.^[5] В векторном пространстве для логики высказываний начало координат представляет ложное, F, а бесконечная периферия представляет истинное, T, тогда как в пространстве для логики предикатов начало координат представляет «ничто», а периферия представляет бегство из ничего или «что-то». ".

Обзор

Классический двоичный логика представлена ​​небольшим набором математических функций, зависящих от одной (монадической) или двух (диадической) переменных. В двоичном наборе значение 1 соответствует истинный и значение от 0 до ложный. Двузначная векторная логика требует соответствия между истинностными значениями истинный (t) и ложный (f) и два q-мерные нормализованные действительные значения вектор-столбец s и п, следовательно:

${\displaystyle t\mapsto s}$ и${\displaystyle f\mapsto n}$

(куда ${\displaystyle q\geq 2}$ произвольное натуральное число, а "нормализованный" означает, что длина вектора - 1; обычно s и n - ортогональные векторы). Это соответствие порождает пространство векторных истинностных значений: V₂ = {s,п}. Основные логические операции, определенные с помощью этого набора векторов, приводят к матричным операторам.

Операции векторной логики основаны на скалярном произведении между q-мерные векторы-столбцы: ${\displaystyle u^{T}v=\langle u,v\rangle }$: ортонормальность между векторами s и п подразумевает, что ${\displaystyle \langle u,v\rangle =1}$ если ${\displaystyle u=v}$, и ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0}$ если ${\displaystyle u\neq v}$, куда ${\displaystyle u,v\in \{s,n\}}$.

Монадические операторы

Монадические операторы являются результатом приложения ${\displaystyle Mon:V_{2}\to V_{2}}$, а соответствующие матрицы имеют q ряды и q столбцы. Двумя основными монадическими операторами этой двузначной векторной логики являются личность и отрицание:

• Личность: Логический идентификатор личности (п) представлена ​​матрицей ${\displaystyle I=ss^{T}+nn^{T}}$, где сопоставления Продукция Kronecker. Эта матрица работает следующим образом: IP = п, п ∈ V₂; из-за ортогональности s уважение к п, у нас есть ${\displaystyle Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s}$, и наоборот ${\displaystyle In=n}$. Важно отметить, что эта единичная матрица векторной логики обычно не является единичная матрица в смысле матричной алгебры.
• Отрицание: Логическое отрицание ¬п представлен матрицей ${\displaystyle N=ns^{T}+sn^{T}}$ Как следствие, Ns = п и Nn = s. В инволютивный поведение логического отрицания, а именно, что ¬ (¬п) равно п, соответствует тому, что N² = я.

Диадические операторы

16 двузначных диадических операторов соответствуют функциям типа ${\displaystyle Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}}$; диадические матрицы имеют q² ряды и q столбцы. Матрицы, которые выполняют эти диадические операции, основаны на свойствах Кронекер продукт. (Умножая такую ​​диадическую матрицу на ${\displaystyle q\times q}$ матрица дает ${\displaystyle q\times 1}$ столбец, записи которого Внутренние продукты Фробениуса квадратной матрицы блоками того же размера в диадической матрице.)

Два свойства этого продукта существенны для формализма векторной логики:

1. Свойство смешанного продукта

   Если А, B, C и D - матрицы такого размера, что можно формировать матричные произведения AC и BD, тогда

   ${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}$

2. Распределительное транспонирование Операция транспонирования распространяется на произведение Кронекера:
   ${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}$

Используя эти свойства, можно получить выражения для функций диадической логики:

• Соединение. Конъюнкция (p∧q) выполняется матрицей, которая действует на два вектора истинностных значений: ${\displaystyle C(u\otimes v)}$ Эта матрица воспроизводит черты классической таблицы истинности конъюнкции в своей формулировке:

${\displaystyle C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}}$

и проверяет

${\displaystyle C(s\otimes s)=s,}$ и

${\displaystyle C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.}$

• Дизъюнкция. Дизъюнкция (p∨q) выполняется матрицей

${\displaystyle D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$ в результате чего

