Бесконечная делимость - Infinite divisibility

Бесконечная делимость возникает по-разному в философия, физика, экономика, теория порядка (раздел математики) и теория вероятности (также раздел математики). Можно говорить о бесконечной делимости или о ее отсутствии иметь значение, Космос, время, Деньги, или абстрактные математические объекты, такие как континуум.

В философии

Происхождение идеи в западной традиции можно проследить до V века до нашей эры, начиная с древнегреческого философа-досократа. Демокрит и его учитель Левкипп, который теоретизировал делимость материи за пределы того, что может быть воспринято чувствами, пока, в конце концов, не кончится неделимым атомом. Индийский философ Канаде также предложил атомистическую теорию, однако существует двусмысленность в отношении того, когда жил этот философ, в период между VI веком и II веком до нашей эры.^[1]Атомизм исследуется в Платон с диалог Тимей и был поддержан Аристотель. Эндрю Пайл дает ясный отчет о бесконечной делимости на первых нескольких страницах своего Атомизм и его критики. Там он показывает, как бесконечная делимость включает в себя идею, что существует некоторая расширенный элемент, например яблоко, которое можно делить бесконечно много раз, при этом никогда не делиться до точки или на атомы любого вида. Многие профессиональные философы^{[ВОЗ? ]} утверждают, что бесконечная делимость включает в себя либо набор бесконечное количество предметов (поскольку существует бесконечное количество делений, должно быть бесконечное множество объектов) или (реже), пункты размером с точку, или оба. Пайл утверждает, что математика бесконечно делимых расширений не включает ни то, ни другое - что есть бесконечные подразделения, но только конечные наборы объектов, и они никогда не делятся на элементы без точечных расширений.

Зенон под сомнение как стрела может двигаться, если в один момент она здесь и неподвижна, а в более поздний момент находится в другом месте и неподвижна.

Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, занимая равное пространство, находится в состоянии покоя и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это неверно, поскольку время состоит из неделимых моментов не больше, чем любая другая величина состоит из неделимых.^[2]
— Аристотель, Физика VI: 9, 239b5

Что касается парадокса Зенона с летящей стрелой, Альфред Норт Уайтхед пишет, что «бесконечное количество актов становления может иметь место за конечное время, если каждое последующее действие будет меньше в сходящейся серии»:^[3]

Аргумент, поскольку он действителен, вызывает противоречие из двух посылок: (i) что в становлении чем-то (Res Vera) становится, и (ii) каждый акт становления делится на более ранние и последующие части, которые сами по себе являются актами становления. Рассмотрим, например, акт становления в течение одной секунды. Действие делится на два акта: один - в первой половине второго, другой - во второй половине. Таким образом, то, что становится в течение целой секунды, предполагает то, что становится в течение первой полсекунды. Аналогично, то, что становится в течение первой полсекунды, предполагает то, что становится в течение первой четверти секунды, и так до бесконечности. Таким образом, если мы рассмотрим процесс становления до начала второго рассматриваемого вопроса и спросим, что тогда становится, мы не сможем ответить. Ведь какое бы существо мы ни указывали, оно предполагает более раннее существо, которое стало после начала второго и предшествовало указанному существу. Следовательно, нет ничего, что могло бы произвести переход во вторую рассматриваемую.^[3]
— А.Н. Уайтхед, Процесс и реальность

В физике

До открытия квантовая механика, не проводилось различия между вопросом о том, является ли материя бесконечно делимой, и вопросом о том, может ли материя быть резать на более мелкие части до бесконечности.

В результате греческое слово átomos (ἄτομος), что буквально означает «неразрезанный», обычно переводится как «неделимый». В то время как современный атом действительно делим, он на самом деле неразрезан: нет раздел пространства так, что его части соответствуют материальным частям атома. Другими словами, квантово-механическое описание материи больше не соответствует парадигме формочки для печенья.^[4] Это проливает свежий свет на древние загадка делимости материи. Множественность материального объекта - количество его частей - зависит от существования не ограничивающих поверхностей, а внутренних пространственных отношений (относительных положений между частями), которые не имеют определенных значений. Согласно Стандартная модель физики элементарных частиц, частицы, составляющие атом -кварки и электроны -находятся точечные частицы: они не занимают места. Что заставляет атом все же занимать место, так это нет любой пространственно протяженный «материал», который «занимает пространство» и может быть разрезан на все меньшие и меньшие части, но в неопределенность его внутренних пространственных отношений.

Физическое пространство часто рассматривается как бесконечно делимое: считается, что любая область в пространстве, независимо от ее размера, может быть дополнительно разделена. Время аналогично считается безгранично делимым.

