Теорема Виртингерса о представлении и проекции - Wirtingers representation and projection theorem - Wikipedia

В математике Представление и проекционная теорема Виртингера это теорема доказано Вильгельм Виртингер в 1932 г. в связи с некоторыми проблемами теория приближения. Эта теорема дает формулу представления для голоморфный подпространство ${\displaystyle \left.\right.H_{2}}$ простой, невзвешенной голоморфной Гильбертово пространство ${\displaystyle \left.\right.L^{2}}$ функций квадратично интегрируемый по поверхности единичного диска ${\displaystyle \left.\right.\{z:|z|<1\}}$ из комплексная плоскость, наряду с формой ортогональная проекция из ${\displaystyle \left.\right.L^{2}}$ к ${\displaystyle \left.\right.H_{2}}$.

Бумага Виртингера ^[1] содержит следующую теорему, представленную также в Джозеф Л. Уолш известная монография^[2](стр. 150) с другим доказательством. Если ${\displaystyle \left.\right.\left.F(z)\right.}$ из класса ${\displaystyle \left.\right.L^{2}}$ на ${\displaystyle \left.\right.|z|<1}$, т.е.

${\displaystyle \iint _{|z|<1}|F(z)|^{2}\,dS<+\infty ,}$

куда ${\displaystyle \left.\right.dS}$ это элемент площади, то единственная функция ${\displaystyle \left.\right.f(z)}$ голоморфного подкласса ${\displaystyle H_{2}\subset L^{2}}$, так что

${\displaystyle \iint _{|z|<1}|F(z)-f(z)|^{2}\,dS}$

наименьший, дается

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|\zeta |<1}F(\zeta ){\frac {dS}{(1-{\overline {\zeta }}z)^{2}}},\quad |z|<1.}$

Последняя формула дает форму ортогональной проекции из ${\displaystyle \left.\right.L^{2}}$ к ${\displaystyle \left.\right.H_{2}}$. Кроме того, замена ${\displaystyle \left.\right.F(\zeta )}$ к ${\displaystyle \left.\right.f(\zeta )}$ делает его представителем Wirtinger для всех ${\displaystyle f(z)\in H_{2}}$. Это аналог известного Интегральная формула Коши с квадратом ядра Коши. Позже, после 1950-х годов, степень ядра Коши была названа воспроизводящее ядро, а обозначение ${\displaystyle \left.\right.A_{0}^{2}}$ стал обычным делом для класса ${\displaystyle \left.\right.H_{2}}$.

В 1948 г. Мхитар Джрбашян^[3] расширенное представление Виртингера и проекция на более широкие весовые гильбертовы пространства ${\displaystyle \left.\right.A_{\alpha }^{2}}$ функций ${\displaystyle \left.\right.f(z)}$ голоморфный по ${\displaystyle \left.\right.|z|<1}$, удовлетворяющие условию

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{2}}=\left\{{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}|f(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\alpha -1}\,dS\right\}^{1/2}<+\infty {\text{ for some }}\alpha \in (0,+\infty ),}$

а также к некоторым гильбертовым пространствам целых функций. Распространение этих результатов на некоторые взвешенные ${\displaystyle \left.\right.A_{\omega }^{2}}$ пространства функций, голоморфных в ${\displaystyle \left.\right.|z|<1}$ и аналогичные пространства целых функций, объединения которых соответственно совпадают с все функции, голоморфные в ${\displaystyle \left.\right.|z|<1}$ и весь набор целых функций можно увидеть в.^[4]

Смотрите также

• Джербашян, А. М .; Закарян В.С. (2009). "Современное развитие теории факторизации М. М. Джрбашяна и смежные проблемы анализа". Изв. НАН Армении, Математика (английский перевод: Журнал современного математического анализа). 44 (6).

Рекомендации

1. Wirtinger, W. (1932). «Uber eine Minimumaufgabe im Gebiet der analytischen Functionen». Monatshefte für Mathematik und Physik. 39: 377–384. Дои:10.1007 / bf01699078.
2. Уолш, Дж. Л. (1956). «Интерполяция и приближение рациональными функциями в комплексной области». Амер. Математика. Soc. Coll. Publ. XX. Анн-Арбор, Мичиган: Edwards Brothers, Inc.
3. Джрбашян, М.М. (1948). «К проблеме представимости аналитических функций» (PDF). Сообщ. Inst. Матем. я мех. Акад. Наук Арм. ССР. 2: 3–40.
4. Джербашян, А. М. (2005). «К теории взвешенных классов регулярных функций, интегрируемых по площади». Комплексные переменные. 50: 155–183. Дои:10.1080/02781070500032846.