${\displaystyle D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s}$ и

${\displaystyle D(n\otimes n)=n.}$

• Последствия. Импликация соответствует в классической логике выражению p → q ≡ ¬p ∨ q. Версия этой эквивалентности с векторной логикой приводит к матрице, которая представляет это значение в векторной логике: ${\displaystyle L=D(N\otimes I)}$. Явное выражение для этой импликации:

${\displaystyle L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},}$

и выполняются свойства классической импликации:

${\displaystyle L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s}$ и

${\displaystyle L(s\otimes n)=n.}$

• Эквивалентность и Эксклюзивный или. В векторной логике эквивалентность p≡q представлена ​​следующей матрицей:

${\displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}}$ с

${\displaystyle E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s}$ и

${\displaystyle E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.}$

Исключительное или является отрицанием эквивалентности, ¬ (p≡q); это соответствует матрице ${\displaystyle X=NE}$ данный

${\displaystyle X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$

с ${\displaystyle X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n}$ и

${\displaystyle X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.}$

• NAND и НИ

Матрицы S и п соответствуют Шеффер (NAND) и Пирс (NOR) операции соответственно:

${\displaystyle S=NC}$

${\displaystyle P=ND}$

Закон де Моргана

В двузначной логике операции конъюнкции и дизъюнкции удовлетворяют Закон де Моргана: p∧q≡¬ (¬p∨¬q) и его двойственное: p∨q≡¬ (¬p∧¬q)). Для двузначной векторной логики также проверяется этот Закон:

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)}$, куда ты и v два логических вектора.

Произведение Кронекера подразумевает следующую факторизацию:

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).}$

Тогда можно доказать, что в двумерной векторной логике закон Де Моргана - это закон с участием операторов, а не только закон, касающийся операций:^[6]

${\displaystyle C=ND(N\otimes N)}$

Закон противопоставления

В классическом исчислении высказываний Закон противопоставления п → q ≡ ¬q → ¬п доказано, потому что эквивалентность верна для всех возможных комбинаций истинностных значений п и q.^[7] Вместо этого в векторной логике закон противопоставления возникает из цепочки равенств в рамках правил матричной алгебры и произведений Кронекера, как показано ниже:

${\displaystyle L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=}$

${\displaystyle D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)}$

Этот результат основан на том, что D, матрица дизъюнкции, представляет собой коммутативную операцию.

Многозначная двумерная логика

Многозначная логика был разработан многими исследователями, в частности Ян Лукасевич и позволяет расширить логические операции до значений истинности, которые включают неопределенности.^[8] В случае двузначной векторной логики неопределенности в значениях истинности могут быть введены с использованием векторов с s и п взвешенные по вероятностям.

Позволять ${\displaystyle f=\epsilon s+\delta n}$, с ${\displaystyle \epsilon ,\delta \in [0,1],\epsilon +\delta =1}$ быть такого рода «вероятностными» векторами. Здесь вводится многозначный характер логики. апостериорный через неопределенности, внесенные во входные данные.^[1]

Скалярные проекции векторных выходов

Результаты этой многозначной логики могут быть спроецированы на скалярные функции и порождают определенный класс вероятностной логики, схожей с многозначной логикой Райхенбаха.^[9][10][11] Учитывая два вектора ${\displaystyle u=\alpha s+\beta n}$ и ${\displaystyle v=\alpha 's+\beta 'n}$ и диадическая логическая матрица ${\displaystyle G}$, скалярная вероятностная логика обеспечивается проекцией на векторs:

${\displaystyle Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )}$

Вот основные результаты этих прогнозов:

${\displaystyle NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha }$

${\displaystyle OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '}$

${\displaystyle AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '}$

${\displaystyle IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')}$

${\displaystyle XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '}$

Связанные отрицания:

${\displaystyle NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')}$

Если скалярные значения принадлежат множеству {0, ½, 1}, эта многозначная скалярная логика для многих операторов почти идентична 3-значной логике Лукасевича. Кроме того, было доказано, что когда монадические или диадические операторы действуют над вероятностными векторами, принадлежащими этому набору, выход также является элементом этого набора.^[6]

История

Ранние попытки использовать линейную алгебру для представления логических операций можно отнести к Пирс и Copilowish,^[12] особенно в использовании логические матрицы интерпретировать исчисление отношений.

