В математика, в области функциональный анализ, то Лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности назван в честь математиков Миша Котлар и Элиас Штайн. Его можно использовать для получения информации о норма оператора на оператора, действующего с одного Гильбертово пространство в другой, когда оператор может быть разложен на почти ортогональный штук. Исходная версия этой леммы (для самосопряженный и взаимно коммутирующие операторы) был доказан Мишей Котларом в 1955 г.[1] и позволил ему сделать вывод, что Преобразование Гильберта это непрерывный линейный оператор в
без использования преобразование Фурье Более общую версию доказал Элиас Штайн.[2]
Лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности
Позволять
быть двумя Гильбертовы пространства.Рассмотрим семейство операторов
,
,с каждым
а ограниченный линейный оператор из
к
.
Обозначить
![{displaystyle a_ {jk} = Vert T_ {j} T_ {k} ^ {ast} Vert, qquad b_ {jk} = Vert T_ {j} ^ {ast} T_ {k} Vert.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe772c3955fdb4aec08ad4dce89f17fbe8b293f)
Семейство операторов
,
является почти ортогональный если
![{displaystyle A = sup _ {j} sum _ {k} {sqrt {a_ {jk}}} <infty, qquad B = sup _ {j} sum _ {k} {sqrt {b_ {jk}}} <infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36378365cf8609ec05d0cf3c6b03fce34d64053)
Лемма Котлара – Стейна утверждает, что если
почти ортогональны, то ряды
сходится в сильная операторная топология, и это
![{displaystyle Vert sum _ {j} T_ {j} Vert leq {sqrt {AB}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5346417f591acfc9b1ed3db23e64be969785b38)
Доказательство
Если р1, ..., рп конечный набор ограниченных операторов, то[3]
![{displaystyle displaystyle {sum _ {i, j} | (R_ {i} v, R_ {j} v) | leq left (max _ {i} sum _ {j} | R_ {i} ^ {*} R_ { j} | ^ {1 больше 2} право) осталось (max _ {i} sum _ {j} | R_ {i} R_ {j} ^ {*} | ^ {1 over 2} ight) | v | ^ { 2}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4109a9ada1a5f683367e57183103671775d1f45b)
Итак, в условиях леммы
![{displaystyle displaystyle {sum _ {i, j} | (T_ {i} v, T_ {j} v) | leq AB | v | ^ {2}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59141f1194b6140d94f71b31d8208f44f51829ae)
Следует, что
![{displaystyle displaystyle {| sum _ {i = 1} ^ {n} T_ {i} v | ^ {2} leq AB | v | ^ {2},}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fc88e39224be540e5c1061bc6b949a5901fffa)
и это
![{displaystyle displaystyle {| sum _ {i = m} ^ {n} T_ {i} v | ^ {2} leq sum _ {i, jgeq m} | (T_ {i} v, T_ {j} v) | .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1628ae30af4a8d8cf3e418f6dc24f3a6289400a7)
Следовательно, частичные суммы
![{displaystyle displaystyle {s_ {n} = sum _ {i = 1} ^ {n} T_ {i} v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a556952f6329569a68eac7ff82fdb8006c196a)
сформировать Последовательность Коши.
Таким образом, сумма абсолютно сходится с пределом, удовлетворяющим указанному неравенству.
Чтобы доказать неравенство выше, положим
![{displaystyle displaystyle {R = сумма a_ {ij} R_ {i} ^ {*} R_ {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdc59aa56d5e4528db1f73d152b4b9596042d64)
с |аij| ≤ 1 выбрано так, чтобы
![{displaystyle displaystyle {(Rv, v) = | (Rv, v) | = сумма | (R_ {i} v, R_ {j} v) |.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7585545bbe055a94bc73afb441d75e4e552b50)
потом
![{displaystyle displaystyle {| R | ^ {2m} = | (R ^ {*} R) ^ {m} | leq sum | R_ {i_ {1}} ^ {*} R_ {i_ {2}} R_ {i_ {3}} ^ {*} R_ {i_ {4}} cdots R_ {i_ {2m}} | оставшаяся сумма leq (| R_ {i_ {1}} ^ {*} || R_ {i_ {1}} ^ {*} R_ {i_ {2}} || R_ {i_ {2}} R_ {i_ {3}} ^ {*} | cdots | R_ {i_ {2m-1}} ^ {*} R_ {i_ { 2m}} || R_ {i_ {2m}} | ight) ^ {1 over 2}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf29d0a3d1323351cba5c9505a7bc79873790a4)
Следовательно
![{displaystyle displaystyle {| R | ^ {2m} leq ncdot max | R_ {i} | left (max _ {i} sum _ {j} | R_ {i} ^ {*} R_ {j} | ^ {1 over 2} ight) ^ {2m} left (max _ {i} sum _ {j} | R_ {i} R_ {j} ^ {*} | ^ {1 over 2} ight) ^ {2m-1}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404d87d29179fe3197af350b957da327bc6fd2dd)
Принимая 2мкорни и позволяя м стремятся к ∞,
![{displaystyle displaystyle {| R | leq left (max _ {i} sum _ {j} | R_ {i} ^ {*} R_ {j} | ^ {1 over 2} ight) left (max _ {i} sum) _ {j} | R_ {i} R_ {j} ^ {*} | ^ {1 больше 2} ight),}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdb1c0341dd2626a13ab33b351c0dc02b8c6dd1)
откуда сразу следует неравенство.
Обобщение
Существует обобщение леммы Котлара – Стейна с заменой сумм на интегралы.[4][5] Позволять Икс - локально компактное пространство, а μ - борелевская мера на Икс. Позволять Т(Икс) быть картой из Икс на ограниченные операторы из E к F которое равномерно ограничено и непрерывно в сильной операторной топологии. Если
![{displaystyle displaystyle {A = sup _ {x} int _ {X} | T (x) ^ {*} T (y) | ^ {1 over 2}, dmu (y) ,,,, B = sup _ { x} int _ {X} | T (y) T (x) ^ {*} | ^ {1 больше 2}, dmu (y),}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7c2b867650266479a81b371914e50f3b212b8e)
конечны, то функция Т(Икс)v интегрируема для каждого v в E с
![{displaystyle displaystyle {| int _ {X} T (x) v, dmu (x) | leq {sqrt {AB}} cdot | v |.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bec861fa533ab8722167383bbe78477df82dc12)
Результат может быть доказан заменой сумм интегралами в предыдущем доказательстве или использованием сумм Римана для приближения интегралов.
Пример
Вот пример ортогональный семья операторов. Рассмотрим бесконечномерные матрицы