Смена колец - Change of rings

В алгебре, учитывая кольцевой гомоморфизм ${\displaystyle f:R\to S}$, существует три способа изменить кольцо коэффициентов модуль; а именно для левого р-модуль M и левый S-модуль N,

• ${\displaystyle f_{!}M=S\otimes _{R}M}$, то индуцированный модуль.
• ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)}$, то коиндуцированный модуль.
• ${\displaystyle f^{*}N=N_{R}}$, то ограничение скаляров.

Они связаны как присоединенные функторы:

${\displaystyle f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*}}$

и

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}$

Это связано с Лемма Шапиро.

Операции

Ограничение скаляров

В этом разделе пусть ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$ быть двумя кольцами (они могут быть или не быть коммутативный, или содержать личность ), и разреши ${\displaystyle f:R\to S}$ - гомоморфизм. Ограничение изменений скаляров S-модули в р-модули. В алгебраическая геометрия термин «ограничение скаляров» часто используется как синоним Ограничение Вейля.

Определение

Предположим, что ${\displaystyle M}$ это модуль над ${\displaystyle S}$. Тогда его можно рассматривать как модуль над ${\displaystyle R}$ где действие ${\displaystyle R}$ дается через

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle m\cdot f(r)}$ обозначает действие, определяемое ${\displaystyle S}$-модульная структура на ${\displaystyle M}$.^[1]

Интерпретация как функтор

Ограничение скаляров можно рассматривать как функтор из ${\displaystyle S}$-модули для ${\displaystyle R}$-модули. An ${\displaystyle S}$-гомоморфизм ${\displaystyle u:M\to N}$ автоматически становится ${\displaystyle R}$-гомоморфизм между ограничениями ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$. Действительно, если ${\displaystyle m\in M}$ и ${\displaystyle r\in R}$, тогда

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

Как функтор, ограничение скаляров - это правый смежный функтора расширения скаляров.

Если ${\displaystyle R}$ кольцо целых чисел, то это просто забывчивый функтор от модулей к абелевым группам.

Расширение скаляров

Смотрите также: Тензорное произведение модулей и Тензорное произведение модулей § Расширение скаляров

Расширение скаляров изменений р-модули в S-модули.

Определение

Позволять ${\displaystyle f:R\to S}$ - гомоморфизм двух колец, и пусть ${\displaystyle M}$ быть модулем над ${\displaystyle R}$. Рассмотрим тензорное произведение ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$, куда ${\displaystyle S}$ рассматривается как левый ${\displaystyle R}$-модуль через ${\displaystyle f}$. С ${\displaystyle S}$ также является правым модулем над собой, и эти два действия коммутируют, то есть ${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ за ${\displaystyle r\in R}$, ${\displaystyle s,s'\in S}$ (на более формальном языке, ${\displaystyle S}$ это ${\displaystyle (R,S)}$-бимодуль ), ${\displaystyle M^{S}}$ наследует правильное действие ${\displaystyle S}$. Это дается ${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ за ${\displaystyle m\in M}$, ${\displaystyle s,s'\in S}$. Говорят, что этот модуль получен из ${\displaystyle M}$ через расширение скаляров.

Неформально расширение скаляров - это «тензорное произведение кольца и модуля»; более формально, это частный случай тензорного произведения бимодуля и модуля - тензорного произведения р-модуль с ${\displaystyle (R,S)}$ бимодуль - это S-модуль.

Примеры

Один из простейших примеров: комплексирование, который является продолжением скаляров из действительные числа к сложные числа. В более общем плане, учитывая любые расширение поля K < L, можно расширить скаляры из K к Л. На языке полей модуль над полем называется векторное пространство, и, таким образом, расширение скаляров преобразует векторное пространство над K в векторное пространство над Л. Это также можно сделать для алгебры с делением, как это сделано в кватернионизация (расширение от реалов до кватернионы ).

В более общем смысле, учитывая гомоморфизм из поля или коммутативный звенеть р на кольцо S, кольцо S можно рассматривать как ассоциативная алгебра над Р, и, таким образом, при расширении скаляров на р-модуль, полученный модуль можно также рассматривать как S-модуль, или как р-модуль с представление алгебры из S (как р-алгебра). Например, результат комплексирования реального векторного пространства (р = р, S = C) можно интерпретировать либо как комплексное векторное пространство (S-модуль) или как реальное векторное пространство с линейная сложная структура (представление алгебры S как р-модуль).

Приложения

Это обобщение полезно даже для изучения полей - в частности, многие алгебраические объекты, связанные с полем, сами не являются полями, а являются кольцами, такими как алгебры над полем, как в теория представлений. Так же, как можно расширить скаляры на векторные пространства, можно также расширить скаляры на групповые алгебры а также на модулях над групповыми алгебрами, т. е. групповые представления. Особенно полезно рассказать, как неприводимые представления изменение при расширении скаляров - например, представление циклической группы порядка 4, заданное поворотом плоскости на 90 °, является неприводимым двумерным настоящий представление, но при расширении скаляров до комплексных чисел оно разбивается на 2 комплексных представления размерности 1. Это соответствует тому факту, что характеристический многочлен этого оператора, ${\displaystyle x^{2}+1,}$ является неприводимым со степенью 2 по действительным числам, но делится на два фактора степени 1 по комплексным числам - у него нет реальных собственных значений, но есть 2 комплексных собственных значения.

Интерпретация как функтор

Расширение скаляров можно интерпретировать как функтор от ${\displaystyle R}$-модули для ${\displaystyle S}$-модули. Он отправляет ${\displaystyle M}$ к ${\displaystyle M^{S}}$, как указано выше, и ${\displaystyle R}$-гомоморфизм ${\displaystyle u:M\to N}$ к ${\displaystyle S}$-гомоморфизм ${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$ определяется ${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$.

Совместное расширение скаляров (коиндуцированный модуль)

Связь между расширением скаляров и ограничением скаляров

Рассмотрим ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle S}$-модуль ${\displaystyle N}$. Учитывая гомоморфизм ${\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$, определять ${\displaystyle Fu:M^{S}\to N}$ быть сочинение

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$,

где последняя карта ${\displaystyle n\otimes s\mapsto n\cdot s}$. Этот ${\displaystyle Fu}$ является ${\displaystyle S}$-гомоморфизм, а значит ${\displaystyle F:{\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ корректно определен и является гомоморфизмом ( абелевы группы ).

Если оба ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$ тождественны, существует обратный гомоморфизм ${\displaystyle G:{\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$, который определяется следующим образом. Позволять ${\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$. потом ${\displaystyle Gv}$ состав

${\displaystyle M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$,

где первая карта - это канонический изоморфизм ${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$.

Эта конструкция показывает, что группы ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ и ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ изоморфны. На самом деле этот изоморфизм зависит только от гомоморфизма ${\displaystyle f}$, и так функториальный. На языке теория категорий, расширение функтора скаляров есть левый смежный на ограничение функтора скаляров.

Смотрите также

• Шесть операций
• Тензорное произведение полей
• Тензорное присоединение

Рекомендации

• Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра. Фут, Ричард М. (3 - е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр.359 –377. ISBN  0471452343. OCLC  248917264.
• J.P. May, Примечания к Tor и Ext
• НИКОЛАС БУРБАКИ. Алгебра I, Глава II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА §5. Расширение кольца скаляров; § 7. Векторные пространства. 1974 Германом.

дальнейшее чтение

• Индукция и коиндукция представлений

1. Даммит 2004, п. 359.