Формула Вальдспургера - Waldspurger formula

В теория представлений математики Формула Вальдспургера связывает особые ценности из двух L-функции двух связанных допустимый неприводимые представления. Позволять k быть базовым полем, ж быть автоморфная форма над k, π - представление, связанное через Соответствие Жаке – Ленглендса с ж. Горо Шимура (1976) доказали эту формулу, когда ${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$ и ж это куспид; Гюнтер Хардер сделал то же открытие в то же время в неопубликованной статье. Мари-Франс Виньера (1980) доказали эту формулу, когда {${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$ и ж это новая форма. Жан-Лу Вальдспургер, для которого формула названа, опровергла и обобщила результат Виньераса в 1985 году с помощью совершенно другого метода, который впоследствии широко использовался математиками для доказательства аналогичных формул.

Заявление

Позволять ${\displaystyle k}$ быть числовое поле, ${\displaystyle \mathbb {A} }$ быть его адель кольцо, ${\displaystyle k^{\times }}$ быть подгруппа обратимых элементов ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }}$ - подгруппа обратимых элементов ${\displaystyle \mathbb {A} }$, ${\displaystyle \chi ,\chi _{1},\chi _{2}}$ быть тремя квадратичными символами над ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }/k^{\times }}$, ${\displaystyle G=SL_{2}(k)}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G)}$ быть пространством для всех бугорки над ${\displaystyle G(k)\backslash G(\mathbb {A} )}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ быть Алгебра Гекке из ${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$. Предположить, что, ${\displaystyle \pi }$ допустимое неприводимое представление из ${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$ к ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G)}$, то центральный персонаж π тривиально, ${\displaystyle \pi _{\nu }\sim \pi [h_{\nu }]}$ когда ${\displaystyle \nu }$ это архимедово место, ${\displaystyle {A}}$ является подпространством ${\displaystyle {{\mathcal {A}}(G)}}$ такой, что ${\displaystyle \pi |_{\mathcal {H}}:{\mathcal {H}}\to A}$. Мы предполагаем далее, что, ${\displaystyle \varepsilon (\pi \otimes \chi ,1/2)}$ Ленглендс ${\displaystyle \varepsilon }$-постоянный [ (Langlands 1970 ); (Делинь 1972 ) ] связано с ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \chi }$ в ${\displaystyle s=1/2}$. Существует ${\displaystyle {\gamma \in k^{\times }}}$ такой, что ${\displaystyle k(\chi )=k({\sqrt {\gamma }})}$.

Определение 1. Символ Лежандра ${\displaystyle \left({\frac {\chi }{\pi }}\right)=\varepsilon (\pi \otimes \chi ,1/2)\cdot \varepsilon (\pi ,1/2)\cdot \chi (-1).}$

• Комментарий. Поскольку все члены справа либо имеют значение +1, либо имеют значение -1, член слева может принимать значение только в наборе {+1, -1}.

Определение 2. Пусть ${\displaystyle {D_{\chi }}}$ быть дискриминант из ${\displaystyle \chi }$. ${\displaystyle p(\chi )=D_{\chi }^{1/2}\sum _{\nu {\text{ archimedean}}}\left\vert \gamma _{\nu }\right\vert _{\nu }^{h_{\nu }/2}.}$

Определение 3. Пусть ${\displaystyle f_{0},f_{1}\in A}$. ${\displaystyle b(f_{0},f_{1})=\int _{x\in k^{\times }}f_{0}(x)\cdot {\overline {f_{1}(x)}}\,dx.}$

Определение 4. Пусть ${\displaystyle {T}}$ быть максимальный тор из ${\displaystyle {G}}$, ${\displaystyle {Z}}$ быть центром ${\displaystyle {G}}$, ${\displaystyle \varphi \in A}$. ${\displaystyle \beta (\varphi ,T)=\int _{t\in Z\backslash T}b(\pi (t)\varphi ,\varphi )\,dt.}$

• Комментарий. Однако не очевидно, что функция ${\displaystyle \beta }$ является обобщением Сумма Гаусса.

Позволять ${\displaystyle K}$ поле такое, что ${\displaystyle k(\pi )\subset K\subset \mathbb {C} }$. Можно выбрать K-подпространство${\displaystyle {A^{0}}}$ из ${\displaystyle A}$ такой, что (я) ${\displaystyle A=A^{0}\otimes _{K}\mathbb {C} }$; (ii) ${\displaystyle (A^{0})^{\pi (G)}=A^{0}}$. Де-факто есть только один такой ${\displaystyle A^{0}}$ по модулю гомотетии. Позволять ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ - два максимальных тора ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle \chi _{T_{1}}=\chi _{1}}$ и ${\displaystyle \chi _{T_{2}}=\chi _{2}}$. Мы можем выбрать два элемента ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ из ${\displaystyle A^{0}}$ такой, что ${\displaystyle \beta (\varphi _{1},T_{1})\neq 0}$ и ${\displaystyle \beta (\varphi _{2},T_{2})\neq 0}$.

Определение 5. Пусть ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ быть дискриминантами ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2}}$.

