В математика, в области функциональный анализ, то Лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности назван в честь математиков Миша Котлар и Элиас Штайн. Его можно использовать для получения информации о норма оператора на оператора, действующего с одного Гильбертово пространство в другой, когда оператор может быть разложен на почти ортогональный штук. Исходная версия этой леммы (для самосопряженный и взаимно коммутирующие операторы) был доказан Мишей Котларом в 1955 г.[1] и позволил ему сделать вывод, что Преобразование Гильберта это непрерывный линейный оператор в
без использования преобразование Фурье Более общую версию доказал Элиас Штайн.[2]
Лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности
Позволять
быть двумя Гильбертовы пространства.Рассмотрим семейство операторов
,
,с каждым
а ограниченный линейный оператор из
к
.
Обозначить

Семейство операторов
,
является почти ортогональный если

Лемма Котлара – Стейна утверждает, что если
почти ортогональны, то ряды
сходится в сильная операторная топология, и это

Доказательство
Если р1, ..., рп конечный набор ограниченных операторов, то[3]

Итак, в условиях леммы

Следует, что

и это

Следовательно, частичные суммы

сформировать Последовательность Коши.
Таким образом, сумма абсолютно сходится с пределом, удовлетворяющим указанному неравенству.
Чтобы доказать неравенство выше, положим

с |аij| ≤ 1 выбрано так, чтобы

потом

Следовательно

Принимая 2мкорни и позволяя м стремятся к ∞,

откуда сразу следует неравенство.
Обобщение
Существует обобщение леммы Котлара – Стейна с заменой сумм на интегралы.[4][5] Позволять Икс - локально компактное пространство, а μ - борелевская мера на Икс. Позволять Т(Икс) быть картой из Икс на ограниченные операторы из E к F которое равномерно ограничено и непрерывно в сильной операторной топологии. Если

конечны, то функция Т(Икс)v интегрируема для каждого v в E с

Результат может быть доказан заменой сумм интегралами в предыдущем доказательстве или использованием сумм Римана для приближения интегралов.
Пример
Вот пример ортогональный семья операторов. Рассмотрим бесконечномерные матрицы