Подход был вдохновлен нейронная сеть модели, основанные на использовании многомерных матриц и векторов.^[13][14] Векторная логика - это прямой перевод в матрично-векторный формализм классической Булевы полиномы.^[15] Такой формализм был применен для разработки нечеткая логика с точки зрения сложные числа.^[16] Другие матричный и векторный подходы к логическому исчислению были разработаны в рамках квантовая физика, Информатика и оптика.^[17][18]

В Индийский биофизик Г. Рамачандран разработал формализм с использованием алгебраических матриц и векторов для представления многих операций классической джайнской логики, известных как Syad и Saptbhangi. Индийская логика.^[19] Он требует независимых подтверждающих свидетельств для каждого утверждения в предложении и не делает предположений о бинарном дополнении.

Булевы полиномы

Джордж Буль установил развитие логических операций как многочленов.^[15] В случае монадических операторов (таких как личность или жеотрицание ) булевы полиномы выглядят следующим образом:

${\displaystyle f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)}$

Четыре различных монадических операции являются результатом разных двоичных значений коэффициентов. Операция идентификации требует ж(1) = 1 и ж(0) = 0, и отрицание происходит, если ж(1) = 0 и ж(0) = 1. Для 16 диадических операторов булевы многочлены имеют вид:

${\displaystyle f(x,y)=f(1,1)xy+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(0,0)(1-x)(1-y)}$

Диадические операции могут быть переведены в этот полиномиальный формат, когда коэффициенты ж принять значения, указанные в соответствующих таблицы истинности. Например: NAND операция требует, чтобы:

${\displaystyle f(1,1)=0}$ и ${\displaystyle f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=1}$.

Эти булевы полиномы могут быть немедленно расширены до любого числа переменных, создавая большое потенциальное разнообразие логических операторов. В векторной логике матрично-векторная структура логических операторов является точным переводом в формат линейной алгебры этих булевых полиномов, где то Икс и 1−Икс соответствуют векторам s и п соответственно (то же для у и 1−у). В примере с NAND, ж(1,1)=п и ж(1,0)=ж(0,1)=ж(0,0)=s и версия матрицы становится:

${\displaystyle S=n(s\otimes s)^{T}+s[(s\otimes n)^{T}+(n\otimes s)^{T}+(n\otimes n)^{T}]}$

Расширения

• Векторная логика может быть расширена для включения множества значений истинности, поскольку большие размерные векторные пространства позволяют создавать множество ортогональных значений истинности и соответствующие логические матрицы.^[2]
• Логические модальности могут быть полностью представлены в этом контексте с рекурсивным процессом, вдохновленным нейронные модели.^[2][20]
• Некоторые когнитивные проблемы, связанные с логическими вычислениями, могут быть проанализированы с использованием этого формализма, в частности, рекурсивные решения. Любое логическое выражение классического исчисления высказываний может быть естественно представлено в виде древовидная структура.^[7] Этот факт сохраняется в векторной логике и частично используется в нейронных моделях, направленных на исследование разветвленной структуры естественных языков.^{[21][22][23][24][25][26]}
• Вычисление с помощью обратимых операций как Фредкин ворота могут быть реализованы в векторной логике. Такая реализация обеспечивает явные выражения для матричных операторов, которые производят формат ввода и фильтрацию вывода, необходимую для получения вычислений.^[2][6]
• Элементарные клеточные автоматы могут быть проанализированы с использованием операторной структуры векторной логики; этот анализ приводит к спектральному разложению законов, управляющих его динамикой.^[27][28]
• Кроме того, на основе этого формализма разработано дискретное дифференциальное и интегральное исчисление.^[29]

Смотрите также

• Алгебраическая логика
• Булева алгебра
• Исчисление высказываний
• Квантовая логика
• Джонатан Вестфаль

