Асимптотическая гомогенизация - Asymptotic homogenization

Не путать с Усреднение полинома.

В математика и физика, гомогенизация это метод изучения уравнения в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами,^[1][2][3] Такие как

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f}$

куда ${\displaystyle \epsilon }$ это очень маленький параметр и ${\displaystyle A\left({\vec {y}}\right)}$ - 1-периодический коэффициент:${\displaystyle A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Оказывается, изучение этих уравнений также имеет большое значение в физике и технике, поскольку уравнения этого типа управляют физикой неоднородных или неоднородных материалов. Конечно, вся материя в каком-то масштабе неоднородна, но часто ее удобно рассматривать как однородную. Хорошим примером является концепция континуума, которая используется в механика сплошной среды. Исходя из этого предположения, такие материалы, как жидкости, твердые вещества и т. д. могут рассматриваться как однородные материалы, и с этими материалами связаны такие свойства материала, как модуль сдвига, модули упругости, так далее.

Часто неоднородные материалы (например, композитные материалы ) владеть микроструктура и поэтому они подвергаются нагрузкам или воздействиям, которые изменяются в масштабе длины, который намного превышает характерный масштаб длины микроструктуры. В этой ситуации часто можно заменить приведенное выше уравнение уравнением вида

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f}$

куда ${\displaystyle A^{*}}$ - постоянный тензорный коэффициент, известный как эффективное свойство, связанное с рассматриваемым материалом. Его можно явно вычислить как

${\displaystyle A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n}$

от 1-периодических функций ${\displaystyle w_{j}}$ удовлетворение:

${\displaystyle \nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).}$

Этот процесс замены уравнения с сильно колеблющимся коэффициентом уравнением с однородным (однородным) коэффициентом известен как гомогенизация. Эта тема неразрывно связана с темой микромеханика именно по этой причине.

При усреднении одно уравнение заменяется другим, если ${\displaystyle u_{\epsilon }\approx u}$ для достаточно маленького ${\displaystyle \epsilon }$, при условии${\displaystyle u_{\epsilon }\to u}$ в некоторой соответствующей норме как ${\displaystyle \epsilon \to 0}$.

В результате вышеизложенного гомогенизацию можно рассматривать как расширение концепции континуума на материалы, обладающие микроструктурой. Аналог дифференциального элемента в концепции континуума (который содержит достаточно атомов или молекулярной структуры, чтобы представлять этот материал) известен как "Типичный элемент объема "^[4] в гомогенизации и микромеханике. Этот элемент содержит достаточно статистической информации о неоднородной среде, чтобы быть репрезентативным для материала. Следовательно, усреднение по этому элементу дает эффективное свойство, например ${\displaystyle A^{*}}$ над.

Классические результаты теории усреднения^[1][2][3] были получены для сред с периодической микроструктурой, моделируемой уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами. Эти результаты позже были обобщены на пространственно однородные случайные среды, моделируемые дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, статистические свойства которых одинаковы в каждой точке пространства.^[5][6] На практике для многих приложений требуется более общий способ моделирования, который не является ни периодическим, ни статистически однородным. С этой целью методы теории усреднения были распространены на уравнения с частными производными, коэффициенты которых не являются ни периодическими, ни статистически однородными (так называемые произвольно грубые коэффициенты).^[7][8]

Метод асимптотического усреднения.

Теория математической гомогенизации восходит к французской, русской и итальянской школам.^[1][2][3][9] Метод асимптотического усреднения заключается в введении быстрой переменной ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon }$ и представляя формальное расширение в ${\displaystyle \epsilon }$:

${\displaystyle u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,}$

что порождает иерархию проблем. Получено усредненное уравнение и определены эффективные коэффициенты путем решения так называемых "ячеечных задач" для функции ${\displaystyle u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )}$.

Смотрите также

• Асимптотический анализ
• Γ-сходимость
• Моско конвергенция
• Приближения эффективной среды

Примечания

1. Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория колебаний. Конспект лекций по физике. 127. Springer Verlag. Дои:10.1007/3-540-10000-8. ISBN  978-3-540-10000-3.
2. Бахвалов, Н.; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах. Математика и ее приложения. Дордрехт: Клувер. Дои:10.1007/978-94-009-2247-1. ISBN  978-94-010-7506-0.
3. Bensoussan, A .; Львов, J.L.; Папаниколау, Г. (1978). Асимптотический анализ периодических структур.. Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-85172-0.
4. Остоя-Старжевский, М. (2007). Случайность микроструктуры и масштабирование материалов. Современная механика и математика. Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN  9781584884170.
5. Козлов, С. (1979). «Усреднение случайных операторов». Мат. Сборник. 109 (151): 188–202. (Англ. Пер .: Математика СССР, Сб. 37: 2, 1980, с. 167-180)
6. Papanicolaou, G.C .; Варадхан, С. (1981). «Краевые задачи с быстро колеблющимися коэффициентами» (PDF). Seria Colloq. Математика. Общество Янош Бойяи. Амстердам. 27: 835–873.
7. Берлянд, Л.; Оухади, Х. (ноябрь 2010 г.). "Подход нормы потока к приближениям конечной гомогенизации с неотделенными масштабами и высокой контрастностью". Архив рациональной механики и анализа. 198 (2): 677–721. arXiv:0901.1463. Bibcode:2010ArRMA.198..677B. Дои:10.1007 / s00205-010-0302-1.
8. Målqvist, A .; Петерсейм, Д. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач». Математика вычислений. 83 (290): 2583–2603. Дои:10.1090 / S0025-5718-2014-02868-8.
9. Даль Мазо, Г. (1993). Введение в Γ-сходимость. Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях. Бирхаузер. Дои:10.1007/978-1-4612-0327-8. ISBN  9780817636791.

Рекомендации

• Козлов, С.М .; Олейник, О.А.; Жиков, В. (1994), Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов., Берлин -Гейдельберг -Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-54809-2, Zbl  0838.35001
• Олейник, О.А.; Шамаев, А.С .; Иосифян, Г.А. (1991), Математические задачи упругости и гомогенизации, Исследования по математике и ее приложениям, 26, Амстердам - Лондон - Нью-Йорк - Токио: Северная Голландия, ISBN  0-444-88441-6, Zbl  0768.73003
• Хорнунг, Ульрих (ред.). (1997), Гомогенизация и пористые среды, Междисциплинарная прикладная математика, 6, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-1920-0, ISBN  978-1-4612-7339-4
• Бахвалов, Н.С.; Панасенко, Г. П. (1984), Усреднение процессов в периодических СМИ (английский перевод: Kluwer, 1989), Москва: Наука, Zbl  0607.73009
• Braides, A .; Дефранчески, А. (1998), Усреднение кратных интегралов., Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  978-0-198-50246-3