${\displaystyle p(\pi ,\chi _{1},\chi _{2})=D_{1}^{-1/2}D_{2}^{1/2}L(\chi _{1},1)^{-1}L(\chi _{2},1)L(\pi \otimes \chi _{1},1/2)L(\pi \otimes \chi _{2},1/2)^{-1}\beta (\varphi _{1},T_{1})^{-1}\beta (\varphi _{2},T_{2}).}$

• Комментарий. Когда ${\displaystyle \chi _{1}=\chi _{2}}$, правая часть определения 5 становится тривиальной.

Мы принимаем ${\displaystyle \Sigma _{f}}$ быть множеством {все конечные ${\displaystyle k}$-места ${\displaystyle \nu \mid \ \pi _{\nu }}$ не отображает ненулевые векторы, инвариантные под действием ${\displaystyle {GL_{2}(k_{\nu })}}$ до нуля}, ${\displaystyle {\Sigma _{s}}}$ быть набором {всех ${\displaystyle k}$-места ${\displaystyle \nu \mid \nu }$ является реальным или конечным и особенным}.

Теорема [(Вальдспургер 1985 ), Теор.4, с. 235]. Позволять ${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$. Мы предполагаем, что, (i) ${\displaystyle L(\pi \otimes \chi _{2},1/2)\neq 0}$; (ii) для ${\displaystyle \nu \in \Sigma _{s}}$, ${\displaystyle \left({\frac {\chi _{1,\nu }}{\pi _{\nu }}}\right)=\left({\frac {\chi _{2,\nu }}{\pi _{\nu }}}\right)}$ . Тогда существует постоянная ${\displaystyle {q\in \mathbb {Q} (\pi )}}$ такой, что

${\displaystyle L(\pi \otimes \chi _{1},1/2)L(\pi \otimes \chi _{2},1/2)^{-1}=qp(\chi _{1})p(\chi _{2})^{-1}\prod _{\nu \in \Sigma _{f}}p(\pi _{\nu },\chi _{1,\nu },\chi _{2,\nu })}$

Комментарии:

• (i) Формула в теореме - хорошо известная формула Вальдспургера. Он носит глобально-локальный характер, слева - глобальная часть, справа - локальная часть. К 2017 году математики часто называют это классической формулой Вальдспургера.
• (ii) Стоит отметить, что, когда два символа равны, формулу можно значительно упростить.
• (iii) [(Вальдспургер 1985 ), Теор.6, с. 241] Когда один из двух символов ${\displaystyle {1}}$, Формула Вальдспургера становится намного проще. Без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle \chi _{1}=\chi }$ и ${\displaystyle \chi _{2}=1}$. Тогда есть элемент ${\displaystyle {q\in \mathbb {Q} (\pi )}}$ такой, что ${\displaystyle L(\pi \otimes \chi ,1/2)L(\pi ,1/2)^{-1}=qD_{\chi }^{1/2}.}$

Случай, когда ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}(T)}$ и ${\displaystyle \varphi }$ это метаплектическая форма острия

Пусть p - простое число, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ быть полем с п элементы ${\displaystyle R=\mathbb {F} _{p}[T],k=\mathbb {F} _{p}(T),k_{\infty }=\mathbb {F} _{p}((T^{-1})),o_{\infty }}$ быть целочисленное кольцо из ${\displaystyle k_{\infty },{\mathcal {H}}=PGL_{2}(k_{\infty })/PGL_{2}(o_{\infty }),\Gamma =PGL_{2}(R)}$. Предположить, что, ${\displaystyle N,D\in R}$, D есть свободный от квадратов четной степени и взаимно просты с N, то простые множители из ${\displaystyle N}$ является ${\displaystyle \prod _{\ell }\ell ^{\alpha _{\ell }}}$. Мы принимаем ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ к набору ${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma \mid c\equiv 0{\bmod {N}}\right\},}$ ${\displaystyle S_{0}(\Gamma _{0}(N))}$ быть набором всех куспидов уровня N и глубиной 0. Предположим, что, ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{1},\varphi _{2}\in S_{0}(\Gamma _{0}(N))}$.

Определение 1. Пусть ${\displaystyle \left({\frac {c}{d}}\right)}$ быть Символ Лежандра из c по модулю d, ${\displaystyle {\widetilde {SL}}_{2}(k_{\infty })=Mp_{2}(k_{\infty })}$. Метаплектический морфизм ${\displaystyle \eta :SL_{2}(R)\to {\widetilde {SL}}_{2}(k_{\infty }),{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto \left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\left({\frac {c}{d}}\right)\right).}$

Определение 2. Пусть ${\displaystyle z=x+iy\in {\mathcal {H}},d\mu ={\frac {dx\,dy}{\left\vert y\right\vert ^{2}}}}$. Внутренний продукт Петерсона ${\displaystyle \langle \varphi _{1},\varphi _{2}\rangle =[\Gamma :\Gamma _{0}(N)]^{-1}\int _{\Gamma _{0}(N)\backslash {\mathcal {H}}}\varphi _{1}(z){\overline {\varphi _{2}(z)}}\,d\mu .}$

