Критерий текучести Друкера – Прагера - Drucker–Prager yield criterion

Рисунок 1: Вид поверхности текучести Друкера – Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений для ${\displaystyle c=2,\phi =-20^{\circ }}$

В Критерий текучести Друкера – Прагера^[1] представляет собой зависящую от давления модель для определения того, разрушился ли материал или стал пластичным. Критерий был введен для работы с пластической деформацией грунтов. Он и его множество вариантов применялись для обработки камня, бетона, полимеров, пенопласта и других материалов, зависящих от давления.

В Друкер –Prager критерий доходности имеет вид

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}}$

где ${\displaystyle I_{1}}$ это первый инвариант из Напряжение Коши и ${\displaystyle J_{2}}$ это второй инвариант из девиаторный часть Напряжение Коши. Константы ${\displaystyle A,B}$ определяются из экспериментов.

Что касается эквивалентное напряжение (или же фон Мизес стресс ) и гидростатическое (или среднее) напряжение, критерий Друкера – Прагера можно выразить как

${\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}}$

где ${\displaystyle \sigma _{e}}$ - эквивалентное напряжение, ${\displaystyle \sigma _{m}}$ - гидростатическое напряжение, а${\displaystyle a,b}$ материальные константы. Критерий текучести Друкера – Прагера, выраженный в Координаты Хая – Вестергаарда является

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A}$

В Поверхность текучести Друкера – Прагера это гладкая версия Поверхность текучести Мора – Кулона.

Выражения для A и B

Модель Друкера – Прагера может быть записана в терминах основные напряжения так как

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

Если ${\displaystyle \sigma _{t}}$ - предел текучести при одноосном растяжении, из критерия Друкера – Прагера следует

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

Если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ - предел текучести при одноосном сжатии, из критерия Друкера – Прагера следует

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=A-B~\sigma _{c}~.}$

Решение этих двух уравнений дает

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

Коэффициент одноосной асимметрии

Различные одноосные напряжения текучести при растяжении и сжатии предсказываются моделью Друкера-Прагера. Коэффициент одноосной асимметрии для модели Друкера – Прагера равен

${\displaystyle \beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.}$

Выражения в терминах сцепления и угла трения

Поскольку Друкер – Прагер поверхность текучести это гладкая версия Поверхность текучести Мора – Кулона, это часто выражается через сплоченность (${\displaystyle c}$) и угол внутреннего трения (${\displaystyle \phi }$), которые используются для описания Поверхность текучести Мора – Кулона.^[2] Если предположить, что поверхность текучести Друкера – Прагера ограничивает поверхность текучести Мора – Кулона, то выражения для ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ находятся

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$

Если поверхность текучести Друкера – Прагера середина ограничивает поверхность текучести Мора – Кулона, то

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$

Если поверхность текучести Друкера – Прагера вписывает поверхность текучести Мора – Кулона, то

${\displaystyle A={\cfrac {3~c~\cos \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}~;~~B={\cfrac {\sin \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}}$

Вывод выражений для ${\displaystyle A,B}$ с точки зрения ${\displaystyle c,\phi }$

Выражение для Критерий текучести Мора – Кулона в Пространство Хая – Вестергаарда является ${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi }$ Если предположить, что поверхность текучести Друкера – Прагера ограничивает поверхность текучести Мора – Кулона такая, что две поверхности совпадают при ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{3}}}$, то в этих точках поверхность текучести Мора – Кулона можно выразить как ${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin {\tfrac {2\pi }{3}}-\sin \phi \cos {\tfrac {2\pi }{3}}\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi }$ или же, ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\cfrac {2\sin \phi }{3+\sin \phi }}\xi ={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}\qquad \qquad (1.1)}$ Критерий текучести Друкера – Прагера, выраженный в Координаты Хая – Вестергаарда является ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A\qquad \qquad (1.2)}$ Сравнивая уравнения (1.1) и (1.2), имеем ${\displaystyle A={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$ Это выражения для ${\displaystyle A,B}$ с точки зрения ${\displaystyle c,\phi }$. С другой стороны, если поверхность Друкера – Прагера вписывает поверхность Мора – Кулона, то совмещение двух поверхностей при ${\displaystyle \theta =0}$ дает ${\displaystyle A={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$ Сравнение поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона (вписанных) в ${\displaystyle \pi }$-самолет для ${\displaystyle c=2,\phi =20^{\circ }}$ Сравнение поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона (описанных) в ${\displaystyle \pi }$-самолет для ${\displaystyle c=2,\phi =20^{\circ }}$

Рисунок 2: Поверхность текучести Друкера – Прагера в ${\displaystyle \pi }$-самолет для ${\displaystyle c=2,\phi =20^{\circ }}$

Рисунок 3: График поверхностей текучести Друкера – Прагера и Мора – Кулона в ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$-самолет для ${\displaystyle c=2,\phi =20^{\circ }}$. Желтый = Мор – Кулон, Голубой = Друкер – Прагер.

Модель Друкера – Прагера для полимеров.

Модель Друкера – Прагера использовалась для моделирования таких полимеров, как полиоксиметилен и полипропилен^{[нужна цитата ]}.^[3] За полиоксиметилен предел текучести является линейной функцией давления. Тем не мение, полипропилен показывает квадратичную зависимость предела текучести от давления.

