Тензорное присоединение - Tensor-hom adjunction

В математика, то тензор-гом присоединение это то тензорное произведение ${displaystyle -otimes X}$ и hom-функтор ${displaystyle operatorname {Hom} (X,-)}$ для мужчин сопряженная пара:

${displaystyle operatorname {Hom} (Yotimes X,Z)cong operatorname {Hom} (Y,operatorname {Hom} (X,Z)).}$

Ниже это уточняется. Порядок терминов во фразе «тензор-гом-присоединение» отражает их взаимосвязь: тензор - левый сопряженный, а гом - правый.

Общее утверждение

Сказать р и S являются (возможно, некоммутативными) кольца, и считайте правильным модуль категории (аналогичное утверждение верно для левых модулей):

${displaystyle {mathcal {C}}=mathrm {Mod} _{S}quad { ext{and}}quad {mathcal {D}}=mathrm {Mod} _{R}.}$

Исправьте (р,S) -бимодуль Икс и определим функторы F: D → C и грамм: C → D следующее:

${displaystyle F(Y)=Yotimes _{R}Xquad { ext{for }}Yin {mathcal {D}}}$

${displaystyle G(Z)=operatorname {Hom} _{S}(X,Z)quad { ext{for }}Zin {mathcal {C}}}$

потом F осталось прилегающий к грамм. Это означает, что есть естественный изоморфизм

${displaystyle operatorname {Hom} _{S}(Yotimes _{R}X,Z)cong operatorname {Hom} _{R}(Y,operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

На самом деле это изоморфизм абелевы группы. Точнее, если Y является (А, р) бимодуль и Z это (B, S) бимодулем, то это изоморфизм (B, А) бимодули. Это один из вдохновляющих примеров структуры закрытого бикатегория.^[1]

Граф и блок

Подобно всем присоединениям, тензор-гом присоединение можно описать его счетчиком и единицей естественные преобразования. Используя обозначения из предыдущего раздела, счетчик

${displaystyle varepsilon :FG o 1_{mathcal {C}}}$

имеет составные части

${displaystyle varepsilon _{Z}:operatorname {Hom} _{S}(X,Z)otimes _{R}X o Z}$

дано оценкой: Для

${displaystyle phi in operatorname {Hom} _{R}(X,Z)quad { ext{and}}quad xin X,}$

${displaystyle varepsilon (phi otimes x)=phi (x).}$

В составные части подразделения

${displaystyle eta :1_{mathcal {D}} o GF}$

${displaystyle eta _{Y}:Y o operatorname {Hom} _{S}(X,Yotimes _{R}X)}$

определяются следующим образом: Для у в Y,

${displaystyle eta _{Y}(y)in operatorname {Hom} _{S}(X,Yotimes _{R}X)}$

это право S-модульный гомоморфизм, задаваемый формулой

${displaystyle eta _{Y}(y)(t)=yotimes tquad { ext{for }}tin X.}$

В счетные и единичные уравнения теперь можно явно проверить. За Y в C,

${displaystyle varepsilon _{FY}circ F(eta _{Y}):Yotimes _{R}X o operatorname {Hom} _{S}(X,Yotimes _{R}X)otimes _{R}X o Yotimes _{R}X}$

дается на простые тензоры из Y⊗Икс к

${displaystyle varepsilon _{FY}circ F(eta _{Y})(yotimes x)=eta _{Y}(y)(x)=yotimes x.}$

Так же,

${displaystyle G(varepsilon _{Z})circ eta _{GZ}:operatorname {Hom} _{S}(X,Z) o operatorname {Hom} _{S}(X,operatorname {Hom} _{S}(X,Z)otimes _{R}X) o operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

Для φ в Hom_S(Икс, Z),

${displaystyle G(varepsilon _{Z})circ eta _{GZ}(phi )}$

это право S-модульный гомоморфизм, определяемый

${displaystyle G(varepsilon _{Z})circ eta _{GZ}(phi )(x)=varepsilon _{Z}(phi otimes x)=phi (x)}$

и поэтому

${displaystyle G(varepsilon _{Z})circ eta _{GZ}(phi )=phi .}$

Функторы Ext и Tor

В Hom функтор ${displaystyle hom(X,-)}$ коммутирует с произвольными пределами, а тензорное произведение ${displaystyle -otimes X}$ функтор коммутирует с произвольными копределами, существующими в их категории домена. Однако в целом ${displaystyle hom(X,-)}$ не может работать с копределами, и ${displaystyle -otimes X}$ не работает с ограничениями; этот отказ происходит даже среди конечных пределов или копределов. Эта неспособность сохранить короткие точные последовательности мотивирует определение Функтор Ext и Функтор Tor.

Смотрите также

• Каррирование
• Функтор Ext
• Функтор Tor

Рекомендации

1. May, J.P .; Сигурдссон, Дж. (2006). Параметризованная теория гомотопий. A.M.S. п. 253. ISBN  0-8218-3922-5.

• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебра I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9