Мировое многообразие - World manifold

В теория гравитации, а мировое многообразие наделен некоторыми Лоренциан псевдориманова метрика и связанная с ним пространственно-временная структура - это пространство-время. Теория гравитации формулируется как классическая теория поля на натуральные пучки над мировым многообразием.

Топология

Мировое многообразие - это четырехмерное ориентируемый настоящий гладкое многообразие. Предполагается, что это Хаусдорф и второй счетный топологическое пространство. Следовательно, это локально компактное пространство которое представляет собой объединение счетного числа компактных подмножеств, a отделяемое пространство, а паракомпакт и полностью регулярное пространство. Будучи паракомпактным, мировое многообразие допускает разбиение единицы гладкими функциями. Паракомпактность - важнейшая характеристика мирового многообразия. Это необходимо и достаточно для того, чтобы мировое многообразие допускало Риманова метрика и необходим для существования псевдоримановой метрики. Предполагается, что мировое многообразие связаны и, следовательно, это соединенный по дуге.

Риманова структура

В касательный пучок ${ displaystyle TX}$ мирового многообразия ${ displaystyle X}$ и связанные главный комплект кадров ${ Displaystyle FX}$ линейных касательных реперов в ${ displaystyle TX}$ обладать общая линейная группа структурная группа ${ Displaystyle GL ^ {+} (4, mathbb {R})}$ . Мировое многообразие ${ displaystyle X}$ как говорят распараллеливаемый если касательный пучок ${ displaystyle TX}$ и, соответственно, комплект кадров ${ Displaystyle FX}$ тривиальны, т.е. существует глобальное сечение (a поле кадра ) из ${ Displaystyle FX}$ . Существенно, что касательное и присоединенное расслоения над мировым многообразием допускают связать атлас конечного числа карт тривиализации.

Касательные и реперные расслоения над мировым многообразием натуральные пучки был характеризован общековариантные преобразования. Эти преобразования калибровочные симметрии теории гравитации на мировом многообразии.

В силу известной теоремы о редукция структурной группы, структурная группа ${ Displaystyle GL ^ {+} (4, mathbb {R})}$ комплекта кадров ${ Displaystyle FX}$ над мировым многообразием ${ displaystyle X}$ всегда сводится к своей максимальной компактной подгруппе ${ Displaystyle SO (4)}$ . Соответствующее глобальное сечение фактор-расслоения ${ Displaystyle FX / SO (4)}$ является римановой метрикой ${ displaystyle g ^ {R}}$ на ${ displaystyle X}$ . Таким образом, мировое многообразие всегда допускает риманову метрику, которая делает ${ displaystyle X}$ а метрическое топологическое пространство.

Лоренцева структура

В соответствии с геометрический принцип эквивалентности, мировое многообразие обладает Лоренцева структура, т.е. структурная группа связки фреймов ${ Displaystyle FX}$ должен быть сведен к Группа Лоренца ${ Displaystyle SO (1,3)}$ . Соответствующее глобальное сечение фактор-расслоения ${ Displaystyle FX / SO (1,3)}$ псевдориманова метрика ${ displaystyle g}$ подписи ${ displaystyle (+, ---)}$ на ${ displaystyle X}$ . Это рассматривается как гравитационное поле в Общая теория относительности и как классическое поле Хиггса в калибровочная теория гравитации.

Нет необходимости в лоренцевой структуре. Следовательно, предполагается, что мировое многообразие удовлетворяет определенному топологическому условию. Это либо некомпактное топологическое пространство, либо компакт с нулем Эйлерова характеристика. Обычно также требуется, чтобы мировое многообразие допускало спинорная структура чтобы описать Фермионные поля Дирака в теории гравитации. Существует дополнительное топологическое препятствие к существованию этой структуры. В частности, некомпактное мировое многообразие должно быть распараллеливаемым.

Пространственно-временная структура

Если структурная группа комплекта кадров ${ Displaystyle FX}$ сводится к группе Лоренца, последняя всегда сводится к своей максимальной компактной подгруппе ${ displaystyle SO (3)}$ . Таким образом, существует коммутативная диаграмма

{ Displaystyle GL (4, mathbb {R}) к SO (4)}

{ Displaystyle downarrow qquad qquad qquad quad downarrow}

{ Displaystyle SO (1,3) к SO (3)}

редукции структурных групп пучка кадров ${ Displaystyle FX}$ теория гравитации. Эта диаграмма редукции приводит к следующему.