Однако новаторская работа Макс Планк (1858–1947) в области квантовой физики предполагает, что на самом деле существует минимальное измеримое расстояние (теперь называемое Планковская длина, 1.616229(38)×10⁻³⁵ метров) и, следовательно, минимальный временной интервал (количество времени, которое требуется свету, чтобы пройти это расстояние в вакууме, 5,39116 (13) × 10⁻⁴⁴ секунды, известные как Планковское время ) меньше, чем значимое измерение невозможно.^{[нужна цитата ]}

В экономике

Один доллар, или один евро, делится на 100 центов; можно платить только с шагом в один цент. Довольно часто цены на некоторые товары, такие как бензин, устанавливаются с шагом в одну десятую цента за галлон или литр. Если бензин стоит 3,979 доллара за галлон и покупается 10 галлонов, то «лишние» 9/10 цента будут в десять раз больше: «лишние» 9 центов, так что в этом случае цент оплачивается. Деньги бесконечно делимы в том смысле, что они основаны на действительной системе счисления. Однако современные монеты не делятся (в прошлом некоторые монеты взвешивались с каждой транзакцией и считались делимыми без особого ограничения). В каждой транзакции есть точка точности, которая бесполезна, потому что такие небольшие суммы денег несущественны для людей. Чем больше умножается цена, тем большее значение имеет точность. Например, при покупке миллиона акций покупатель и продавец могут быть заинтересованы в разнице в цене в одну десятую цента, но это только выбор. Все остальное, что касается бизнес-измерения и выбора, аналогично делится в зависимости от заинтересованности сторон. Например, финансовые отчеты могут составляться ежегодно, ежеквартально или ежемесячно. Некоторые бизнес-менеджеры создают отчеты о движении денежных средств более одного раза в день.

Несмотря на то что время может быть бесконечно делимым, данные о ценах на ценные бумаги сообщаются в дискретное время. Например, если посмотреть на записи о ценах на акции в 1920-е годы, можно найти цены в конце каждого дня, но, возможно, не на трехсотых долях секунды после 12:47. Однако новый метод теоретически мог бы предоставлять отчеты с удвоенной скоростью, что не помешало бы дальнейшему увеличению скорости отчетности. Как это ни парадоксально, но техническая математика, применяемая к финансовым рынкам, часто оказывается проще, если в качестве приближения использовать бесконечно делимое время. Даже в этих случаях выбирается точность, с которой нужно работать, и измерения округляются до этого приближения. С точки зрения человеческого взаимодействия, деньги и время делятся, но только до такой степени, когда дальнейшее деление не имеет значения, и какой момент нельзя точно определить.

В порядке теории

Сказать, что поле из рациональное число бесконечно делится (т.е. порядок теоретически плотный ) означает, что между любыми двумя рациональными числами есть другое рациональное число. Напротив, звенеть из целые числа не является бесконечно делимым.

Бесконечная делимость не подразумевает беспрерывности: рациональные понятия не пользуются свойство наименьшей верхней границы. Это означает, что если бы кто-то раздел рациональные числа на два непустых множества А и B куда А содержит все рациональные числа, меньшие некоторого иррационального числа (π, скажем) и B все рациональные числа выше этого, тогда А не имеет самого большого члена и B не имеет наименьшего члена. Поле действительные числа, напротив, является как безгранично делимым, так и беззазорным. Любой линейно упорядоченный набор который является бесконечно делимым и беззазорным и имеет более одного члена, является бесчисленное множество. Для доказательства см. Первое доказательство несчетности Кантора. Сама по себе бесконечная делимость подразумевает бесконечность, но не несчетность, как показывают рациональные числа.

В вероятностных распределениях

Сказать, что распределение вероятностей F на реальной линии бесконечно делимый означает, что если Икс есть ли случайная переменная чье распределение F, то для каждого натурального числа п существуют п независимый одинаково распределены случайные переменные Икс₁, ..., Икс_п сумма которого по распределению равна Икс (те п другие случайные величины обычно не имеют такого же распределения вероятностей, как Икс).

В распределение Пуассона, заикающееся распределение Пуассона,^{[нужна цитата ]} в отрицательное биномиальное распределение, а Гамма-распределение являются примерами безгранично делимых распределений, как и нормальное распределение, Распределение Коши и все остальные члены стабильное распространение семья. В асимметричное распределение является примером безгранично делимого распределения. (См. Domínguez-Molina and Rocha Arteaga (2007).)

Каждому безгранично делимому распределению вероятностей естественным образом соответствует Леви процесс, т.е. случайный процесс { Икс_т : т ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями (стационарный означает, что для s < т, то распределение вероятностей из Икс_т − Икс_s зависит только от т − s; независимые приращения означает, что эта разница независимый соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [s, т], и аналогично для любого конечного числа интервалов).

Эта концепция бесконечной делимости вероятностных распределений была введена в 1929 г. Бруно де Финетти.

Смотрите также

Делимая группа, математическая группа, в которой каждый элемент является произвольным кратным некоторому другому элементу
Неразложимое распределение
Нарезка салями
Парадоксы Зенона

внешняя ссылка

Бесконечная иерархическая вложенность материи (перевод русскоязычной страницы Википедии)

[1] Образование, Пирсон (2016). 9-й научный трамплин. ISBN 9789332585164.

[2] Аристотель. «Физика». Архив интернет-классики.

[Ross1983-3] а ^б Росс, С. (1983). Перспектива в метафизике Уайтхеда. Серия Сюни в систематической философии. Государственный университет Нью-Йорка Press. стр.182 –183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN 82008332.

[4] Ульрих Морхофф (2000). «Квантовая механика и парадигма печенья». arXiv:Quant-ph / 0009001v2.

[1]

[2]

[3]

[4]