Рекомендации

1. Мизраджи, Э. (1992). Векторная логика: матрично-векторное представление логического исчисления. Нечеткие множества и системы, 50, 179–185
2. Мизраджи, Э. (2008) Векторная логика: естественное алгебраическое представление фундаментальных логических элементов. Журнал логики и вычислений, 18, 97–121.
3. Вестфаль Дж. И Харди Дж. (2005) Логика как векторная система. Журнал логики и вычислений, 751-765
4. Вестфаль, Дж. Колфилд, Х. Дж. Харди, Дж. И Цянь, Л. (2005) Доказательство теорем оптической векторной логики. Труды Объединенной конференции по информационным системам, фотонике, сетевым технологиям и вычислительной технике.
5. Вестфаль, Дж (2010). Применение теории векторов к силлогистической логике. Новые перспективы на площади оппозиции, Берн, Питер Ланг.
6. Мизраджи, Э. (1996) Операторы векторной логики. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39
7. Суппес, П. (1957) Введение в логику, Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк.
8. Лукасевич, Дж. (1980) Избранные произведения. Л. Борковский, ред., С. 153–178. Северная Голландия, Амстердам, 1980 г.
9. Решер Н. (1969) Многозначная логика. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк
10. Blanché, R. (1968) Введение в Logique Contemporaine, Арман Колен, Париж
11. Клир Г.Дж., Юань Г. (1995) Нечеткие множества и нечеткая логика. Прентис-Холл, Нью-Джерси
12. Копиловиш И.М. (1948) Матричное развитие исчисления отношений. Журнал символической логики, 13, 193–203
13. Кохонен Т. (1977) Ассоциативная память: теоретико-системный подход. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк
14. Мизраджи, Э. (1989) Контекстно-зависимые ассоциации в линейно распределенных воспоминаниях. Вестник математической биологии, 50, 195–205.
15. Бул, Г. (1854) Исследование законов мысли, на которых основаны теории логики и вероятностей. Макмиллан, Лондон, 1854 г .; Дувр, New York Reedition, 1958 г.
16. Дик, С. (2005) К сложной нечеткой логике. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 15 405–414, 2005 г.
17. Миттельштадт, П. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, Mannheim
18. Стерн А. (1988) Матричная логика: теория и приложения. Северная Голландия, Амстердам
19. Джайн, М. (2011) Логика основанных на доказательствах предположений вывода, Current Science, 1663–1672, 100
20. Мизраджи, Э. (1994) Модальности в векторной логике В архиве 2014-08-11 в Wayback Machine. Журнал Нотр-Дам по формальной логике, 35, 272–283.
21. Мизраджи, Э., Лин, Дж. (2002) Динамика логических решений. Physica D, 168–169, 386–396
22. Бейм Грабен, П., Поттхаст, Р. (2009). Обратные задачи динамического когнитивного моделирования. Хаос, 19, 015103
23. Бейм Грабен, П., Пиноцис, Д., Сэдди, Д., Поттхаст, Р. (2008). Языковая обработка с динамическими полями. Cogn. Нейродин., 2, 79–88
24. Бейм Грабен, П., Герт, С., Васишт, С. (2008) К динамическим системным моделям связанных с языком потенциалов мозга. Cogn. Нейродин., 2, 229–255
25. Бейм Грабен, П., Герт, С. (2012) Геометрические представления минималистских грамматик. Журнал логики, языка и информации, 21, 393-432.
26. Бинацци, А. (2012) Cognizione logica e modelli mentali. Studi sulla formazione, 1–2012, pag. 69–84
27. Мизраджи, Э. (2006) Части и целое: изучение того, как взаимодействие простых подсистем порождает сложность. Международный журнал общих систем, 35, стр. 395–415.
28. Аррути, К., Мизраджи, Э. (2006) Скрытые возможности. Международный журнал общих систем, 35, 461–469.
29. Мизраджи, Э. (2015) Дифференциальное и интегральное исчисление для логических операций. Матрично-векторный подход Журнал логики и вычислений 25, 613-638, 2015