(i) В теории гравитации на мировом многообразии ${ displaystyle X}$ , всегда можно выбрать атлас комплекта кадров ${ Displaystyle FX}$ (характеризуется локальными полями кадра ${ Displaystyle {ч ^ { lambda} }}$ ) с ${ displaystyle SO (3)}$ -значные переходные функции. Эти функции перехода сохраняют временную составляющую ${ displaystyle h_ {0} = h_ {0} ^ { mu} partial _ { mu}}$ локальных полей кадра, которые, следовательно, определяются глобально. Это никуда не исчезающее векторное поле на ${ displaystyle X}$ . Соответственно, дуальное времяподобное ковекторное поле ${ displaystyle h ^ {0} = h _ { lambda} ^ {0} dx ^ { lambda}}$ также определяется глобально и дает пространственное распределение ${ displaystyle { mathfrak {F}} subset TX}$ на ${ displaystyle X}$ такой, что ${ displaystyle h ^ {0} rfloor { mathfrak {F}} = 0}$ . Тогда касательное расслоение ${ displaystyle TX}$ мирового многообразия ${ displaystyle X}$ допускает пространственно-временное разложение ${ Displaystyle TX = { mathfrak {F}} oplus T ^ {0} X}$ , куда ${ displaystyle T ^ {0} X}$ - одномерное расслоение, натянутое на времяподобное векторное поле ${ displaystyle h_ {0}}$ . Это разложение называется ${ displaystyle g}$ -совместимый пространственно-временная структура. Это делает мир разнообразным пространство-время.

(ii) Учитывая указанную выше диаграмму редукции структурных групп, пусть ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle g ^ {R}}$ - соответствующие псевдориманова и риманова метрики на ${ displaystyle X}$ . Они образуют тройку ${ displaystyle (g, g ^ {R}, h ^ {0})}$ подчиняясь отношению

{ displaystyle g = 2h ^ {0} otimes h ^ {0} -g ^ {R}}

.

Наоборот, пусть мировое многообразие ${ displaystyle X}$ признать никуда не исчезающийон-форма ${ displaystyle sigma}$ (или, что то же самое, векторное поле, которое никуда не исчезает). Тогда любая риманова метрика ${ displaystyle g ^ {R}}$ на ${ displaystyle X}$ дает псевдориманову метрику

{ displaystyle g = { frac {2} {g ^ {R} ( sigma, sigma)}} sigma otimes sigma -g ^ {R}}

.

Отсюда следует, что мировое многообразие ${ displaystyle X}$ допускает псевдориманову метрику тогда и только тогда, когда существует нигде не исчезающее векторное (или ковекторное) поле на ${ displaystyle X}$ .

Отметим, что ${ displaystyle g}$ -совместимая риманова метрика ${ displaystyle g ^ {R}}$ в тройном ${ displaystyle (g, g ^ {R}, h ^ {0})}$ определяет ${ displaystyle g}$ -совместимая функция расстояния на мировом многообразии ${ displaystyle X}$ . Такая функция приносит ${ displaystyle X}$ в метрическое пространство, локально евклидова топология которого эквивалентна топологии многообразия на ${ displaystyle X}$ . Учитывая гравитационное поле ${ displaystyle g}$ , то ${ displaystyle g}$ -совместимые римановы метрики и соответствующие функции расстояний различны для разных пространственных распределений ${ Displaystyle { mathfrak {F}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {F}} '}$ . Отсюда следует, что физические наблюдатели, связанные с этими различными пространственными распределениями, воспринимают мировое многообразие. ${ displaystyle X}$ как разные римановы пространства. Известные релятивистские изменения размеров движущихся тел иллюстрируют это явление.

Однако кто-то пытается вывести топологию мира непосредственно из пространственно-временной структуры ( топология пути, Топология Александрова ). Если пространство-время удовлетворяет условие сильной причинности, такие топологии совпадают с известной топологией многообразия мирового многообразия. Однако в общем случае они довольно необычны.

Условия причинности

Пространственно-временная структура называется интегрируемой, если пространственное распределение ${ Displaystyle { mathfrak {F}}}$ инволютивно. В этом случае его интегральные многообразия образуют пространственное слоение мирового многообразия, листы которого являются пространственными трехмерными подпространствами. Пространственное слоение называется причинным, если никакая кривая, трансверсальная его листам, не пересекает каждый лист более одного раза. Это условие эквивалентно стабильная причинность из Стивен Хокинг. Слоение пространства-времени причинно тогда и только тогда, когда оно является слоением поверхностей уровня некоторой гладкой действительной функции на ${ displaystyle X}$ дифференциал которого никуда не исчезает. Такое слоение является расслоенное многообразие ${ displaystyle X to mathbb {R}}$ Однако это не случай компактного мирового многообразия, которое не может быть расслоенным многообразием над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ .

Устойчивая причинность не дает простейшей причинной структуры. Если расслоенное многообразие ${ displaystyle X to mathbb {R}}$ расслоение, оно тривиально, т. е. мировое многообразие ${ displaystyle X}$ это глобально гиперболическое многообразие ${ Displaystyle X = mathbb {R} times M}$ . Поскольку любое ориентированное трехмерное многообразие распараллеливаемо, глобально гиперболическое мировое многообразие распараллеливается.

Смотрите также

внешняя ссылка

Сарданашвили, Г. (2011). «Классическая калибровочная теория гравитации». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 8 (8): 1869–1895. arXiv:1110.1176. Bibcode:2011IJGMM..08.1869S. Дои:10.1142 / S0219887811005993. S2CID 119711561.