Модель Друкера – Прагера для пен

Для пен, модель ГАЗТ ^[4] использует

${\displaystyle A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

где ${\displaystyle \sigma _{y}}$ является критическим напряжением для отказа при растяжении или сжатии, ${\displaystyle \rho }$ - плотность пены, а ${\displaystyle \rho _{s}}$ - плотность основного материала.

Расширения изотропной модели Друкера – Прагера.

Критерий Друкера – Прагера также можно выразить в альтернативной форме

${\displaystyle J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.}$

Критерий текучести Дешпанде – Флека или критерий текучести изотропной пены

Критерий текучести Дешпанде – Флека^[5] для пен имеет форму, указанную в приведенном выше уравнении. Параметры ${\displaystyle a,b,c}$ для критерия Дешпанде – Флека равны

${\displaystyle a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2}}{3}}}$

где ${\displaystyle \beta }$ это параметр^[6] что определяет форму поверхности текучести, и ${\displaystyle \sigma _{y}}$ предел текучести при растяжении или сжатии.

Анизотропный критерий текучести Друкера – Прагера.

Анизотропной формой критерия текучести Друкера – Прагера является критерий текучести Лю – Хуанга – Стаута.^[7] Этот критерий доходности является расширением обобщенный критерий доходности Хилла и имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}}$

Коэффициенты ${\displaystyle F,G,H,L,M,N,I,J,K}$ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}}$

и ${\displaystyle \sigma _{ic},i=1,2,3}$ одноосные напряжения текучести в сжатие по трем основным направлениям анизотропии, ${\displaystyle \sigma _{it},i=1,2,3}$ одноосные напряжения текучести в напряжение, и ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$ - напряжения текучести при чистом сдвиге. Выше предполагалось, что величины ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}}$ положительные и ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}}$ отрицательны.

Критерий доходности Друкера

Критерий Друкера – Прагера не следует путать с более ранним критерием Друкера. ^[8] которое не зависит от давления (${\displaystyle I_{1}}$). Критерий доходности Друкера имеет вид

${\displaystyle f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0}$

где ${\displaystyle J_{2}}$ - второй инвариант девиаторного напряжения, ${\displaystyle J_{3}}$ - третий инвариант девиаторного напряжения, ${\displaystyle \alpha }$ - константа, которая находится между -27/8 и 9/4 (для того, чтобы поверхность текучести была выпуклой), ${\displaystyle k}$ - константа, которая меняется в зависимости от значения ${\displaystyle \alpha }$. За ${\displaystyle \alpha =0}$, ${\displaystyle k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}}$ где ${\displaystyle \sigma _{y}}$ - предел текучести при одноосном растяжении.

Анизотропный критерий Друкера

Анизотропной версией критерия текучести Друкера является критерий текучести Казаку – Барлата (CZ). ^[9] который имеет вид

${\displaystyle f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0}$

где ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$ являются обобщенными формами девиаторного напряжения и определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}}$

Критерий текучести Казаку – Барлата для плоского напряжения

Для тонких листовых металлов напряженное состояние можно приблизительно представить как плоское напряжение. В этом случае критерий текучести Казаку – Барлата сводится к его двумерной версии с

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^{2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Для тонких листов металлов и сплавов параметры критерия текучести Казаку – Барлата равны

Таблица 1. Параметры критерия текучести Казаку – Барлата для листовых металлов и сплавов

Материал	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle a_{6}}$	${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle b_{3}}$	${\displaystyle b_{4}}$	${\displaystyle b_{5}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle \alpha }$
6016-T4 алюминиевый сплав	0.815	0.815	0.334	0.42	0.04	-1.205	-0.958	0.306	0.153	-0.02	1.4
2090-T3 Алюминиевый сплав	1.05	0.823	0.586	0.96	1.44	0.061	-1.302	-0.281	-0.375	0.445	1.285

Смотрите также

• Поверхность выхода
• Доходность (инженерная)
• Пластичность (физика)
• Теория разрушения материала
• Дэниел С. Друкер
• Уильям Прагер

Рекомендации

1. Друкер, Д. К. и Прагер, В. (1952). Механика грунта и пластический анализ для расчета пределов. Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, вып. 2. С. 157–165.
2. https://www.onepetro.org/conference-paper/SPE-20405-MS
3. Абрате, С. (2008). Критерии текучести или разрушения ячеистых материалов. Журнал сэндвич-структур и материалов, вып. 10. С. 5–51.
4. Гибсон, Л.Дж., Эшби, М.Ф., Zhang, J. и Triantafilliou, T.C. (1989). Поверхности разрушения ячеистых материалов при многоосных нагрузках. I. Моделирование. Международный журнал механических наук, вып. 31, нет. 9. С. 635–665.
5. В. С. Дешпанде, и Флек, Н. А. (2001). Многоосный предел текучести пенополимеров. Acta Materialia, т. 49, нет. 10. С. 1859–1866.
6. ${\displaystyle \beta =\alpha /3}$ где ${\displaystyle \alpha }$ количество, используемое Deshpande – Fleck
7. Лю К., Хуанг Ю. и Стаут М. Г. (1997). Об асимметричной поверхности текучести пластически ортотропных материалов: феноменологическое исследование. Acta Materialia, т. 45, нет. 6. С. 2397–2406.
8. Друкер, Д. К. (1949) Связь экспериментов с математическими теориями пластичности, Журнал прикладной механики, т. 16. С. 349–357.
9. Cazacu, O .; Барлат, Ф. (2001), "Обобщение критерия текучести Друкера на ортотропию", Математика и механика твердого тела, 6 (6): 613–630.