Определение 3. Пусть ${\displaystyle n,P\in R}$. Сумма Гаусса ${\displaystyle G_{n}(P)=\sum _{r\in R/PR}\left({\frac {r}{P}}\right)e(rnT^{2}).}$

Позволять ${\displaystyle \lambda _{\infty ,\varphi }}$ - собственное значение Лапласа ${\displaystyle \varphi }$. Есть постоянный ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ такой, что ${\displaystyle \lambda _{\infty ,\varphi }={\frac {e^{-i\theta }+e^{i\theta }}{\sqrt {p}}}.}$

Определение 4. Предположим, что ${\displaystyle v_{\infty }(a/b)=\deg(a)-\deg(b),\nu =v_{\infty }(y)}$. Функция Уиттекера

${\displaystyle W_{0,i\theta }(y)={\begin{cases}{\frac {\sqrt {p}}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\left[\left({\frac {e^{i\theta }}{\sqrt {p}}}\right)^{\nu -1}-\left({\frac {e^{-i\theta }}{\sqrt {p}}}\right)^{\nu -1}\right],&{\text{when }}\nu \geq 2;\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$.

Определение 5. Разложение Фурье – Уиттекера. ${\displaystyle \varphi (z)=\sum _{r\in R}\omega _{\varphi }(r)e(rxT^{2})W_{0,i\theta }(y).}$. Один звонит ${\displaystyle \omega _{\varphi }(r)}$ коэффициенты Фурье – Уиттекера ${\displaystyle \varphi }$.

Определение 6. Оператор Аткина – Ленера ${\displaystyle W_{\alpha _{\ell }}={\begin{pmatrix}\ell ^{\alpha _{\ell }}&b\\N&\ell ^{\alpha _{\ell }}d\end{pmatrix}}}$ с ${\displaystyle \ell ^{2\alpha _{\ell }}d-bN=\ell ^{\alpha _{\ell }}.}$

Определение 7. Предположим, что, ${\displaystyle \varphi }$ это Собственная форма Гекке. Собственное значение Аткина – Ленера ${\displaystyle w_{\alpha _{\ell },\varphi }={\frac {\varphi (W_{\alpha _{\ell }}z)}{\varphi (z)}}}$ с ${\displaystyle w_{\alpha _{\ell },\varphi }=\pm 1.}$

Определение 8. ${\displaystyle L(\varphi ,s)=\sum _{r\in R\backslash \{0\}}{\frac {\omega _{\varphi }(r)}{\left\vert r\right\vert _{p}^{s}}}.}$

Позволять ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{0}({\widetilde {\Gamma }}_{0}(N))}$ быть метаплектической версией ${\displaystyle S_{0}(\Gamma _{0}(N))}$, ${\displaystyle \{E_{1},\ldots ,E_{d}\}}$ быть хорошим собственным основанием для Хекке ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{0}({\widetilde {\Gamma }}_{0}(N))}$ с уважением к Внутренний продукт Петерсона. Отметим Переписка Шимуры к ${\displaystyle \operatorname {Sh} .}$

Теорема [(Алтуг, Цимерман 2010 ), Теор. 5.1, с. 60]. Предположим, что ${\displaystyle K_{\varphi }={\frac {1}{{\sqrt {p}}({\sqrt {p}}-e^{-i\theta })({\sqrt {p}}-e^{i\theta })}}}$, ${\displaystyle \chi _{D}}$ квадратичный характер с ${\displaystyle \Delta (\chi _{D})=D}$. потом

${\displaystyle \sum _{\operatorname {Sh} (E_{i})=\varphi }\left\vert \omega _{E_{i}}(D)\right\vert _{p}^{2}={\frac {K_{\varphi }G_{1}(D)\left\vert D\right\vert _{p}^{-3/2}}{\langle \varphi ,\varphi \rangle }}L(\varphi \otimes \chi _{D},1/2)\prod _{\ell }\left(1+\left({\frac {\ell ^{\alpha _{\ell }}}{D}}\right)w_{\alpha _{\ell },\varphi }\right).}$

Рекомендации

• Waldspurger, Жан-Лу (1985), "Sur les valeurs de surees L-fonctions automorphes en leur center de symétrie", Compositio Mathematica, 54 (2): 173–242
• Виньера, Мари-Франс (1981), «Валер в центре симметрии функций L associées aux formes modulaire», Семинария Теории Номбр, Париж, 1979–1980 годы, Progress in Math., Birkhäuser, стр. 331–356.
• Шимура, Горо (1976), "О специальных значениях дзета-функций, связанных с формами возврата", Сообщения по чистой и прикладной математике., 29: 783–804
• Алтуг, Салим Али; Цимерман, Джейкоб (2010). «Метаплектическая гипотеза Рамануджана над функциональными полями с приложениями к квадратичным формам». arXiv:1008.0430v3.
• Лэнглендс, Роберт (1970). О функциональном уравнении L-функций Артина..
• Делинь, Пьер (1972). "Les constantes des équations fonctionelle des fonctions L". Модульные функции одной переменной II. Международная летняя школа по модульным функциям. Антверпен. С. 501–597.